戚汝玉

解數(shù)學(xué)題，從透視條件的審題到利用思想的解題，應(yīng)該是一個(gè)有序、得法、嚴(yán)密的展開(kāi)過(guò)程。

一、分析顯隱條件審題

事物的本質(zhì)總是寓于事物的表象中，所以解題時(shí)就要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析題目的顯性條件與隱含條件，分析題目的結(jié)論與結(jié)論成立的條件，從而找出具有規(guī)律性的東西，即抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。這樣不僅問(wèn)題可以迎刃而解，同時(shí)也可以提高學(xué)生的思維深度。

例如：在同一平面內(nèi)，已知O到直線(xiàn)l的距離為5，以0為圓心，r為半徑畫(huà)圓，探索歸納：（1）當(dāng)r為何值時(shí)圓O上有且只有一個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離等于3？（2）當(dāng)r為何值時(shí)圓O上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離等于3？（3）隨著r值的變化圓O上到直線(xiàn)l的距離等于3的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有哪些變化？許多同學(xué)看不懂題目，不知如何下手解決問(wèn)題，此時(shí)可以借助媒體畫(huà)出圖形，通過(guò)媒體的演示，很容易看出實(shí)際上題目中考察了直線(xiàn)與圓的三種位置關(guān)系下直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)和圓心d與r大小關(guān)系，從而得出結(jié)論。

再如：在正方形ABCD中，點(diǎn)E在A(yíng)B上，AE=3，BE=4，點(diǎn)P為對(duì)角線(xiàn)AC上任意一點(diǎn)，連接PB﹑PE，當(dāng)P在A(yíng)C上何處時(shí)，PB+PE最?。坎⑶蟪鲎钚≈?？此題中P點(diǎn)的位置是難點(diǎn)，只有確定P點(diǎn)的位置，最小值才能求。此時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生思

思考直線(xiàn)AC以及AC同側(cè)兩點(diǎn)B﹑E，在直線(xiàn)AC上找一點(diǎn)P，使得PB=PE最小，學(xué)生一定會(huì)想到運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)性中線(xiàn)段最短來(lái)解決問(wèn)題，那么問(wèn)題就也迎刃而解了。

由于正方形質(zhì)的得出B、D關(guān)于A(yíng)C對(duì)稱(chēng)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知，連接DE，交AC于P，連接BP，則此時(shí)PB+PE的值最小，進(jìn)而利用勾股定理求出即可。

二、攜同數(shù)學(xué)思想解題

（一）活化思維——要因轉(zhuǎn)化策略

數(shù)學(xué)問(wèn)題中的諸多因素是相互關(guān)聯(lián)，相互制約的。對(duì)于已知條件，求解的對(duì)象以及求證的結(jié)論在觀(guān)察的基礎(chǔ)上，尋找該問(wèn)題同已有的知識(shí)間的練習(xí)，通過(guò)變換把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)或幾個(gè)易于解決的問(wèn)題。其思維特點(diǎn)就像匈牙利數(shù)學(xué)家路莎·彼得所指出那樣：“往往不對(duì)問(wèn)題進(jìn)行正面的攻擊。而是不斷地將其變形，直至將它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問(wèn)題”。從某種意義上說(shuō)轉(zhuǎn)化是解題與證題的精髓。因此在指導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)要特別注意加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，它對(duì)提高學(xué)生的應(yīng)變能力，培養(yǎng)學(xué)生的思維的靈活性與敏捷性是十分有效的。

例如證明直角三角形的兩直角邊之和小于寫(xiě)便于斜邊上的高之和。在這個(gè)問(wèn)題中實(shí)際上是證明如圖中的a+b

由ab=ch可得h=ab/c，于是結(jié)論可以變?yōu)閍+b

（二）拓展思維——雙向類(lèi)比策略

唯物辯證法告訴我們：萬(wàn)物之間都有聯(lián)系，即事物之間具有相同的或相似的屬性。數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的知識(shí)結(jié)構(gòu)更是如此，我們?cè)趯で蠼鉀Q問(wèn)題的方法時(shí)，就可以由其中的一個(gè)或一類(lèi)問(wèn)題推動(dòng)另一個(gè)或另一類(lèi)問(wèn)題所具有的相似的屬性，這就是解題時(shí)的類(lèi)比思維。教學(xué)時(shí)有計(jì)劃地把規(guī)律相同或類(lèi)似的知識(shí)，運(yùn)用類(lèi)比的方法講解，有助于訓(xùn)練學(xué)生解題時(shí)的思維拓展，從而快速解決問(wèn)題。

1、運(yùn)用縱向類(lèi)比，培養(yǎng)思維的變通性。

根據(jù)數(shù)學(xué)教材的編排意向，數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)分析，新授知識(shí)一般是舊知識(shí)的縱向延伸，所以幫組學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)也可以有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行縱向類(lèi)比。這樣不僅可以強(qiáng)化知識(shí)，而且可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，變通性。

