李國(guó)強(qiáng)，陳 琛

（同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092）

由于結(jié)構(gòu)的連續(xù)性，鋼框架柱在結(jié)構(gòu)中會(huì)受到周圍構(gòu)件的約束.在局部火災(zāi)下，鋼框架柱因?yàn)檩S向熱膨脹受到約束而產(chǎn)生附加軸力，從而使鋼柱在較低的溫度下發(fā)生屈曲；鋼柱屈曲后，軸向約束會(huì)分擔(dān)鋼柱的荷載，使得鋼柱在屈曲后仍能繼續(xù)參與受力，這種現(xiàn)象已經(jīng)在Broadgate火災(zāi)［1］和Cardington整體結(jié)構(gòu)試驗(yàn)［2－3］中得到證實(shí).定義鋼柱的屈曲溫度為鋼柱發(fā)生屈曲時(shí)的溫度；鋼柱的臨界溫度為鋼柱的軸力恢復(fù)到常溫下的初始軸力時(shí)的溫度.對(duì)于無(wú)軸向約束鋼柱，在火災(zāi)下，隨著溫度的升高，鋼柱的軸力保持不變.當(dāng)溫度達(dá)到鋼柱的屈曲溫度時(shí)鋼柱發(fā)生屈曲，軸力迅速下降，因此無(wú)軸向約束鋼柱的臨界溫度與屈曲溫度相同；對(duì)于有軸向約束鋼柱，隨著溫度的升高，由于軸向約束的存在，鋼柱的軸力增大.當(dāng)達(dá)到鋼柱的屈曲溫度時(shí)，鋼柱發(fā)生屈曲，鋼柱的軸力下降.由于屈曲釋放了由于溫度升高而產(chǎn)生的軸向膨脹，因此盡管構(gòu)件出現(xiàn)負(fù)剛度但其仍能保持平衡從而繼續(xù)承載，軸力隨著溫度的升高緩慢下降.當(dāng)軸力降低到初始軸力時(shí)，鋼柱達(dá)到臨界溫度.因此約束鋼柱的臨界溫度將大于等于其屈曲溫度，考慮屈曲后性能能提高約束鋼柱的抗火能力.

Franssen［4］用有限元軟件對(duì)軸向約束鋼柱火災(zāi)下的受力性能進(jìn)行了分析，認(rèn)為軸向約束在鋼柱屈曲后必然能分擔(dān)鋼柱荷載從而提高鋼柱的抗火能力，因此可以定義鋼柱的軸力恢復(fù)到初始軸力時(shí)的溫度為臨界溫度.Wang［5］認(rèn)為火災(zāi)下約束鋼柱在屈曲前可以按軸心受力構(gòu)件進(jìn)行設(shè)計(jì)，鋼柱發(fā)生屈曲時(shí)和屈曲后，約束鋼柱處于軸力和彎矩共同作用下，可按壓彎構(gòu)件進(jìn)行設(shè)計(jì).根據(jù)以上理論對(duì)任意溫度下的約束鋼柱進(jìn)行分析，從而得到鋼柱的軸力－溫度曲線.Neves等［6］提出了一個(gè)約束鋼柱的簡(jiǎn)化計(jì)算模型.鋼柱的軸向約束用軸向彈簧表示，轉(zhuǎn)動(dòng)約束用轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧表示.通過對(duì)該簡(jiǎn)化模型的分析得到鋼柱的軸力－溫度曲線.王培軍，李國(guó)強(qiáng)［7］運(yùn)用改進(jìn)的Jezék方法，也獲得了鋼柱的軸力－溫度曲線.

