房亮

摘要：本文從近世代數(shù)中的幾個重要系統(tǒng)出發(fā)，以近世代數(shù)的建立與擴(kuò)展、系統(tǒng)建構(gòu)的邏輯基礎(chǔ)為切入口，探討《近世代數(shù)》課程中所蘊(yùn)含的代數(shù)結(jié)構(gòu)的簡單美、代數(shù)理論的結(jié)構(gòu)美和現(xiàn)實美、代數(shù)系統(tǒng)的和諧美、近世代數(shù)的抽象美和自由美等，從而揭示《近世代數(shù)》的臻美取向與人文底蘊(yùn)。

關(guān)鍵詞：近世代數(shù)數(shù)學(xué)美和諧美

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近世代數(shù)是以研究代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)與構(gòu)造為中心的一門學(xué)科，它不僅是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，也是許多其他現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)，已成為數(shù)學(xué)專業(yè)成人高等教育學(xué)生的重要專業(yè)必修課程之一。近世代數(shù)中的等價、劃分、同態(tài)、同構(gòu)等思想方法，不僅是最重要的數(shù)學(xué)方法之一，而且也是觀察和研究自然和社會的普遍采用的方法。隨著科技的不斷發(fā)展與實際應(yīng)用的需要，近世代數(shù)的基本理論與基本思想逐漸滲透到編碼與信息安全等領(lǐng)域。本文將以近世代數(shù)中幾個重要而又典型的代數(shù)系統(tǒng)為切入點，探討近世代數(shù)中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)美，從而揭示其臻美取向和人文底蘊(yùn)。

一、代數(shù)結(jié)構(gòu)的簡單美

在最基本的邏輯層次——集合和映射基礎(chǔ)上抽象而成的各大代數(shù)系統(tǒng)，由于其抽象出的概念不再是客觀事物原本的形象，從抽象概念逐級演繹出的推理論證的方法，排除了自由、價值、人文等生活中的終極意義的信念，完全置身于抽象的世界之中。要還原抽象系統(tǒng)的物理及其本質(zhì)屬性，需要利用多種方法對其本身結(jié)構(gòu)加以認(rèn)識，找出系統(tǒng)間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，實現(xiàn)系統(tǒng)的同構(gòu)、同態(tài)等等。下面僅通過同構(gòu)進(jìn)行研究和分析上面所提到的代數(shù)系統(tǒng)。

同構(gòu)也稱同構(gòu)映射，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)一個很重要的基本概念。同構(gòu)關(guān)系是一種等價關(guān)系，等價的兩個代數(shù)系統(tǒng)具有完全相同的代數(shù)性質(zhì)和數(shù)學(xué)構(gòu)造，在代數(shù)性質(zhì)上可以視為同等的。繼群之后逐步建立的其他代數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)研究，常常也會使用同構(gòu)和同態(tài)等工具。比如，向量空間的擴(kuò)展就是模。又如，對于很多域的研究可以轉(zhuǎn)化為本身的同構(gòu)群，進(jìn)而使研究變得更清晰易懂。竭力找出系統(tǒng)間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，實現(xiàn)同構(gòu)、同態(tài)等意義下的簡單形態(tài)，這是研究代數(shù)系統(tǒng)的方法論準(zhǔn)則。

二、代數(shù)理論的結(jié)構(gòu)美

無論系統(tǒng)結(jié)構(gòu)在深度和廣度上如何擴(kuò)展，系統(tǒng)最基本的屬性就是集合，而由代數(shù)運(yùn)算和公理條件所限定的結(jié)構(gòu)，將本來彼此獨立的各元素密切的聯(lián)系起來，使得元素之間有了遠(yuǎn)近關(guān)系、大小之分及運(yùn)算，使得系統(tǒng)有了架構(gòu)。因此，代數(shù)系統(tǒng)的邏輯起點是一致的，集合和映射以及必要的公理條件是所有系統(tǒng)都具備的要素。不同的系統(tǒng)有著統(tǒng)一的邏輯起點，統(tǒng)一的系統(tǒng)又會有差異，差異中有統(tǒng)一、統(tǒng)一中又存在差異，這正是近世代數(shù)建構(gòu)美的本質(zhì)所在。代數(shù)系統(tǒng)的建立都是希望用統(tǒng)一的、抽象的方法來整體考察，并不去考慮獨立的元素。近世代數(shù)建立的理性美體現(xiàn)在：邏輯一致、統(tǒng)一協(xié)調(diào)、整體把握。

.我們認(rèn)識近世代數(shù)建立與擴(kuò)展中邏輯基礎(chǔ)的簡單一致，以及為了研究系統(tǒng)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，實現(xiàn)同態(tài)、同構(gòu)等意義下的簡單形態(tài)的理性思維，就是從共性上把握對象間的本質(zhì)，品味數(shù)學(xué)表達(dá)與分析中的質(zhì)樸、和諧、涵蓋美的數(shù)學(xué)內(nèi)在美，體驗數(shù)學(xué)的聯(lián)系帶來的深刻美學(xué)價值。.

