李青青 李建建

摘 要：圖像盲復(fù)原是在點擴散函數(shù)未知的情況下從退化觀測圖像中恢復(fù)出原圖像的高頻細(xì)節(jié)。本文給出了一種交替進行Lucy-Richardson恢復(fù)和全變差正則化的盲圖像恢復(fù)算法。算法將圖像盲恢復(fù)問題分解成圖像恢復(fù)和模型辨識兩個關(guān)聯(lián)的子問題。在模型辨識階段，采用全變差正則化估計系統(tǒng)的點擴散函數(shù)；在圖像恢復(fù)階段，使用Lucy-Richardson算法和奇異值分解相結(jié)合的方法恢復(fù)圖像。實驗結(jié)果證明，該方法能更好的抑制噪聲、提高圖像的分辨率。

關(guān)鍵詞：Lucy-Richardson；圖像盲復(fù)原；奇異值分解；全變差正則化

圖像在獲取過程中，不可避免地會受到成像體制、噪聲及場景的影響，從而導(dǎo)致目標(biāo)細(xì)節(jié)丟失，圖像分辨率下降。為了增加退化圖像的可理解性和目標(biāo)的可識別性，眾多研究人員采用不同的處理技巧和估計準(zhǔn)則提出了不同的復(fù)原方法。由于引起圖像退化的因素眾多且性質(zhì)不同，故每種復(fù)原方法都有其特殊的應(yīng)用場合，其典型代表為Lucy-Richardson（LR）算法[1，2]。LR算法假定圖像服從泊松分布，采用最大似然法進行退化圖像的迭代復(fù)原。當(dāng)噪聲較小時，該算法具有良好的恢復(fù)效果，通過多次迭代可收斂至穩(wěn)定解。其二，基于正則化理論的復(fù)原方法。正則化方法根據(jù)圖像的先驗信息，通過添加正則項或“懲罰”項，將圖像復(fù)原這一病態(tài)問題轉(zhuǎn)化為良態(tài)問題，從而求解出一個有意義的、穩(wěn)定的近似解。其典型代表為Chan[3]等提出的全變差正則化方法。該算法具有計算復(fù)雜度低，恢復(fù)效果好的特點，并且從理論上證明了圖像是逐片光滑時，全變差正則化比二次正則化能更好地恢復(fù)圖像邊緣[5]。然而，無論是LR算法還是全變差正則化算法都未充分考慮系統(tǒng)的點擴散函數(shù)（或模糊卷積矩陣）和噪聲對復(fù)原結(jié)果的影響。例如當(dāng)噪聲較大時，LR算法的復(fù)原結(jié)果會出現(xiàn)一些明顯“斑點”。這些“斑點”噪聲表明LR算法存在放大噪聲的缺陷。文獻[4]針對高斯模糊類型噪聲，對LR算法進行改進，通過迭代不斷修正點擴散函數(shù)（Point Spread Function，PSF），對重建后的圖像進行邊緣檢測，通過形態(tài)學(xué)膨脹和零填充方法掌握其邊緣信息，有效地去除了邊緣環(huán)現(xiàn)象。文獻[5]提出了一種交替使用小波去噪和全變差正則化的盲圖像恢復(fù)算法，其可被稱之為交替去噪正則化盲復(fù)原方法。該方法將圖像復(fù)原問題分解為圖像去噪和圖像恢復(fù)兩個問題，可以交替采用圖像去噪和圖像恢復(fù)算法求解。模型辨識階段，使用全變差正則化算法估計點擴散函數(shù)；圖像恢復(fù)階段，使用小波去噪和全變差正則化相結(jié)合的算法恢復(fù)圖像。經(jīng)實驗證明，該方法能有效估計系統(tǒng)的PSF，提高圖像的分辨率。然而，該算法亦可改進。

本文聯(lián)合使用LR算法、全變差正則化和奇異值分解[6]，提出了一種盲圖像恢復(fù)的迭代算法。算法交替求解兩個問題： 模型辨識階段使用全變差正則化；圖像恢復(fù)階段使用LR算法和基于SVD的圖像去噪算法。仿真結(jié)果表明，本文提出的算法具有較強的去噪復(fù)原能力。

1 本文算法

1.1 圖像降質(zhì)模型

設(shè)成像系統(tǒng)具有線性和空移不變性，且噪聲為加性噪聲，則成像系統(tǒng)降晰的數(shù)學(xué)模型可簡單表示為：

其中u（x，y）為原始圖像，f（x，y）降晰后的圖像，h（x，y）為系統(tǒng)的PSF，反映了系統(tǒng)對圖像的影響，一般不能精確已知，n（x，y）為噪聲。式（1）也可寫成矩陣形式即：