約束鋼柱火災(zāi)下的性能分析，由于涉及到高溫下鋼材的材料非線性以及鋼柱的幾何非線性，因此求解比較復(fù)雜.現(xiàn)有的分析方法均為有限元方法和數(shù)值積分方法.這兩種方法對(duì)于約束鋼柱的性能模擬較為精確，而且能夠?qū)︿撝恼麄€(gè)升溫過程進(jìn)行分析，從而得到鋼柱的軸力－溫度曲線.但是有限元方法力學(xué)概念不清晰，而數(shù)值積分方法則要通過迭代，計(jì)算相對(duì)復(fù)雜.在常溫下，Shanley模型是求解鋼柱受壓彈塑性穩(wěn)定的經(jīng)典模型，力學(xué)概念清晰而且求解過程相對(duì)簡(jiǎn)單.筆者對(duì)Shanley模型進(jìn)行改進(jìn)，考慮軸向約束的影響，以鉸鏈的兩肢的應(yīng)變作為基本未知量，并且考慮升溫過程中引起的鋼材的塑性變形，從而較為準(zhǔn)確地得到鋼柱的軸力－溫度曲線.

1 Shanley理論模型和高溫下鋼材應(yīng)力應(yīng)變模型

1.1 Shanley理論模型

Shanley［8］在1946年設(shè)計(jì)了一個(gè)由3部分組成的彈塑性力學(xué)模型，建立了屈曲后荷載與桿件撓度之間的關(guān)系，如圖1所示.用一個(gè)鉸鏈將兩根長(zhǎng)度為l／2的剛性桿連接起來(lái)，系統(tǒng)所有的彈性變形和塑性變形都發(fā)生在鉸鏈上，如圖1a所示.鉸鏈如圖1b所示，有兩根短肢組成，短肢長(zhǎng)度為h，其間距離亦為h，截面面積均為A／2.材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如圖1c所示，鉸鏈的彈性模量為E，切線模量為Et，為雙直線模型.

圖1 Shanley理論的力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of the Shanley theory

構(gòu)件在軸向荷載P下到達(dá)構(gòu)件的臨界狀態(tài)，構(gòu)件開始彎曲.鉸鏈處由于構(gòu)件彎曲引起的應(yīng)變?yōu)棣?和ε2，構(gòu)件的撓度為d，端部?jī)A角為θ，其幾何關(guān)系為d＝lθ／2和θ＝（ε1＋ε2）／2，因此

鉸鏈處的外彎矩為

鉸鏈處的內(nèi)力矩為

假定彎曲凹面和凸面的楊氏模量分別為E1和E2，有ΔP1＝ε1E1A／2和ΔP2＝ε2E2A／2.代入式（3）得

所以鋼柱的軸力平衡方程為鋼柱的彎矩平衡條件為Mi＝Me，得到

構(gòu)件的受力分以下3種情況：

（1）構(gòu)件處在彈性狀態(tài)，有E1＝E2＝E.

（2）構(gòu)件處在彈塑性狀態(tài)，采用雙模量理論，有E1＝Et，E2＝E.

（3）構(gòu)件處在彈塑性狀態(tài)，采用切線模量理論，有E1＝E2＝Et.

1.2 高溫下鋼材應(yīng)力應(yīng)變模型

本文采用高溫下考慮塑性應(yīng)變的鋼材應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，假定鋼材塑性應(yīng)變不受溫度變化的影響［9］.對(duì)于理想彈塑性材料模型，鋼材的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系隨溫度的變化如圖2所示.

假設(shè)在溫度t1時(shí)鋼材在B點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)變分別為fy1和ε1，fy1為鋼材在t1時(shí)的屈服應(yīng)力.當(dāng)溫度由t1變化到t2時(shí)，應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系按如下步驟變化：

圖2 考慮塑性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系Fig.2 Stress-strain relationship of steel with consideration of plastic deformation

（1）t1時(shí)卸載，此時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系按直線BG變化，BG的斜率為t1時(shí)鋼材的彈性模量Et1.

