唐昌明

最近我上一屆的學生小勇回來學校來看我，再次和我討論起SSA到底能不能證明兩個三角形全等的問題，他仍然堅持認為SSA是可以證明全等的。小勇說最近他看了某所高校所主辦的雜志中的一篇文章，題目就是《SSA到底能不能證明全等》很受啟發(fā)，認為現(xiàn)在有足夠理由說服我。小勇目前就讀高中，數(shù)學的視野自然增加不少，對本問題也許有了真知灼見?？纯托∮碌囊娊猓?/p>

一、他認為教材應該講SSA證明全等

我們知道，人教版實驗教科書八年級數(shù)學教材上學期講述的證明三角形全等有很多方法：SSS、SAS、AAS、ASA、HL。關于SSA，也就是，已知三角形的兩邊以及一邊的對角對應相等時兩個三角形是否全等，教材舉出了如右圖的例子：

△ABC與△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但是兩個三角形不能重合---不全等。從而給出了結論：已知三角形的兩邊以及一邊的對角對應相等時并不能證明兩個三角形全等。

小勇認為，這是教材的武斷，他說這兩個三角形的形狀不相似，大小也不一樣當然是不全等，如果形狀一樣，又滿足SSA，完全可以證明全等。比如證明兩個直角三角形全等的HL，即已知兩個直角三角形的一個直角邊和一個斜邊對應相等的情況下，就可以判斷出這兩個直角三角形全等。所以HL就是SSA的特例，只不過現(xiàn)在已知的另外一個角是90度而已，教材不是也作為定理了嘛，為什么就不肯承認SSA的正確性呢？

二、他認為可以利用園的性質從另一角度證明SSA的正確性。

為了研究和△ABC滿足SSA條件的三角形，做出它的外接圓，如圖（1），

并以AB為邊，在同側作△ABD，要想使其滿足有一個角相等，只能使點D在圓上，要想有另外一個“非夾邊”對應相等，只需取BD=AC，則弧BD=弧AC所以∠ABC=∠BAD，又因為∠C=∠D，所以△ABC≌△BAD（AAS）。如果AB恰好是直徑如圖（2），則可以做出三個滿足SSA的三角形，全都與△ABC全等。這個時候所討論三角形都是直角三角形，本質就是HL， 其正確性毋庸質疑。

因此，小勇認為應該承認SSA的正確性，如果把SSA編進教材，可以如此總結：已知三個條件對應相等，并且至少有一個條件是邊相等的情況下，我們就可以證明這兩個三角形全等。

針對小勇談的第一點，我認為，兩個如果三角形以形狀相同為前提，SSA可以證明全等的結論是正確的，但這樣一來，兩個三角形全等的條件由三個變成了四個，并不是真正的SSA。另外形狀相同涉及到相似的概念，學生尚未正式學習，這樣處理顯然不妥，教材當然不予采納。數(shù)學講究嚴謹科學，一旦有一個反例，則命題的局部正確性不足以使其成為定理。

其實他第二點談的證明方法似乎是新穎的，但是并沒有全面考慮，我就他的圖形的基礎上舉出反例如下：

在圖（3）中，滿足AC=AD，AB=AB，∠ABC=∠ABD，滿足SSA的條件，但是△ABC與△ABD會全等嗎？我問小勇，他無言以對。在圖（4）中，滿足AC=AC，BC=CD， ∠B=∠D，滿足SSA的條件，但是△ABC與△ABD會全等嗎？小勇再次無言以對。

小勇說沒有想到自己證明方法有遺漏，實在可惜，哎這個方法也是在雜志上學來的啊，想不到會是不全面的。盡管小勇承認了后面證明方法的疏漏，但他還是堅持認為教材應該承認SSA的正確性。 這孩子還真是很扭！

其實我們知道，SSA在角為直角和鈍角時都是成立的。當角為直角時SSA其實就是HL定理，角為鈍角時，SSA作為定理也未嘗不可。教材的安排維護了定理的嚴謹性科學性全面性，顯然也是很有道理的。我想時間會說服小勇的，現(xiàn)在就讓他繼續(xù)思考吧！思考著，自然進步著！

參考文獻：

1.《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》

2.《基礎教育課程改革綱要（試行）》

3.《義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學八年級上冊》