其中，f，u，n分別代表退化圖像、原圖像和觀測噪聲，且均為一個行堆疊形成的MN×1列向量，H為PSF形成的MN×MN階的塊循環(huán)矩陣即模糊卷積矩陣。

1.2 圖像恢復(fù)

LR算法是一種典型的迭代復(fù)原算法，最終收斂于泊松統(tǒng)計模型的最大似然解[7]。根據(jù)貝葉斯理論，它假定觀測圖像、PSF、和原始圖像服從某個概率統(tǒng)計模型，通過迭代獲得u（x，y）的最大似然估計，即

因此根據(jù)不同的統(tǒng)計模型，會產(chǎn)生不同的估計方法。假定 和un（x，y）分別代表第hn（x，y）次迭代的圖像估計和點擴散函數(shù)估計，則第n次圖像估計為

其中∑h（x，y）=1，h（-x，-y）=h（x，y），初始條件為u0（x，y）=f（x，y），其中f（x，y）為系統(tǒng)獲取的降晰圖像。

雖然，通過多次迭代可獲得復(fù)原圖像和PSF的估計，但LR算法的計算量大大增加，同時它對噪聲還相當(dāng)敏感。當(dāng)?shù)螖?shù)變大時，復(fù)原圖像會變得比退化圖像更加模糊，且由于點擴散函數(shù)的不準(zhǔn)確性，整個圖像會產(chǎn)生“振蕩”波紋。因此，要獲得良好的恢復(fù)效果就必須進行模型辨識和抑制噪聲。故在每次復(fù)原后，本文算法對恢復(fù)結(jié)果進行SVD濾波，并采用其他方法來對成像系統(tǒng)的PSF（或模糊卷積矩陣H）進行辨識，提高LR算法的復(fù)原質(zhì)量。

對于圖像矩陣而言，較大的奇異值及其特征向量對應(yīng)的是圖像信號，而較小的奇異值及其特征向量表征的是圖像中的噪聲。合理的選取截取準(zhǔn)則，將某些較小的奇異值置零，可有效去除噪聲的影響。本文采用文獻[6]中的方法進行SVD去噪。

1.3 模型辨識

文獻[3]在沒有點擴散函數(shù)和圖像先驗知識的前提下，利用全變差正則化方法對圖像進行恢復(fù)，其代價函數(shù)為

其中α1，α2為正則化參數(shù)。它們控制著圖像迭代恢復(fù)過程中點擴散函數(shù)（或模糊卷積矩陣H）和過渡圖像的置信度。▽u和▽H分別表示u和H的梯度。

綜上所述，本文算法的模型框圖如圖1所示：

2 實驗結(jié)果及分析

仿真試驗中，全變差正則化的參數(shù)參照文獻[3]中的方法來選擇。實驗中選用半徑為9的圓盤狀點擴散函數(shù)對標(biāo)準(zhǔn)圖像進行模糊，并添加均值為0，方差為30的高斯白噪聲。最后，分別用本文算法與LR算法、交替去噪正則化盲復(fù)原算法對降質(zhì)圖像進行復(fù)原，其結(jié)果如圖2所示：

由圖2（c）可知，受噪聲和PSF估計不準(zhǔn)確的影響，LR算法對衛(wèi)星輪廓恢復(fù)的能力有限，同時將噪聲的放大使得圖像的分辨率進一步降低，這與前面的論述相印證。由圖2（d）可知，交替去噪正則化盲復(fù)原算法的恢復(fù)效果明顯優(yōu)于LR算法。圖像中僅存在少量的噪聲且衛(wèi)星的輪廓變的更加清晰，但與圖2（e）相比，整個圖像對比度較低。通過分析圖2（e）可知，本文給出的算法能有效抑制噪聲、恢復(fù)圖像中丟失的高頻細(xì)節(jié)、增強圖像的對比度，并最終提升了圖像的分辨率。以上結(jié)論亦可從PSNR看出。本文算法的PSNR比交替去噪正則化盲復(fù)原算法高出了0.34dB，有了較大提高。

3 結(jié)語

圖像盲復(fù)原問題一直是一個頗具挑戰(zhàn)性的問題，其目的是在恢復(fù)圖像高頻細(xì)節(jié)的同時平滑噪聲。本文在LR算法的基礎(chǔ)上進行改進，給出了一種融合SVD和全變差正則化的盲圖像恢復(fù)算法。在噪聲及系統(tǒng)的PSF未知的情況下，將圖像盲復(fù)原問題分為兩個相關(guān)子問題即圖像恢復(fù)和模型辨識。在模型辨識階段，采用全變差正則化估計系統(tǒng)的PSF；在圖像恢復(fù)階段，使用SVD濾波和LR算法相結(jié)合的恢復(fù)算法。實驗結(jié)果表明，本文算法能獲得更好的恢復(fù)效果。

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