肖海濱

摘 要： 創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步的靈魂，在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須高度重視開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新潛能，有計劃、有目的地對學(xué)生進(jìn)行科學(xué)訓(xùn)練.教師在教學(xué)中要注意適時引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識間的聯(lián)系，將有關(guān)概念、定理進(jìn)行歸納綜合，使之系統(tǒng)化，訓(xùn)練學(xué)生的系統(tǒng)思維，掌握發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律的方法.創(chuàng)新教育是時代的要求，教師要根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，采用不同的教學(xué)方法培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

關(guān)鍵詞： 創(chuàng)新思維 逆向思維 直覺思維 聯(lián)想思維 發(fā)散思維

數(shù)學(xué)被稱為探索和發(fā)明的樂土，是思維訓(xùn)練頗佳的工具.數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)思維能力的基礎(chǔ)課程，數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)不但是使學(xué)生獲得新的知識，而且要促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展，同時要培養(yǎng)學(xué)生自覺運用數(shù)學(xué)知識、考慮和處理日常生活生產(chǎn)中所遇到的問題，從而形成良好的思維品質(zhì).創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步的靈魂，是一個國家興旺發(fā)達(dá)的不竭動力，在教學(xué)中必須高度重視開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新潛能，有計劃、有目的地對學(xué)生進(jìn)行科學(xué)訓(xùn)練.

一、訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維，學(xué)會從反面分析問題

逆向思維是有意地從常規(guī)思維的反向思考問題的思維方式，在數(shù)學(xué)里，正逆運算、正逆定理、正向或逆向應(yīng)用公式、互為對稱關(guān)系、綜合法與分析法、直接證法和反證法等，都反映思維過程中思維方向的改變.逆向思維具有求異性、探索性和發(fā)散性等特征，能培養(yǎng)學(xué)生突破原有的思維模式尋求新的思維方式的思維能力，具有很大的創(chuàng)造性.

例1：已知：0

證法一（綜合法）：

∵02a■，a+a■>2a■，…，a■+a■>2a■，以上諸式相加，得1+a+…+a■+a■+…+a■>2na■，

即有1+a+…+a■>（2n+1）a■，從而■>（2n+1）a■.

兩邊同乘以1-a，得1-a■>（2n+1）a■（1-a），即得證：（2n+1）a■（1-a）<1-a■.

證法二（分析法）：

∵0

也就是■■+a■<1+a+…+a■

=（1+a■）+（a+a■）+…+（a■+a■）+a■……①

因為1+a■>2a■，a+a■>2a■，…，a■+a■>2a■，所以不等式①成立，從而原不等式成立.

這個不等式還可以用比較法、反證法證明（略）.

從所給的證法可以看到，正向思維與逆向思維的思維方向雖然完全不同，但逆向思維并不完全是以相反的程序重復(fù)正向思維的過程，思維方向的改變并不是簡單的思維過程的顛倒，而是有著實質(zhì)性的差異.了解它們在思維過程中的區(qū)別與聯(lián)系，能有效地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，學(xué)會反向分析問題.

二、訓(xùn)練學(xué)生的直覺思維，掌握憑直覺思考問題的方法

直覺思維是運用有關(guān)知識對當(dāng)前問題進(jìn)行敏銳的分析、推理，并能發(fā)現(xiàn)解決問題的方向和途徑的思維形式，是以高度省略、簡化、濃縮的洞察問題實質(zhì)的思維.教學(xué)中不僅要強(qiáng)調(diào)思維的嚴(yán)密性、知識的完整性、結(jié)論的正確性，更應(yīng)重視學(xué)生的直覺思維.直覺思維要求學(xué)生有相當(dāng)?shù)闹R結(jié)構(gòu)和嫻熟的推理技能，因此要強(qiáng)化基礎(chǔ)知識教學(xué)，完善學(xué)生知識結(jié)構(gòu)，同時在教學(xué)中要鼓勵學(xué)生猜想、大膽假設(shè)，展開合理想象，提高學(xué)生對直覺的敏感性；教給學(xué)生捕捉直覺的方法，讓學(xué)生盡可能多地獲得解決問題的經(jīng)驗等.

例2：已知u=cosα+isinα，v=cosβ+isinβ，且u+v=■+■i.（1）求tan（α+β）的值；（2）求u■+v■+uv的值.

[直覺1]復(fù)數(shù)問題三角化：由u+v得cosα+cosβ=■sinα+sinβ=■，兩式相除得tan■后，再由萬能公式得tan（α+β），sin（α+β），cos（α+β），這樣uv確定后，（1）（2）均迎刃而解.

[直覺2]復(fù)數(shù)問題代數(shù)化：由|u|=|v|=1，可設(shè)u=x+yi（x，y∈R），v=（■-x）+（■-y）i，從而得x，y的方程組，求出u，v后可確定uv的值，使問題得解.

