徐謙

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（中華人民共和國教育部制定，北京師范大學(xué)出版社出版，2011年）指出：“數(shù)學(xué)課程能使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的抽象 思維和推理能力；培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力；促進(jìn)學(xué)生在情感、態(tài)度與價(jià) 值觀等方面的發(fā)展?！币虼?，學(xué)生要通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)會數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)的基本方法和基本技能。

我們在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常會碰到一些條件比較分散的幾何綜合題，這時(shí)候我們就應(yīng)該采取一些方法把這些條件集中起來，常用的方法就是圖形變換，即平移、旋轉(zhuǎn)、對稱、相似變換、等積變形等，添加輔助線是圖形變換的具體表現(xiàn)。下面我們通過一些例子，重點(diǎn)談?wù)勂揭品?、旋轉(zhuǎn)法、對稱法這幾種變換方法在幾何證明題中的具體運(yùn)用。

一、平移法

平移法就是把某個(gè)圖形沿著一定的方向從一個(gè)位置平移到另一個(gè)位置的方法。平移法的依據(jù)是利用“平行四邊形的性質(zhì)”和“中位線定理”，平移法在梯形的有關(guān)計(jì)算和證明中表現(xiàn)得較為充分，如過一點(diǎn)作腰的平行線、構(gòu)造平行四邊形和三角形、把腰平移到同一個(gè)三角形中、把兩底平移到同一條直線上等。

例l 如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)。求證：EF=1/2（BC-AD）。

探求：由結(jié)論中的BC-AD是兩底的差，想辦法把AD移到BC上，考慮到E是AD的中點(diǎn)，故過E分別作EM∥AB，EN∥DC，交BC分別于M、N，則MN=BC-AD。再結(jié)合平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，問題得證。

二、旋轉(zhuǎn)法

旋轉(zhuǎn)法就是把某個(gè)圖形繞著一定的點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置。在正方形中，旋轉(zhuǎn)法使用較多，圓中的四點(diǎn)共圓也可以把一個(gè)角旋轉(zhuǎn)到所需要的位置上。

例2 如圖2，已知點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度數(shù)。

探求：已知條件非常簡單，學(xué)生如果沒有學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)法或?qū)πD(zhuǎn)法比較生疏的話，一下子很難求解。我們要想辦法把已知條件集中起來，如正方形是旋轉(zhuǎn)圖形、三條線段的比以及直角三角形的性質(zhì)（勾股定理）等。具體方法：把△BAP繞B點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)900，轉(zhuǎn)到△BCE處，故有∠APB=∠CEB、BP=BE、AP=CE，同時(shí)設(shè)PA=x、PB=2x、PC=3x，可求出PE=2，最后利用勾股定理的逆定理可以得到答案。

例3 如圖3，以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形CE和正方形BF，且CD⊥AB于D，求證：（AF+AD）2=EF2-

CD2 。

探求：從結(jié)論上看，AF、AD接成一條線段，又都是平方的形式，由此想到勾股定理，故延長FA至D'，使AD'=AD，再證△AED'≌△ACD，從而得證。實(shí)際上也可以看做是把△ACD繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)900到△ACD處。

三、對稱法

對稱法就是把某個(gè)圖形以定直線為軸對折到對稱的位置上的方法，常常以角平分線、線段的中垂線為軸。

例4 如圖4，已知AD是△ABC

的角平分線，

且AC

求證：CD

探求：在AB上取AE=AC，連結(jié)DE，顯然有△ACD≌△AED。也就是把△ACD翻折到△AED位置上，可得∠BED=∠FCD>∠B，獲證。

四、截長補(bǔ)短法

截長補(bǔ)短法是初中數(shù)學(xué)幾何證明題中十分重要的方法，通常用來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系。具體說就是把a(bǔ)=b+c轉(zhuǎn)化為b=a-c或反過來使用，尋求問題的解決方法。截長補(bǔ)短法是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想。

五、加倍折半法

加倍折半法具體地說就是把a(bǔ)=2b轉(zhuǎn)化為b=1/2 a或反過來運(yùn)用。在證明角的2倍或1/2以及線段的2倍或1/2中運(yùn)用較多所作的輔助線一般是角的平分線或取線段的中點(diǎn)。

六、截取、延長法

截取法、延長法就是在證明線段或角不等關(guān)系時(shí)，在長線段上取一段等于短線段或把短線段延長等于長線段，構(gòu)成全等三角形，將要比較的量轉(zhuǎn)化到可以比較的同一個(gè)三角形中。前面講的例4也可以采用這種方法，即延長AC至F，使AF=AB，連結(jié)DF，再證明△ABD≌△AFD，所以BD=DF，在△DFC中進(jìn)行比較，可以得證。

七、相似變換法

就是利用相似比改變圖形的大小而不改變其形狀的方法。利用相似三角形的性質(zhì)可以解決有關(guān)平行、比例和面積等問題。另外還有等積變形法，就是不改變圖形的面積只改變圖形的形狀的方法，利用“同底等高的三角形面積不變”的定理解決問題。在此不再舉例。

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何是教學(xué)的重點(diǎn)，也是教學(xué)的難點(diǎn)。當(dāng)我們碰到一些條件比較復(fù)雜的幾何綜合題時(shí)，要想方設(shè)法利用圖形變換的方法來求得答案。教無定法，貴在得法。只要我們按照《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求組織教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理思維能力，就能讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)必備的基礎(chǔ)知識和基本技能，從而提高他們的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力。

（江蘇省新沂市第四中學(xué)）