何曉勤

集合的含義以及集合之間的關(guān)系

（★★★★）必做1 已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）

x∈A，y∈A，x-y∈A}，則集合B中所含元素的個(gè)數(shù)為（ ）

A. 3 B. 6 C. 8 D. 10

[牛刀小試]

精妙解法 當(dāng)x=2時(shí)，y=1；當(dāng)x=3時(shí)，y=1，2；當(dāng)x=4時(shí)，y=1，2，3；當(dāng)x=5時(shí)，y=1，2，3，4. 所以集合B中所含元素的個(gè)數(shù)為10個(gè)，選D.

（★★★★）必做2 已知A={x

x2+2x-3=0}，B={x

mx-1=0}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_________.

[牛刀小試]

精妙解法 A={x

x2+2x-3=0}={1，-3}，由于B?A，下面對(duì)集合B進(jìn)行分類討論：①當(dāng)m=0時(shí)，方程mx-1=0無(wú)解，此時(shí)B= ，滿足B?A，所以m=0符合題意；②當(dāng)m≠0時(shí)，B={x

mx-1=0}=

，由B?A得=1或=-3，解得m=1或m=-. 綜上可得，實(shí)數(shù)m的值為0或1或-.

極速突擊 求解含參方程的根或不等式的解集時(shí)，往往要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論的實(shí)質(zhì)是將整體化為部分.

誤點(diǎn)警示 在分類討論時(shí)要注意做到“不重不漏”. 本題比較容易忽視m=0即B= 的情形，由于 有很多性質(zhì)，如 ?A， ∪A=A， ∩A= 等，所以解題時(shí)要多留心.

集合的運(yùn)算

（★★★★）必做3 若集合A={x

0≤x≤2}，B={x

x2>1}，全集U=R，則A∩（CUB）等于（ ）

A. {x

0≤x≤1}

B. {x

x>0或x<-1}

C. {x

1

D. {x

0

[牛刀小試]

精妙解法 因?yàn)锽={x

x2>1}={xx>1或x<-1}，所以CUB={x-1≤x≤1}.所以A∩（CUB）={x0≤x≤1}，故選A.

極速突擊 正確求解不等式的解集是集合運(yùn)算的關(guān)鍵，注意在求補(bǔ)集時(shí)要在全集范圍內(nèi)求解.

（★★★★）必做4 已知集合A={x

x

1

[牛刀小試]

精妙解法 因?yàn)锽={x

1

x≥2或x≤1}. 如圖1，若要A∪（CRB）=R，必有a≥2.

[R][B][A]

圖1

極速突擊 在研究?jī)蓚€(gè)集合的交集、并集和補(bǔ)集的運(yùn)算時(shí)，可以利用韋恩圖或數(shù)軸來(lái)幫助理解.

四種命題及其關(guān)系

（★★★★）必做5 命題“若a>b，則2a-1>2b-1”的否命題為（ ）

A. 若a>b，則2a-1≤2b-1

B. 若a

C. 若a≤b，則2a-1≤2b-1

D. 若2a-1≤2b-1，則a≤b

[牛刀小試]

精妙解法 將原命題的條件和結(jié)論都否定即可，所以命題“若a>b，則2a-1>2b-1”的否命題為“若a≤b，則2a-1≤2b-1”，故選C.

誤點(diǎn)警示 注意命題“若p，則q”的否命題和否定的不同，否命題要求條件和結(jié)論同時(shí)否定，而命題的否定只需否定結(jié)論.

（★★★★）必做6 下列有關(guān)命題的說(shuō)法正確的是（ ）

A. 命題“若xy=0，則x=0”的否命題為假命題

B. 命題“若x+y=0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題為真命題

C. 命題“若∠A=∠B，則sinA=sinB”的否定是“若∠A≠∠B，則sinA≠sinB”

D. 命題“若cosx=cosy，則x=y”的逆否命題為真命題

[牛刀小試]

精妙解法 “若xy=0，則x=0”的否命題為“若xy≠0，則x≠0”，是真命題，所以A錯(cuò)誤；“若x+y=0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題為“若x，y互為相反數(shù)，則x+y=0”，是真命題，所以B正確；“若∠A=∠B，則sinA=sinB”的否定是“若∠A=∠B，則sinA≠sinB”，所以C錯(cuò)誤；“若cosx=cosy，則x=y+2kπ或x=-y+2kπ”，所以D錯(cuò)誤. 綜上，選B.

極速突擊 正確把握四種命題及其關(guān)系，在原命題、逆命題、否命題和逆否命題中，原命題和逆否命題同真假，否命題和逆命題同真假.

充分必要條件

（★★★★）必做7 已知條件p：x≤1，條件q：<1，則p是?q成立的（ ）

A. 充要條件

B. 充分不必要條件

C. 必要不充分條件

D. 既非充分也非必要條件

[牛刀小試]

精妙解法 由<1得x<0或x>1，所以?q：0≤x≤1. 所以p：x≤1推不出?q但?q能推出p. 所以p是?q成立的必要不充分條件，選C.