三、代數(shù)理論的現(xiàn)實美

數(shù)學(xué)和其他任何學(xué)科都面臨著同一個問題：它能派在什么用場？就是說它的實實際意義或價值是什么。數(shù)學(xué)能發(fā)展到高度抽象的近現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期，使得邏輯抽象實現(xiàn)的純數(shù)學(xué)領(lǐng)域更渴望找到其本身存在的直接或間接的實際意義，盡管數(shù)學(xué)家純粹的思維實現(xiàn)的只是數(shù)學(xué)體系內(nèi)部邏輯發(fā)展的必然性，這樣必然走向理論先行的、超驗的道路上，而現(xiàn)代物理學(xué)在尋求本身發(fā)展的同時找到了其必需的工具——數(shù)學(xué)，意外的為數(shù)學(xué)找到了存在的意義，回歸了價值美。

比如，群論的產(chǎn)生最初是在探討高次方程的求解時，發(fā)現(xiàn)了方程的根的對稱性和平等性是解決全部問題的關(guān)鍵。隨著科學(xué)的發(fā)展，近世代數(shù)的研究成果和方法已逐步被應(yīng)用到工程技術(shù)中，如代數(shù)編碼學(xué)、語言代數(shù)學(xué)、代數(shù)自動化理論等領(lǐng)域，并對組合數(shù)學(xué)的突起和發(fā)展產(chǎn)生了重要影響。

四、代數(shù)系統(tǒng)的和諧美

數(shù)學(xué)美之根源在于統(tǒng)一和和諧統(tǒng)一性，源于對事物的本質(zhì)認(rèn)識和科學(xué)抽象，如在解決五次或者五次以上代數(shù)方程的根式解問題時，阿貝爾和伽羅華引入了置換群的理論之后，人們慢慢發(fā)現(xiàn)，對于這一理論中大多數(shù)的本質(zhì)問題來說，用以構(gòu)成群的特殊材料——置換并不是最主要的，重要的只是在于對任意集合里所規(guī)定的代數(shù)性質(zhì)的研究，這樣就把置換群的研究推進(jìn)到了更一般的抽象群的研究上去，把群的研究建立在公理化的基礎(chǔ)上，使他的理論變得更加嚴(yán)謹(jǐn)和清晰。這種和諧統(tǒng)一將特殊問題化為一般討論，是科學(xué)抽象的典型應(yīng)用。

在近世代數(shù)中，除了研究某種代數(shù)系統(tǒng)如群環(huán)域等自身的內(nèi)部結(jié)構(gòu)之外，考慮代數(shù)系統(tǒng)間的聯(lián)系也是具有重大的意義，這種聯(lián)系往往以某種代數(shù)系統(tǒng)在另一種代數(shù)系統(tǒng)上的作用來實現(xiàn)。譬如模就是具有環(huán)作用的交換群。許多在表面上看來差異很大的代數(shù)系統(tǒng)，如交換群環(huán)理想線性空間，在模的語言下都統(tǒng)一了起來。

五、近世代數(shù)的抽象美和自由美

從初等數(shù)學(xué)的基本概念到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各種原理都具有普遍的抽象性與一般性。從伽羅瓦和阿貝爾開創(chuàng)以來，近世代數(shù)以絕對抽象的代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)為研究中心，實體化的公理轉(zhuǎn)變成了形式化的公理，數(shù)學(xué)的公理化方法所體現(xiàn)的理論簡單性更加復(fù)雜了。近世代數(shù)中所處理的概念，比如，群、環(huán)、域、模等及其理論是抽象的，脫離了具體事物內(nèi)容，它們當(dāng)中都蘊(yùn)含著抽象美和自由美。

總之，近世代數(shù)的教學(xué)是一個伴隨著研究和創(chuàng)新的過程，它需要掌握一定的數(shù)學(xué)方法。在近世代數(shù)的教學(xué)中，通過挖掘其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)美和數(shù)學(xué)思想方法，有助于揭示數(shù)學(xué)知識的精神實質(zhì)，可以讓學(xué)生掌握近世代數(shù)的精髓，有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和審美能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)和創(chuàng)新意識。

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