[直覺3]復(fù)數(shù)問題整體化：∵u+v=u·v·■+v·u·■=u·v·（■+■），∴uv=■=（u+v）■，可得uv的值.

三、訓(xùn)練學(xué)生的聯(lián)想思維，掌握舉一反三、觸類旁通的創(chuàng)新方法

由此及彼的類比、聯(lián)想，常能拓寬我們的視野，啟發(fā)我們的思維.運用類比、聯(lián)想法探索解題的規(guī)律和方法，不僅有利于基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握和鞏固，而且對于提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力無疑是極其重要的.

例3：設(shè)P■（x■，y■），P■（x■，y■）是圓x■+y■=r■上的兩點，k■=k（非零常數(shù)，下同），P■P■平移時，試求P■P■的中點Q的軌跡方程.

分析：把圓的方程化為■+■=1，∵Q（x，y）是P■P■的中點，∴OQ⊥P■P■.

∵k■·k■=-1，∴■·k=-1=-■，即得所求的軌跡方程為y=-■x.

由于Q點只能在圓內(nèi)部，故所求軌跡為直線y=-■x在已知圓內(nèi)的部分.

由此我們可以類比聯(lián)想到：

問題1：設(shè)P■（x■，y■），P■（x■，y■）是橢圓■+■=1，（a>b>0）上的兩點，k■=k，當(dāng)P■P■平移時，試求P■P■的中點Q的軌跡方程.

問題2：設(shè)P■（x■，y■），P■（x■，y■）是雙曲線為■-■=1，（a>b>0）上的兩點，k■=k，當(dāng)P■P■平移時，試求P■P■的中點Q的軌跡方程.

這兩個問題是否也有類似的解法？

事實上，問題1只需利用k■k■=-■，即■·k=-■.

由此可求得點Q的軌跡為直線y=-■x在已知橢圓內(nèi)部的一條線段.

問題2可仿問題1利用k■k■=■，

亦可求得點Q的軌跡為直線y=■x在已知雙曲線內(nèi)部的兩條射線（|k|>■）或經(jīng)過中心的一條線段（|k|<■）.

通過對條件與條件、結(jié)論與結(jié)論、結(jié)論與條件、新題與舊題之間的“聯(lián)動”思維，分析其內(nèi)在聯(lián)系，從而“碰撞”到解題思路的入口.

四、訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維，讓學(xué)生掌握全方位考慮問題的方法

所謂發(fā)散思維其本質(zhì)特征是思維的多向性，表現(xiàn)在對已知信息進(jìn)行多方面、多角度、多層次的思考.在解題時，若能將問題逐步引申，使解題思路能順利遷移，尋求多種解題途徑，則不僅能鞏固所學(xué)知識，而且能較好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維.

例4：已知f（x）=■，a、b為相異實數(shù)，求證：|f（a）-f（b）|<

|a-b|.

這一習(xí)題從解題方法的角度進(jìn)行發(fā)散，不難得出如下幾種解題思路：

思路一：按證明絕對值不等式的常規(guī)方法，經(jīng)過平方去絕對值符號，作差比較，利用配方法證之.

思路二：注意函數(shù)f（x）=■的結(jié)構(gòu)特征，設(shè)x=tanα轉(zhuǎn)化為三角不等式證之.

思路三：考慮方程y=■表示雙曲線y■-x■=1的上支，■是雙曲線上兩點（a，f（a））與（b，f（b））連線斜率的絕對值，于是問題可轉(zhuǎn)化為雙曲線上支任一弦所在直線斜率的估計問題，而雙曲線y■-x■=1的漸近線斜率為x=±1，問題即可得證.

思路四：考察表達(dá)式■=■可視作P（x，1）到（0，0）的距離，當(dāng)a≠b時，由點P■（a，1），P■（b，1）和原點確定的三角形OP■P■中任一邊大于其余兩邊之差即可證得結(jié)論.

思路五：觀察函數(shù)f（x）=■的特點，聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模，可構(gòu)造復(fù)數(shù)z=1+xi，利用復(fù)數(shù)的三角不等式進(jìn)行證明.

通過從不同角度引導(dǎo)學(xué)生，使學(xué)生能全方位地考慮問題，這對促進(jìn)知識之間的橫向聯(lián)系，提高解題能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性是十分有益的.在教學(xué)中還可以通過一式多變、一題多問、一題多思等方法培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

教師在教學(xué)中要注意適時引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識間的聯(lián)系，如教學(xué)完一單元，布置學(xué)生寫單元小結(jié)，將有關(guān)概念、定理進(jìn)行歸納綜合，使之系統(tǒng)化，訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，使其掌握發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律的方法.總之，創(chuàng)新教育是時代的要求，教師要根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，采用不同的教學(xué)方法培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.