吳明廉

縱觀高中數(shù)學的教學過程，我發(fā)現(xiàn)“二次型”在高中的解不等式、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、極值、值域、單調(diào)性等多個領域都有廣泛應用.本文中所提到的“二次型”是廣義范圍內(nèi)的，包括二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式.很多同學在高中數(shù)學學習過程中，由于沒有掌握解題的關鍵無法很好地解決問題.針對這類現(xiàn)象，我想學生所想，急學生所急，列舉了幾個例子，配以詳細的分析解答過程，以期和大家共勉.

例1：已知不等式ax+bx+c<0（a≠0）的解為x<2或x>3，求不等式bx+ax+c>0的解.

分析：此題要結(jié)合二次函數(shù)y=ax+bx+c，一元二次方程ax+bx+c=0，考慮二次函數(shù)的圖像，一元二次方程的根，找到系數(shù)a，b，c之間的關系，再通過化簡整理，從而達到解出不等式bx+ax+c>0的目的.

解：由不等式ax+bx+c<0的解為x<2或x>3，可構(gòu)造相應二次函數(shù)y=ax+bx+c，借助圖像可知a<0，且二次方程ax+bx+c=0的兩根分別是2和3，由韋達定理-=5，=6可得b= - 5a，c=6a，不等式bx+ax+c>0可變?yōu)?-5ax+ax+6a>0，由于a<0，整理得5x- x - 6>0，可得不等式bx+ax+c>0的解為x < -1或x>.

例2：若方程1-2cosx-sinx+a=0有實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）

A.（-∞，） B.[-2，] C.[0，] D.[-1，]

分析：此題通過三角函數(shù)公式把cosx化歸為sinx形式，觀察出以sinx為主體，構(gòu)造一個以sinx為主的二次函數(shù)，通過配方法，再通過換元法，結(jié)合二次函數(shù)的圖像求出二次函數(shù)的最大值、最小值.

解：可知a=sinx-2sinx+1=-2（sinx-）+，令t=sinx，則-1≤t≤1.由a=f（t）=-2（t-）+，（-1≤t≤1）可知，當t=時，a有最大值為；當t=-1時，a有最小值為-2.故選擇B.

例3：數(shù)列{-2n+29n+3}中的最大項是（ ）

A.107 B.108 C.108 D.109

分析：此題觀察表達式可看出符合“二次型”，構(gòu)造以n為自變量的二次函數(shù)，通過配方找到離二次函數(shù)的對稱軸最近的正整數(shù)n的值，結(jié)合二次函數(shù)的圖像得到最大項的值.

解：通項a=-2n+29n+3=-2（n-）+…，∵=7可知正整數(shù)7離軸最近，∵圖像開口向下，∴當n=7時得最大項a=108，故選擇B.

例4：已知數(shù)列{a}的前n項和S=n+2n+5，則a+a+a=？搖 ？搖.

分析：此題觀察表達式可看出符合“二次型”，構(gòu)造s和 s，通過代入求值，再作差得出結(jié)論.

解：s-s = （8+2×8+5）-（5+2×5+5）=45

例5：已知數(shù)列{a}的前n項和s是n的二次函數(shù)，且它的前三項依次是-2，0，6，那么a=？搖 ？搖.

分析：此題明確指出存在二次函數(shù)的條件，提示我們設出二次函數(shù)的表達式，通過代入已知數(shù)值求出系數(shù)a，b，c，確定s，再用數(shù)列的性質(zhì)解出答案.

解：s-s= a，設s=a·n+b·n+c（a≠0），代入s=-2，s=-2，s=4，解得a=2，b=-4，c=0，∴s=2n-4n，∴a=（2×100-4×100）-（2×99-4×99）=394.

例6：已知m≤x-2x+2，0≤x≤3恒成立，求m的取值范圍.

分析：此題可看出題干中x-2x+2符合二次函數(shù)的形式，提示我們設出一個對應的二次函數(shù)和一個常函數(shù)先在坐標系中畫出二次函數(shù)的圖像，求出二次函數(shù)的值域，再結(jié)合已知條件的恒成立的要求可得m的取值范圍.

解：構(gòu)造函數(shù)y= x-2x+2，0≤x≤3，y=m，畫出y=x-2x+2，0≤x≤3的圖像，可知1≤y≤5，畫出y=m的圖像∴m≤1.

例7：對于m的不同取值，討論方程 x-4|x|+5=m的實數(shù)根的個數(shù).

解析：此題可看出方程的左側(cè) x-4|x|+5符合“二次型”的形式，構(gòu)造函數(shù)y= x-4|x|+5和y=m，兩個函數(shù)圖像的交點的個數(shù)就是方程實數(shù)根的個數(shù).先畫出二次函數(shù)y= x-4x+5，截取 y軸右側(cè)的圖像，再關于y軸對稱畫出y軸左側(cè)的圖像，注意x=0時y=5，且最小值y=1.把坐標系中的函數(shù)y=x-4|x|+5的圖像看出背景布，接下來使用運動變化的觀點作為指導思想，從上至下畫出y=m的圖像，觀察兩個圖像的交點個數(shù)如何變化.先是有兩個交點，再是有三個交點，再到有四個交點，再到有兩個交點，最后到?jīng)]有交點.綜上所述，可知：（1）當m>5或m=1時兩個圖像有兩個交點，方程有兩個解；（2）當m=5時兩個圖像有三個交點，方程有三個解；（3）當1

例8：已知函數(shù)y=（），求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

解析：此函數(shù)是一個復合函數(shù)，由y=（）和u=x復合而成，∵ <1，函數(shù)y=（）為減函數(shù)，對于二次函數(shù)u=x結(jié)合圖像可知，當x≤0時二次函數(shù)u=x單調(diào)遞減，∴當x≤0時函數(shù)y=（）x為增函數(shù)；當x>0二次函數(shù)u=x單調(diào)遞增，∴x>0時，函數(shù)y=（）為減函數(shù)，從而可得到單調(diào)區(qū)間.