馮天祥

高職院校的數(shù)學(xué)教學(xué)方法已得到數(shù)學(xué)教師的廣泛關(guān)注，但是卻沒有達(dá)到令人滿意教學(xué)效果。本文在分析教與學(xué)的關(guān)系的基礎(chǔ)上，針對(duì)幾個(gè)具體問題來探究適合高職學(xué)生實(shí)際的教學(xué)方法，這種方法要求我們既要考慮教師的教，也要考慮學(xué)生的學(xué)，不可割裂二者之間的關(guān)系。

鑒于我國(guó)高職院校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差、學(xué)習(xí)習(xí)慣不好、教學(xué)時(shí)數(shù)較少及教學(xué)預(yù)期較高等問題的存在，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的取舍和教學(xué)方法的確定尤其重要，因此高職院校數(shù)學(xué)教學(xué)方法的變革從未間斷過，但直到今天也沒有達(dá)到令人滿意的效果。教學(xué)活動(dòng)由教與學(xué)、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)手段構(gòu)成，而教學(xué)活動(dòng)又規(guī)定并制約教學(xué)實(shí)踐的成功程度。[1]這就是說，教學(xué)方法涉及到教師的“教”、學(xué)生的“學(xué)”及教材三個(gè)方面，但是大多數(shù)教學(xué)方法所討論的僅僅是教師根據(jù)教材而采取的“教”法而忽視了學(xué)生的“學(xué)”法，使教學(xué)成為一種單邊活動(dòng)。所以高職院校數(shù)學(xué)教學(xué)方法仍然要繼續(xù)改革與探究，尋找適合學(xué)生實(shí)際的教與學(xué)的方法更加迫切。如前所述，教學(xué)方法應(yīng)該稱為教與學(xué)的方法更為準(zhǔn)確。下面在分析教與學(xué)的關(guān)系的基礎(chǔ)上，針對(duì)一些具體問題探究適合高職學(xué)生實(shí)際的教學(xué)方法。

一教與學(xué)的關(guān)系

現(xiàn)代教育理論認(rèn)為：教學(xué)是教與學(xué)的交流與互動(dòng)，是師生心靈的碰撞，在教學(xué)活動(dòng)中通過語言、觀念、情感等的相互交流與溝通，達(dá)到分享彼此的思考、經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，最終實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)和共同發(fā)展；教學(xué)是在教學(xué)過程中教與學(xué)的有機(jī)結(jié)合，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)，不僅要教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)，更要教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教的活動(dòng)要圍繞學(xué)的活動(dòng)來開展，學(xué)生的學(xué)是教師的主要依據(jù)，教材是連結(jié)教與學(xué)的紐帶。筆者認(rèn)為，教與學(xué)具有如下關(guān)系：[2]

學(xué)比教更重要。教的目的是為了輔助學(xué)，老師教得再好，學(xué)生不學(xué)仍然不會(huì)有好的教學(xué)效果；教師教授的內(nèi)容也是通過學(xué)習(xí)得到的；學(xué)可以離開教師的教，但教離不開學(xué)，教師離開了學(xué)生就不是教師，而學(xué)生卻可以自學(xué)知識(shí)。

教為學(xué)指引方向。缺少教師的教，學(xué)習(xí)會(huì)走許多彎路，改變正確的方向，容易走向極端；缺少教師的教，學(xué)習(xí)會(huì)變得雜亂無章，不易形成體系，而且很難進(jìn)行深入的研究與探索；缺少教師的教，學(xué)易于走向死胡同，一旦走入死胡同就難以自拔；缺少教師的教，學(xué)會(huì)事倍功半，因?yàn)閿?shù)學(xué)的邏輯嚴(yán)密性會(huì)使學(xué)望而生畏，一些數(shù)學(xué)思想和方法會(huì)變得不可思議。

總之，學(xué)不能離開教，教也離不開學(xué)，二者之間相輔相成，相得益彰。

二幾個(gè)具體問題的教學(xué)實(shí)踐

在高職院校的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)一些問題的教學(xué)，看似非常簡(jiǎn)單，學(xué)生學(xué)習(xí)的效果卻不能令人滿意，從教的角度很難找出根源。我們不得已轉(zhuǎn)換思路，從教與學(xué)的關(guān)系出發(fā)，查出其中原因之一就是沒有處理好教與學(xué)的關(guān)系：