例如：在初一的有理數(shù)計(jì)算教學(xué)中經(jīng)常會(huì)計(jì)算到“1+2+3+4+5…+n的值”，很多學(xué)生會(huì)歸納出1+2+3+4+5…+n= n（n+1），由此教師可以有目的地啟發(fā)學(xué)生計(jì)算1×2+2×3+3×4+…9×10的值，并引導(dǎo)學(xué)生將其結(jié)果化為 ×9×10×11，后讓學(xué)生計(jì)算1×2+2×3+3×4+…n×（n+1）的值，通過(guò)類(lèi)比猜想而得出結(jié)果為 ×n×（n+1）（n+2）。

2、運(yùn)用橫向類(lèi)比，培養(yǎng)思維的跳躍性

同樣數(shù)學(xué)教材中知識(shí)的結(jié)構(gòu)以結(jié)網(wǎng)連篇形式橫向聯(lián)通，知識(shí)以列聯(lián)，邏輯次序出現(xiàn)，所以在指導(dǎo)學(xué)生解題過(guò)程中，可以借助相似原理，展開(kāi)聯(lián)想的翅膀，進(jìn)行橫向比較，從而解決問(wèn)題。

例如：（06宿遷中考題第一題） 設(shè)邊長(zhǎng)為2a的正方形的中心A在直線(xiàn)l上，它的一組對(duì)邊垂直于直線(xiàn)l，半徑為r的⊙O的圓心O在直線(xiàn)l上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A、O間距離為d。（1）如圖①當(dāng)r

所以，當(dāng)r

在解決本題時(shí)如果引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比聯(lián)想學(xué)過(guò)的圓與圓的位置關(guān)系的分類(lèi)方法，通過(guò)正方形向圓運(yùn)動(dòng)的不同圖形結(jié)論不難得出。

因此從本質(zhì)上說(shuō)類(lèi)比是一種發(fā)現(xiàn)的方法而不是一種論證的方法。 在解題中， 類(lèi)比的重要作用在于啟迪思維， 幫助我們尋找解題思路，在此基礎(chǔ)上， 再用其他方法解決問(wèn)題。

（三）互生思維——數(shù)形結(jié)合策略

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說(shuō)過(guò)“ 數(shù)與形是共存于同一體中的事物的兩個(gè)側(cè)面，數(shù)缺形少直觀(guān)，形離數(shù)難入微?！彼栽诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題是要注意引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)與形兩個(gè)側(cè)面對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，充分利用形的直觀(guān)來(lái)揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，由形想數(shù)，利用數(shù)來(lái)研究形的各種性質(zhì)，尋求運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即幫助學(xué)生學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合中的形可以是數(shù)軸，函數(shù)的圖像和幾何圖形等等，一般數(shù)形結(jié)合可以從兩方面入手。

1、以形助數(shù) ：

把數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形狀的性質(zhì)去解決，它往往具有直觀(guān)性，易于理解與接受，如相反數(shù)，絕對(duì)值，不等式及有關(guān)的習(xí)題可以運(yùn)用數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)解決，函數(shù)問(wèn)題以及一元二次方程等問(wèn)題可以通過(guò)函數(shù)圖像來(lái)解決。

例如如果關(guān)于x的不等式組 的整數(shù)解僅有1，2，那么適合這個(gè)不等式組的整數(shù)a，b組成的有序數(shù)對(duì)（a，b）共有 個(gè).習(xí)題是一個(gè)有關(guān)不等式的問(wèn)題，可以結(jié)合數(shù)軸講解，直觀(guān)并易于學(xué)生理解。首先解不等式組 ，由①得：x≥ ，由②得：x≤ ，不等式組的解集即為： ≤x≤ ，根據(jù)不等式組的整數(shù)解僅為1，2，此時(shí)是個(gè)難點(diǎn)，利用數(shù)軸易于確定a，b的范圍，才可確定a，b的整數(shù)解，即可求解.由于不等式組的整數(shù)解僅有1，2，可畫(huà)如下數(shù)軸：

由數(shù)軸觀(guān)察可得 0< ≤1，2≤ <3，從而解得：0

2、以數(shù)輔形：

用數(shù)式的推理來(lái)揭示圖形的性質(zhì)，幫助學(xué)生簡(jiǎn)化解題的方法。如用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，用代數(shù)法判斷直線(xiàn)與圓，圓與圓的位置關(guān)系，用勾股定理解決圖形問(wèn)題等等。

例如如圖正方形ABCD，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在A(yíng)B上，且BF= ，猜想EF與DE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。習(xí)題看起來(lái)是個(gè)幾何問(wèn)題，用正方形的性質(zhì)以及三角形相似等幾何方法可以解決問(wèn)題，但是如果用勾股定理說(shuō)明思路清晰易懂。

由條件設(shè)AB=AC=BC=CD=4a，那么BE=EC=2a，BF=a，由勾股定理可得DF2=25a2，=5a2，DE2=20a2，所以DF2+EF2=DE2，即可得直角三角形，EF⊥DE

總體來(lái)說(shuō)，數(shù)形結(jié)合方法在解題中應(yīng)用十分廣泛，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題可以起到事半功倍的效果。

在解數(shù)學(xué)題中，用到的思維方法還有很多，不再一一闡述?？傊?，學(xué)生的思維能力決定著解題能力.因此在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)有意點(diǎn)撥和訓(xùn)練學(xué)生的思維，提高學(xué)生的思維能力以促其解題能力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

（作者單位：江蘇常州武進(jìn)遙觀(guān)初中）