趙麗輝

運用構(gòu)造法解題，是在解題的思維過程中，對已有的知識和方法采取分解、組合、變換、類比、限定、推廣等手段進行思維的再創(chuàng)作，充分滲透了猜想、歸納、試驗、概括、特殊化等重要的數(shù)學(xué)方法，通過利用各部分知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和性質(zhì)或形式上的某種相似性，有目的地構(gòu)造一個特定的數(shù)學(xué)模型，使問題在該模型的作用下實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，從而迅速、簡潔、新穎、獨特地獲解。構(gòu)造法的運用有利于提高我們的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)我們的求異思維創(chuàng)造性思維，提高分析問題和解決問題的能力。筆者下面舉例說明這種解題思想的優(yōu)越性和巧妙性。

一、構(gòu)造方程

若問題中某些變量的范圍符合方程的某些特點，我們可以考慮構(gòu)造一個輔助方程，然后通過解方程或?qū)Ψ匠痰难芯渴箚栴}簡捷獲解。

例1.求同時滿足下列各條件的所有復(fù)數(shù)z：（1）z+■是實數(shù)，且1

解析：設(shè)z+■=m，由于z·■=10，故構(gòu)造關(guān)于z的二次方程：z2-mz+10=0

∵1

∴m只可能取值2、4、6。

當m=2時，z=1±3i；m=4時，z=2±■i（舍去）；m=6時，z=3±i。

綜上所述知，z=1±3i或3±i。

二、構(gòu)造函數(shù)

如果給出的問題本質(zhì)上是關(guān)于函數(shù)的理論，則該問題可通過設(shè)輔助函數(shù)，把題設(shè)條件和所給的量關(guān)系進行調(diào)整，重新組合，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)性質(zhì)的問題，進而使問題獲得解決。

例2.設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的兩個根x1、x2滿足0

證明：欲證f（x）>x，即f（x）-x>0，又已知方程f（x）-x=0的根的情況，由此可構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+c（a>0）。因方程f（x）-x=0的兩根為x1、x2，故可設(shè)F（x）=a（x-x1）（x-x2）。由00，所以F（x）=f（x）-x=a（x-x1）（x-x2）>0，f（x）>x。

又x1-f（x）=x1-[F（x）+x]=x1-x-a（x-x1）（x-x2）=（x1-x）[1+a（x-x2）]，由00，1+a（x-x2）=1+ax-ax2>1-ax2>0，f（x）

三、構(gòu)造幾何體

通過構(gòu)造一個熟悉的幾何體，利用其特有的性質(zhì)解決原問題，這是解立體幾何常用的方法。

例3.已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面的面積是（ ）

A.4π B.■ C.■ D.■

解析：構(gòu)造正三棱錐O—ABC，如圖1。O為球心，設(shè)OO1為正三棱錐O—ABC的高，則O1為△ABC的中心，易知AO1=■■。又OO1=■，OA=R。

在Rt△ABC中，有R2=（■）2+（■■）2，據(jù)此可得：R=■。所以S=4πR2=■，故本題應(yīng)選D。

四、構(gòu)造幾何模型

構(gòu)造圖形的實質(zhì)就是“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”，如果條件的數(shù)量關(guān)系能以某種方式與幾何圖形建立聯(lián)系，則通過構(gòu)造圖形，將題設(shè)條件或數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得到體現(xiàn)，常會使問題簡單化，抽象問題直觀化。

例4.已知橢圓■+■=1（a>0，b>0），A、B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P（x0，0）。證明：-■

證明：以P（x0，0）為圓心，|PA|=r為半徑構(gòu)造圓（x-x0）2+y2=r2，則由b2x2+a2y2=a2b2（x-x0）2+y2=r2

消去y2得：■x2-2x0x+（x02+b2-r2）=0

設(shè)A、B的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2），則x1+x2=■x0

又x1，x2∈[-a，a]，且x1≠x2，則-2a

五、構(gòu)造數(shù)列

某些問題所給條件隱含數(shù)列因素或證明與自然數(shù)有關(guān)的不等式問題，或當題目的某些特征與數(shù)列的通項、求和、中項等公式相似時，均可構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)列求解。通過等差或等比數(shù)列解決問題，或轉(zhuǎn)化成單調(diào)數(shù)列的討論，利用其單調(diào)有界性，完成數(shù)列不等式的證明。

例5.證明不等式1+■+■+…■<2■（n∈N）。

證明：設(shè)an=2■-（1+■+■+…■），

an+1-an=2■-2■-■=■=■>0

則an+1>an，數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，因此an>an-1>…>a1=1>0，即1+■+■+…■<2■。

六、構(gòu)造對偶（稱）式

構(gòu)造對偶式解題，尤其是解三角試題，方法新穎獨特，簡潔快速。

例6.求sin220°+cos250°+sin20°cos50°

解析：設(shè)m=sin220°+cos250°+sin20°cos50°，n=cos220°+sin250°+cos20°sin50°，

則m+n=2+sin70°，m-n=cos100°-cos40°-sin30°=-2sin70°sin30°-■=-sin70°-■

∴2m=2-■=■，m=■。

七、構(gòu)造向量

對于求證式中含有乘積的和及乘方的和時，可考慮構(gòu)造適當?shù)南蛄?，利用向量積公式：■·■=|a|·|b|·cosθ≤|a|·|b|及其坐標表示的公式來證。

例7 .求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ca。

證明：構(gòu)造向量■={a，b，c}，■={b，c，a}。則有：|■|=■，|■|=■。

又■·■=|■|·|■|·cosθ≤|■|·|■|=a2+b2+c2，·=ab+bc+ca，從而a2+b2+c2≥ab+bc+ca。

通過對上述一些例題的解析，大家不難看出，在如此眾多的構(gòu)造途徑中，有很大的靈活性和創(chuàng)造性，因此我們在求解此類問題時，應(yīng)多角度、多方位、多層次地去思考、探索、分析，從中選擇合理的方法、恰當?shù)耐緩?，力求取得事半功倍的效果?【責(zé)編 張偉飛】