1三階行列式的計(jì)算

對(duì)于三階行列式的對(duì)角線法則的教學(xué)，一般都用轉(zhuǎn)彎算法實(shí)現(xiàn)其計(jì)算，我們?cè)诮虒W(xué)中，考慮到學(xué)生的實(shí)際情況，給出了所謂的不轉(zhuǎn)彎計(jì)算方法如下：

對(duì)于學(xué)生的學(xué)，我們提醒學(xué)生注意：三階行列式的展開式是六個(gè)項(xiàng)的代數(shù)和，其中三個(gè)項(xiàng)帶有“+”號(hào)，三個(gè)項(xiàng)帶有“-”號(hào)，每個(gè)項(xiàng)都是行列式的三個(gè)元素的乘積；在行列式中一些元素為負(fù)數(shù)時(shí)，留意這些符號(hào)的變化。

2矩陣的乘法

矩陣的乘法雖然不是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，但是高職院校的學(xué)生在學(xué)習(xí)中往往存在計(jì)算速度慢，準(zhǔn)確性差等困難。經(jīng)過一段時(shí)間的調(diào)查了解，認(rèn)真思考，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)兩個(gè)矩陣的乘積矩陣的行數(shù)和列數(shù)不很清楚，同時(shí)對(duì)于乘積矩陣的元素cij該怎樣計(jì)算也不明白。為此我們?cè)诮膛c學(xué)兩方面都進(jìn)行了改進(jìn)，實(shí)踐證明這樣的教學(xué)效果很好。

對(duì)教的問題，著重強(qiáng)調(diào)：（1）乘積矩陣AB的行數(shù)等于矩陣的行數(shù)，乘積矩陣AB的列數(shù)等于矩陣B的列數(shù)；（2）矩陣矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的行數(shù)是乘積矩陣AB有意義的條件；（3）cij是乘積矩陣AB的第i行第j列的元素，它是由矩陣A的第i行元素（從左至右的順序）ai1，ai2，，…，ain與矩陣B的第j列元素（從上至下的順序）b1j，b2j，…，bsj對(duì)應(yīng)乘積之和，即cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj（i=1，2，…，m，j=1，2，…，n）。

對(duì)于學(xué)，我們提請(qǐng)學(xué)生注意：首先應(yīng)判斷矩陣A與矩陣B的乘積AB是否有意義，在乘積AB有意義的前提下，確定乘積矩陣AB的行數(shù)和列數(shù)，最后是按照求乘積矩陣AB的元素cij的規(guī)則逐一求出它的各個(gè)元素，也就是乘積矩陣AB的第i行第j列的元素cij是由矩陣A的第i行元素從左至右取出來與矩陣B的第j列元素從上至下取出來作兩兩乘積的和。同時(shí)應(yīng)該讓學(xué)生進(jìn)行適量計(jì)算，讓學(xué)生熟悉矩陣乘法的規(guī)則和原理。

3利用初等行變換化一個(gè)矩陣為行簡(jiǎn)化階梯型矩陣

高職院校的學(xué)生對(duì)矩陣的初等行變換能夠掌握，也能夠理解行簡(jiǎn)化階梯型矩陣的概念，但是他們?cè)诶镁仃嚨某醯刃凶儞Q將一個(gè)矩陣化為行簡(jiǎn)化階梯型矩陣時(shí)，都存在不同程度的困難，改變了多種教學(xué)方法都沒有解決這個(gè)問題，于是考慮在教與學(xué)關(guān)系上處理這個(gè)問題，經(jīng)過教學(xué)實(shí)踐，這樣的教學(xué)能夠取得較為滿意的效果。

