毛軍

極值問(wèn)題一直是數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，也是考試中經(jīng)常出現(xiàn)的一個(gè)考點(diǎn)，所以掌握一些基本的方法對(duì)極值問(wèn)題的求解是很必要的，并且可以達(dá)到事半功倍的效果，三點(diǎn)共線思想方法就是一種在求極小值中經(jīng)常用到的方法，下面列舉幾例以作參考。

一、三點(diǎn)共線思想在直線中的應(yīng)用

例1、P為直線x-y+1=0上一點(diǎn)，A點(diǎn)（-3，5）B點(diǎn)（0，3）為平面上兩點(diǎn)，求│PA│+│PB│最小值。

分析：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線x-y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'。易發(fā)現(xiàn)當(dāng)P為直線x-y+1=0與線段AB'交點(diǎn)時(shí)，即A，P，B'三點(diǎn)共線時(shí)│PA│+│PB│取得最小值，且│PA│+│PB│=│PA│+│PB│=│AB'│。

解：。作點(diǎn)B關(guān)于直線x-y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)B'，求得B'的坐標(biāo)為（2，1），再由兩點(diǎn)間距離公式可以求得。

點(diǎn)評(píng)：這是動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)間距離和最小的一個(gè)典型例題，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)。

例2、已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件x>0，y>0，且x+y=4，則函數(shù)的最小值。

分析：可以把和看成兩個(gè)Rt△ABC，Rt△A'B'C'的斜邊AB和A'B'，Rt△ABC的一條直角邊AC=x，Rt△A'B'C'的一條直角邊A'C'=y，再把這兩個(gè)直角三角形放到一起，使得A和A'重合，A'C'和AC在同一條直線上，則，，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求直線一動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和最小，且。

解：Z=5。建立直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)A（A'）點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），B'點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2），C'點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）。作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，求得點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（0，-1），連接B'B"，再由兩點(diǎn)間距離公式可以求得。

二、三點(diǎn)共線思想在圓錐曲線中的應(yīng)用

例3、（1）拋物線C：y2?=4x上一點(diǎn)P到點(diǎn)A（3，4）與到準(zhǔn)線的距離和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____________。

（2）拋物線C：y2?=4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B（4，1）與到焦點(diǎn)F的距離和最小，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為。

分析：（1）A在拋物線外，如圖，連PF，則│PH│=│PF│，因而易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。

（2）B在拋物線內(nèi)，如圖，作QR⊥l交于R，則當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。

解：（1）（2，）。連PF，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，│AP│+│PH│=│AP│+│PF│最小，此時(shí)AF的方程為即y=2（x-1），代入y2=4x得P（2，2），（注：另一交點(diǎn)為（），它為直線AF與拋物線的另一交點(diǎn)，舍去）

（2）（）。過(guò)Q作QR⊥l交于R，當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，│BQ│+│QF│=│BQ│+│QR│最小，此時(shí)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，代入y2=4x得x=，∴Q（）。

點(diǎn)評(píng)：這是利用定義將“點(diǎn)點(diǎn)距離”與“點(diǎn)線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個(gè)典型例題，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)。

例4、F是橢圓的右焦點(diǎn)，A（1，1）為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)。

①│PA│+│PF│的最小值為；

②│PA│+2│PF│的最小值為。

分析：PF為橢圓的一個(gè)焦半徑，常需將另一焦半徑PF'或準(zhǔn)線作出來(lái)考慮問(wèn)題。

解：（1）4-。設(shè)另一焦點(diǎn)為F'，則F'（-1，0）連AF'，PF'

當(dāng)P是F'A的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，│PA│+│PF│取得最小值為4-。

（2）3作出右準(zhǔn)線l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1，a=2，c=1，e=，