（2）鋼材的殘余塑性變形為直線BG與應(yīng)變軸的交點(diǎn)G，其值為

（3）溫度升至t2時(shí)，應(yīng)力應(yīng)變曲線沿GEF變化.在GE段為彈性段，其斜率為t2下的彈性模量Et2，塑性應(yīng)變保持不變.當(dāng)應(yīng)力應(yīng)變曲線到達(dá)EF段時(shí)，鋼材的彈性應(yīng)變保持不變，塑性應(yīng)變?cè)龃?，其值?/p>

式中：fy2為鋼材在t2時(shí)的屈服應(yīng)力.

2 火災(zāi)下約束鋼柱分析模型

假定約束鋼柱的長(zhǎng)度為l，鋼柱兩端為鉸接.分析模型采用改進(jìn)的Shanley理論模型，塑性鉸鏈處的撓度為d，u0為常溫下構(gòu)件的軸向變形，ut為溫度t時(shí)構(gòu)件的軸向變形，k1為軸向約束剛度，P0和M0分別為常溫下鋼柱的設(shè)計(jì)軸力和設(shè)計(jì)彎矩.如圖3所示.將實(shí)際鋼柱轉(zhuǎn)化為Shanley模型鋼柱的等效原則為兩者跨中截面的應(yīng)變保持一致：軸向應(yīng)變相同通過鋼柱跨中截面面積A保持不變實(shí)現(xiàn)，即鉸鏈兩肢的面積均為A／2；彎曲應(yīng)變相同通過跨中截面慣性矩I不變得到，取鉸鏈部分寬度保持不變，肢件間的距離h通過式（9）得到

式中：b為鉸鏈的寬度.

鋼柱的軸向約束剛度k1＝β1（E20A／l），且不隨溫度發(fā)生變化.其中β1為軸向約束剛度比；E20為20℃時(shí)鋼材的彈性模量；A為構(gòu)件的截面面積.

根據(jù)已有參數(shù)分析結(jié)果［10］，端部彎矩比對(duì)臨界溫度的影響很小，因此取最不利情況端部彎矩比為－1.在常溫下，軸向約束未發(fā)生變形.升溫條件下，鋼柱的應(yīng)力應(yīng)變模型按CECS200［11］的定義，考慮塑性變形的累積.應(yīng)力應(yīng)變正方向定義與圖1b保持一致.

圖3 火災(zāi)下約束鋼柱的分析模型Fig.3 Analysis model of restrained column in fire

2.1 常溫下的分析

常溫時(shí)，t0＝20℃.在設(shè)計(jì)軸力P0和設(shè)計(jì)彎矩M0的作用下，鋼柱的鉸鏈左肢應(yīng)力應(yīng)變分別為σ（t0）1和；鉸鏈右肢應(yīng)力應(yīng)變分別為，因?yàn)闃?gòu)件處于軸力彎矩作用下，因此有.鉸鏈處撓度為鉸鏈處的外彎矩為

內(nèi)力矩為

因此由彎矩平衡方程Me＝Mi得

鉸鏈處力平衡方程為

式中：kc，0＝E20A／l為鋼柱常溫下的軸向剛度.

常溫下鉸鏈的塑性應(yīng)變?yōu)?/p>

式中：ε分別為塑性鉸鏈兩肢在常溫下的塑性應(yīng)變.

2.2 升溫下的分析

假設(shè)t1＜t2，且已知在溫度t1時(shí)鋼柱達(dá)到平衡，鉸鏈兩肢的塑性應(yīng)變分別為

當(dāng)溫度從t1升到t2時(shí)，鉸鏈兩肢的應(yīng)力應(yīng)變分別變?yōu)橛蓤D1b可知.鉸鏈處撓度為約束鋼柱柱端位移為

式中：εth為鋼柱的軸向溫度膨脹系數(shù)；kc，t2＝Et2A／l為鋼柱在t2時(shí)的軸向剛度.

式（16）與式（14）相減可得

整理得

鉸鏈處的外彎矩為

內(nèi)力矩為

因此由彎矩平衡方程Me，t2＝Mi，t2得

鉸鏈處力平衡方程為

在溫度為t2時(shí)，構(gòu)件的受力情況根據(jù)鉸鏈處鋼材截面是否發(fā)生屈服分為兩種，在此分別討論.

