崔業(yè)君

圓周運動是高中物理的重要內(nèi)容，在高一力學(xué)教學(xué)中，一般對水平面內(nèi)圓周運動和豎直平面內(nèi)的圓周運動兩種情況進行實例分析和研究。物體在豎直平面的圓周運動，是學(xué)生普遍感到難學(xué)難懂的地方，筆者在多年教學(xué)中感到，物體在豎直平面內(nèi)做圓周運動，如果教學(xué)中能夠透徹地作出分析，讓學(xué)生理解掌握兩類模型，就可以解決豎直平面內(nèi)圓周運動的這個難題。

物體在豎直平面內(nèi)圓周運動的兩類模型：繩拉小球在豎直平面內(nèi)的圓周運動和輕桿帶小球在豎直平面內(nèi)的圓周運動，兩者的區(qū)別是前者繩子只能對運動的小球產(chǎn)生拉力作用，后者輕桿對運動的小球可以有拉力，也可以有支持力作用。

這兩個模型都是變速圓周運動，運動過程復(fù)雜，合外力不僅要改變運動方向，還要改變速度大小，所以一般不研究任意位置的情況，只研究特殊的位置——最高點和最低點。本文只討論較難的最高點的情況。

一、繩拉小球在豎直平面內(nèi)的圓周運動模型

如圖1所示，運動小球在一輕繩的作用下繞中心點作豎直平面內(nèi)的圓周運動。

（1）質(zhì)點過最高點的臨界條件的分析：由于繩子只能 “提供”向里（向心）的拉力，小球在最高點受到向下的重力和繩的拉力，若小球達到最高點時繩子的拉力剛好為零，其合力最小，合力的最小值即等于物體的重力，小球在最高點的向心力全部由小球的重力來提供，即mg=m， vmin=。

在最高點，當v> 時，小球做圓周運動所“需”向心力大于重力，重力不足以提供所需向心力，小球向外遠離圓心，繩產(chǎn)生拉力；繩的拉力和重力的合力提供向心力，即F+mg=m。

上式中vmin=是質(zhì)點通過最高點的最小速度，叫臨界速度；

（2）質(zhì)點過最高點的臨界條件：由上所述，可以得出臨界條件為V≥；

（3）不能過最高點條件，V<；實際上小球還沒有到最高點時，就脫離了圓軌道，在教學(xué)中，可向?qū)W生演示這一現(xiàn)象，效果明顯，比較有說服力。

模型拓展：這個模型可以拓展到其他情形，如小球在豎直（光滑）圓弧軌道內(nèi)側(cè)的圓周運動，水流星的運動，過山車運動等，這些實例中，做圓周運動物體受力情形與豎直平面內(nèi)的圓周運動的輕繩拉小球完全相同（如圖1）。

應(yīng)用實例1： 繩系著裝水的水桶，在豎直平面內(nèi)做圓周運動，水的質(zhì)量m= 0.5kg，繩長L= 40cm，求：（1）為使桶在最高點時水不流出，桶的最小速率？（2）桶在最高點速率v= 3m/s時，水對桶底的壓力？

解析：（1）在最高點水不流出的條件是重力不大于水做圓周運動所需的向心力。即：mg≤m，則最小速率 v0==m/s = 2m/s；

（2）水在最高點速率大于v0 時，只靠重力提供向心力已不足，此時水桶底對水有一向下的壓力，設(shè)為F，由牛頓第二定律有F + mg =m， F = m-mg = 6.25N，由牛頓第三定律知，水對桶底的作用力F'=F = 6.25N，方向豎直向上。

二、輕桿帶小球在豎直平面內(nèi)的圓周運動

如圖2所示，運動小球固定在輕桿上，在輕桿的作用下，繞中心點作豎直平面內(nèi)的圓周運動，由于輕桿能對小球提供向里（指向圓心）拉力，也能提供向外（背離圓心）支持力，所以小球過最高點時受的合力可以為零，小球在最高點可以處于平衡狀態(tài)。所以小球過最高點的最小速度為零。

（1）當時v=，重力剛好提供小球做圓周運動所需要向心力，即mg =m，桿對球無作用力，F(xiàn)=0；

（2）當v≥，小球的重力不足以提供向心力，此時桿的作用相當于繩，桿對小球有指向圓心的拉力，由F+mg=m得出拉力隨速度的增大而增大；

（3）當0

（4）當v=0時，由上式可得出輕桿對小球有豎直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即FN =mg 。

模型拓展：這個模型可以拓展到其他情形，如小球在豎直平面內(nèi)的（光滑）圓管內(nèi)運動，小球套在豎直圓環(huán)上的運動等，其受力情況與豎直平面內(nèi)輕桿帶小球的圓周運動完全相同（如圖3）。

應(yīng)用實例2：如圖4所示，半徑為R，內(nèi)徑很小的光滑半圓管豎直放置，AB段平直，質(zhì)量為m的小球以水平初速度v0射入圓管。

（1）若要小球能從C端出來，初速度v0多大？

（2）在小球從C端出來瞬間，對管壁壓力有哪幾種典型情況，初速度v0各應(yīng)滿足什么條件？

解析：（1）小球恰好能達到最高點的條件是v臨=0，此時需要初速度為v0，由機械能守恒 ：mv02=mg2R， 得v0=， 因此要使小球能從C端出來需vC>0，故入射速度v0>；

（2）小球從C出來端出來瞬間，對管壁壓力可以有三種典型情況：

①剛好對管壁無壓力，此時重力恰好充當向心力，由圓周運動知識mg=m由機械能守恒定律：mv02=

mg2R+mvC2， 聯(lián)立解得；

②對下管壁有壓力，此時應(yīng)有mg>m，相應(yīng)的入射速度應(yīng)滿足

③對上管壁有壓力，此時應(yīng)有mg。