對(duì)于教的問題，強(qiáng)調(diào)了思路與步驟：第一步處理矩陣的第1列元素。首先看矩陣的第一列是否有非零元，如果沒有非零元，則處理矩陣的第二列元素。如果有非零元，看看矩陣的第一列元素中有沒有“1”，如果沒有“1”，就想法造一個(gè)元素“1”，然后可以通過行的交換把這個(gè)“”變到第1行第1列的位置，并用這個(gè)“”將第1列的其他元素全部化為零。第二步處理矩陣的第二列元素?？创藭r(shí)矩陣的第二列第二個(gè)及其下面的元素中是否有非零元，如果沒有非零元，則直接處理矩陣的第三列元素。如果有非零元，看看這些元素中有沒有“1”，如果沒有“1”，就想法造一個(gè)元素“1”，然后可以通過行的交換把這個(gè)“1”變到第2行第2列的位置，并用這個(gè)“1”將第2列的其他元素全部化為零。第三步處理矩陣的第三列元素?？创藭r(shí)矩陣的第三列第三個(gè)及其下面的元素中是否有非零元，如果沒有零元，則直接處理矩陣的第四列元素。如果有非零元，看看這些元素中有沒有“1”，如果沒有“1”，就想法造一個(gè)元素“”，然后可以通過行的交換把這個(gè)“1”變到第3行第3列的位置，并用這個(gè)“”將第3列的其他元素全部化為零。后面只需重復(fù)這一過程，就能把給定矩陣化成行簡(jiǎn)化階梯型矩陣。

對(duì)于學(xué)生的學(xué)，我們提請(qǐng)學(xué)生注意：（1）這里的“1”是指的一個(gè)單位，并不一定真為1；（2）沒有“1”造“1”的方法很多，所以化一個(gè)矩陣為行簡(jiǎn)化階梯型矩陣的方法也很多；（3）對(duì)于第列元素的處理，是考慮第列元素中第個(gè)及其下面那些元素中有無非零元開始的，隨著的變化考慮的元素的多少和位置都有變化；（4）要給學(xué)生實(shí)際操作的機(jī)會(huì)和時(shí)間。

4實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化

將一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化，如果某個(gè)特征值對(duì)應(yīng)多個(gè)線性無關(guān)的特征向量，就需要求出這個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特征向量組，然后將這些線性無關(guān)特征向量正交化和單位化，實(shí)際計(jì)算時(shí)非常麻煩，學(xué)生難以掌握，準(zhǔn)確率相當(dāng)?shù)?。我們針?duì)只有兩個(gè)自由未知量的特殊情形，直接取正交的特征向量再單位化就可以了。具體來說：

對(duì)于教師的教，只有兩個(gè)自由未知量的情形x1=ax2+bx3，只要取濁1=（0-b，a）T，η2=（a2+b2，a，b）T就能保證濁1，濁2相互正交。如對(duì)x1=x2-x3，因?yàn)閍=1， b=-1，所以取濁1=（0，1，1）T，濁2=（2，1，1）T，濁1=（0，1，1）T，濁2=（2，1，-1）濁。

對(duì)于學(xué)生的學(xué)，要求按照給定的公式先取出兩個(gè)正交的特征向量來，然后再單位化就可以了。在教學(xué)實(shí)踐中，對(duì)于一般的三階實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化，絕大多數(shù)學(xué)生都能夠用這樣的方法完成。這種定式教學(xué)也就是一種技巧或技能，他對(duì)于基礎(chǔ)不是很好的學(xué)生卻能收到較好的教學(xué)效果。

總之，高職院校的數(shù)學(xué)教學(xué)要充分考慮到教師的教和學(xué)生的學(xué)這兩個(gè)方面。如果割裂二者的關(guān)系進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，教學(xué)的效果就會(huì)大打折扣，教師難教，學(xué)生不愿學(xué)的狀況就會(huì)出現(xiàn)，久之必然出現(xiàn)教師不愿教，學(xué)生討厭學(xué)的被動(dòng)局面。如果我們?cè)诮痰耐瑫r(shí)考慮到學(xué)生的學(xué)，卻會(huì)慢慢改變學(xué)生不愿學(xué)的現(xiàn)狀。當(dāng)然這樣的教學(xué)方法對(duì)于基礎(chǔ)好、反映快的學(xué)生來說就不合適了，原因在于充分考慮當(dāng)學(xué)生的學(xué)，往往帶有教師解決問題的烙印，限制了學(xué)生的發(fā)揮，學(xué)生思考得余地會(huì)被削弱。