李俊芳

初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中，對于代數(shù)應(yīng)用題的最值問題，我們通常是借助于函數(shù)（方程）來解決，那么幾何最值通常借助什么知識呢？我們先了解幾何最值的特點：當(dāng)平面圖形的某些元素，如點或線，在一定條件下運動時，與此相關(guān)的某些元素，如長度、周長、面積等的大小會在允許的范圍內(nèi)有規(guī)律地變化，此時可能會存在最大或最小值。其中，公理“兩點之間，線段最短”會發(fā)揮重要的作用。

幾何原形：兩點之間，線段最短。

公理釋義：從A點出發(fā)，到達B點之間有很多種線路可到達，如圖1，其中最短線路是沿線段AB走。

1.直接使用原理。

數(shù)學(xué)原型：一條公路l，兩旁有兩個村莊A和B，要在兩個村之間修一條路，請在圖2中畫出修路的最短線路。

分析：就數(shù)學(xué)角度而言，公路所在直線l，只是一個干擾因素，只要關(guān)注到“兩村之間最短路線”，就能聯(lián)想到公理“兩點之間，線段最短”，直接連接AB即可。

例1 如圖3，一條河的河岸l1，l2看作兩條平行線，河兩旁有兩個村莊A、B，要溝通兩個村莊需要修路和架橋，請畫出溝通兩個村莊的路和橋最短線路。

解：如圖4，把A村沿河岸垂直的方向，平移河寬到點C，然后連接BC，與河岸交于點D，過D作AC的平行線交另一河岸于E點，連接AE得折線AEDB，就是修路、橋的線路。

2.通過一次軸對稱使用原理。

數(shù)學(xué)原型：如圖5，直線AB的同一旁有兩個點C、D，請在直線上作一點P，使得PC+PD的值最小。

解決方案是老師和學(xué)生們都比較熟悉的，如圖6：先作點D的對稱點E，連接CE交AB于點P即可。

原型變式：改變題設(shè)中的“直線AB”為基本圖形：

（1）變直線為正方形

如圖7，點P是邊長為4的正方形ABCD的對角線BD上任意一點，求PC+PE的最小值。

分析：這是一道典型的勾股定理求解題。如何得到直角三角形是問題的關(guān)鍵。把問題簡化成圖7的基本形式，有一定的難度：首先，要把邊BD看成直線l（對學(xué)有困難的學(xué)生，可以畫在紙上后，調(diào)整紙的角度，擺成圖7的形狀，有利于解決問題），這樣就能想到找點C關(guān)于BD的對稱點，即點A，連接EA與BD的交點，就是點P，從而求出PC+PE的最小值等于AE長。

當(dāng)然，在這個圖形中，也可以把正方形的條件改變成等腰直角三角形，解決方法不變。

（2）變直線為圓（或部分圓）

如圖8，扇形AOB中，OA=OB=4，∠AOB=90°，點C是AB的三等分點（靠近點B），若半徑OB上有一點P，求PA+PC的最小值。

分析：雖然這個問題情境比（1）更難些，但是只要抓住變化過程的實質(zhì)：“直線OB的一旁有兩個點，在直線OB上找一點，然后求線段之和的最小值”，就可以簡化成圖7的形式，如圖9。

3.通過兩次軸對稱使用原理。這種問題往往應(yīng)用原理的痕跡不明顯，但如果能意識到“距離最短”的時候，只要有轉(zhuǎn)換思維角度，雖然思維要求比較高，但還是可以找到原理的運用方法的。

數(shù)學(xué)原型：如圖10，∠AOB內(nèi)有一點P，點C在射線OA上，點D在射線OB上，通過尺規(guī)作圖，確定C、D的位置，使△PCD的周長最小。

解：先作點P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N，然后連接MN交OA、OB分別于C、D兩點，則此時△PCD的周長最小，如圖11。

公理“兩點之間，線段最短”，不僅僅在初中數(shù)學(xué)教材中地位顯赫，在高中數(shù)學(xué)的立體幾何學(xué)中也備受關(guān)注，因此，對“她”的研究遠沒結(jié)束。