極速突擊 判斷p是q的什么條件，關(guān)鍵是看p能否推出q，以及q能否推出p.

誤點(diǎn)警示 在由q：<1求?q時(shí)，不能直接將不等式“<1”改為“≥1”，而應(yīng)該先解出不等式，再求補(bǔ)集，否則容易導(dǎo)致漏解. 在判斷充分、必要條件時(shí)，容易出現(xiàn)顛倒充分性和必要性的錯(cuò)誤，注意準(zhǔn)確理解概念.

（★★★★）必做8 已知p：x2-3x-4≤0，q：x2-6x+9-m2≤0，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）

A. [-1，1]

B. [-4，4]

C. （-∞，-1]∪[1，+∞）

D. （-∞，-4]∪[4，+∞）

[牛刀小試]

精妙解法 p：x2-3x-4≤0即p：-1≤x≤4，記q：3-m≤x≤3+m（m>0）或3+m≤x≤3-m（m<0），依題意，p是q的充分不必要條件，則m>0，

3-m≤-1，

3+m≥4，或m<0，

3+m≤-1

3-m≥4，，解得m≤-4或m≥4. 故選D.

極速突擊 準(zhǔn)確解出p和q中的不等式是突破本題的關(guān)鍵. 從集合觀點(diǎn)來(lái)看充分、必要條件，有如下法則：設(shè)p：x∈A，q：x∈B，若A?B，則p是q的充分不必要條件；若A?B，則p是q的必要不充分條件；若A=B，則p是q的充要條件；若A?B且B?A，則p是q的既不充分又不必要條件.用集合法來(lái)判斷命題之間的關(guān)系往往十分簡(jiǎn)明，要點(diǎn)可以概括為“小范圍可以推出大范圍，大范圍不可以推出小范圍”.

全稱量詞和存在量詞

QUANCHENG LIANGCI HE CUNZAI

（★★★☆）必做9 下列命題中的假命題是（ ）

A. ?x∈R，2x-1>0

B. ?x∈R，lgx<1

C. ?x∈R，x2>0

D. ?x∈R，tanx=2

[牛刀小試]

精妙解法 因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，x2=0，所以C為假命題. 而其他命題均是正確的，故選C.

（★★★★）必做10 命題“?x∈R，ex

A. ?x∈R，ex>x

B. ?x∈R，ex≥x

C. ?x∈R，ex≥x

D. ?x∈R，ex>x

[牛刀小試]

精妙解法 特稱命題的否定為全稱命題，即“?x∈M，p（x）成立”的否定為“?x∈M，?p（x）成立”，所以命題“?x∈R，ex

極速突擊 對(duì)特稱命題的否定，在否定結(jié)論的同時(shí)，還要把存在量詞變?yōu)槿Q量詞，特稱命題的否定是全稱命題. 對(duì)全稱命題的否定，在否定結(jié)論時(shí)，還要把全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，全稱命題的否定是特稱命題.

誤點(diǎn)警示 注意含量詞命題的否定和不含量詞命題的否定在形式上的差異.

（★★★★）必做11 已知命題p：?x0∈R，ax+x0+≤0，若命題p是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

[牛刀小試]

精妙解法 法1：因?yàn)槊}p為假命題，所以“?x∈R，ax2+x+>0”為真命題. 當(dāng)a=0時(shí)，x>-，不成立；當(dāng)a≠0時(shí)，要使不等式恒成立，則有a>0，

Δ<0，即a>0，

Δ

=1-4×a<0，所以a>0，

a>，所以a>. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是

，+∞.

法2：若命題p：?x0∈R，ax+x0+≤0是真命題，則可得a≤0或a>0，

Δ

=1-4×a≥0，解得a≤. 所以，命題為假命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是

，+∞.

極速突擊 解法1利用了p為真和p為假互為反面進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了“正難則反”的思想；解法2利用了命題p和其否定?p的真假性相反這一性質(zhì)進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，如果研究p的真假性不方便時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為研究?p的真假性，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想.

要判斷一個(gè)全稱命題“?x∈M，p（x）”是真命題，需要證明對(duì)限定集合M中的每一個(gè)元素x，都有p（x）成立；但如果在集合M中找到一個(gè)元素x0，使得p（x0）不成立，那么這個(gè)全稱命題就是假命題（即通常所說(shuō)的舉出一個(gè)反例）. 要判斷一個(gè)特稱命題“?x∈M，p（x）”是真命題，只要在限定集合M中至少找到一個(gè)x=x0，使p（x0）成立即可，否則這一存在性命題就是假命題. 要否定全稱命題“?x∈M，p（x）成立”，只要在集合M中找到一個(gè)x，使得p（x）不成立，也即“?x∈M，?p（x）成立”. 要否定存在性命題“?x∈M，p（x）成立”，需要驗(yàn)證對(duì)集合M中的每一個(gè)x，都有p（x）不成立，即“?x∈M，?p（x）成立”.