（1）構(gòu)件在彈性狀態(tài)，鉸鏈兩肢都未發(fā)生屈服.

在溫度升高后，鋼柱的塑性應(yīng)變沒有發(fā)生變化，有

鉸鏈兩肢的應(yīng)力分別為

將式（25）代入式（21）和式（22）的平衡方程中，得到

（2）構(gòu)件處在彈塑性狀態(tài)，采用理想彈塑性模型，左肢發(fā)生屈服.

在溫度升高后，鋼柱鉸鏈的左肢發(fā)生屈服，應(yīng)力達(dá)到t2下的屈服應(yīng)力ft2，右肢仍然保持在彈性狀態(tài)，有

鉸鏈兩肢的應(yīng)力分別為

將式（28）代入式（21）和式（22）的平衡方程中，得到

鋼柱的受力狀態(tài)在不同的升溫階段其判別準(zhǔn)則如下：

（1）屈曲溫度以前，通過約束鋼柱是否達(dá)到構(gòu)件的極限荷載來(lái)判別.

對(duì)于壓彎構(gòu)件而言，構(gòu)件達(dá)到極限荷載可能導(dǎo)致構(gòu)件進(jìn)入塑性，但其跨中截面應(yīng)力可能還未達(dá)到其屈服強(qiáng)度.因此，本文引入整體穩(wěn)定的判定準(zhǔn)則.

根據(jù)常溫下的無(wú)約束鋼柱在軸力和彎矩共同作用下的臨界溫度的計(jì)算公式，考慮軸向約束剛度的影響，不考慮截面塑性發(fā)展，得到火災(zāi)條件下約束鋼柱在軸力和彎矩共同作用下的屈曲溫度判定公式為

式中：N為考慮軸向約束時(shí)高溫下的軸力；Ncr，T為高溫下的屈曲軸力；M0為常溫下的彎矩；W為截面模量；N′EX為參數(shù).

如果滿足式（30），構(gòu)件因屈曲進(jìn)入彈塑性階段，也采用式（29）求解.否則，繼續(xù)采用式（26）求解.

（2）屈曲溫度以后，通過鉸鏈左肢應(yīng)變是否達(dá)到鋼材的屈服應(yīng)變來(lái)判別.

在屈曲溫度以后，對(duì)于軸向約束鋼柱兩種不同的受力情況最明顯的區(qū)別就是左肢是否達(dá)到極限荷載.但是由于在計(jì)算中采用了理想彈塑性模型，鋼材屈曲后通過應(yīng)力不能得到應(yīng)變值，所以在此采用其應(yīng)變作為判別準(zhǔn)則.

對(duì)于時(shí)間t2，鉸鏈左肢應(yīng)變?yōu)棣牛╰2）1，鋼柱左肢在時(shí)間t1時(shí)的塑性應(yīng)變?yōu)棣牛╰1）r，1，因此在時(shí)間t2時(shí)，左肢進(jìn)入屈曲的判別條件為

如果滿足式（31），構(gòu)件進(jìn)入彈塑性階段，則采用式（29）求解.如果不滿足，則構(gòu)件還在彈性階段，繼續(xù)采用式（26）求解.

3 理論分析的求解

理論分析的目的是得到約束鋼柱在升溫條件下的軸力溫度曲線.理論分析所建立的上述方程，可通過以下步驟求解：

Step1 輸入初始參數(shù)為鋼柱長(zhǎng)度l、初始荷載P0、初始彎矩M0、截面面積A、慣性矩I、截面高度h和寬度b、鋼材屈服強(qiáng)度f(wàn)0和彈性模量E0.

Step2 初始條件定義為溫度t＝20℃，初始塑性應(yīng)變?chǔ)牛╰0）r，1＝ε（t0）r，2＝0.

Step3 根據(jù)常溫下的平衡方程（式（12）、式（13））得到常溫下的鉸鏈兩肢的應(yīng)變.

Step4 根據(jù)式（13）得到常溫下平衡時(shí)的鋼柱軸力，輸出軸力和溫度.

Step5 溫度t＝t＋Δt.

Step6 根據(jù)式（26），解得溫度t＋Δt下鋼柱鉸鏈兩肢的應(yīng)變.

Step7 根據(jù)式（30）判斷鋼柱是否發(fā)生屈曲，如果發(fā)生則到Step9.

Step8 根據(jù)式（31）判斷鋼柱鉸鏈左肢是否發(fā)生塑性變形，如未發(fā)生屈曲，則到Step11.

Step9 根據(jù)式（29），重新解得溫度t＋Δt下鋼柱鉸鏈兩肢的應(yīng)變.

Step10 根據(jù)式ε（t2）r，1＝ε（t2）1－ft2／Et2更新鋼柱左肢的塑性應(yīng)變.

Step11 由式（16）得到在溫度t＋Δt下，鋼柱的軸向變形.

Step12 由式（23）得到溫度t＋Δt下鋼柱的軸力，輸出軸力和溫度.

Step13 判斷溫度是否小于950℃，是則到Step5.

Step14 結(jié)束.

根據(jù)最后輸出的鋼柱軸力－溫度曲線即可以確定鋼柱的屈曲溫度和臨界溫度.

4 驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提供的基于改進(jìn)的Shanley模型的理論分析方法的正確性，利用經(jīng)驗(yàn)證的ABAQUS有限元模型［9］和本文的理論分析方法對(duì)同一鋼柱進(jìn)行分析，對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較.驗(yàn)證分析選取的約束鋼柱截面為H形截面，尺寸為H200mm×6mm×150 mm×8mm，沿長(zhǎng)度方向保持不變，常溫下的鋼材的屈服強(qiáng)度為345N·mm－2，彈性模量為2.05×105N·mm－2，繞弱軸轉(zhuǎn)動(dòng).本文分析方法采用的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是CECS200［11］的模型.ABAQUS模擬采用的空間線性兩節(jié)點(diǎn)梁?jiǎn)卧狟31，沿柱長(zhǎng)方向劃分為50個(gè)單元.軸向約束通過點(diǎn)對(duì)點(diǎn)彈簧單元SPRING2模擬，并設(shè)定能量耗散系數(shù)αd的方法引入虛擬的粘滯阻尼力幫助收斂.

4.1 火災(zāi)下約束鋼柱受力性能分析結(jié)果比較

ABAQUS有限元模型與Shanley方法對(duì)于火災(zāi)下約束鋼柱在軸力和彎矩共同作用下的受力性能的分析結(jié)果如圖4所示，以軸向約束剛度比β1來(lái)表征.Shanley方法的分析結(jié)果與ABAQUS有限元模型的分析結(jié)果保持一致.在整體受力過程中，Shanley方法與ABAQUS有限元模型的結(jié)果都符合很好，在軸向約束較大的情況下，屈曲后的曲線與ABAQUS有限元模型有一定差別，但是相差不大.因此，通過本文改進(jìn)的Shanley方法，可以得到與ABAQUS有限元計(jì)算精度基本一致的軸力－溫度曲線.本文模型可以用于對(duì)約束鋼柱火災(zāi)下性能的分析.

圖4 火災(zāi)下約束鋼柱受力性能分析結(jié)果比較Fig.4 Comparison on columns performance of ABAQUS predication and Shanley method calculation in a fire

4.2 火災(zāi)下約束鋼柱臨界溫度分析結(jié)果比較

ABAQUS有限元模型與Shanley方法對(duì)于火災(zāi)下約束鋼柱在軸力和彎矩共同作用下的受力性能的分析結(jié)果如圖5所示.在軸向約束剛度比較小時(shí)，Shanley方法得到的臨界溫度與ABAQUS有限元模型得到的臨界溫度一致.當(dāng)軸向約束剛度比較大時(shí)，運(yùn)用Shanley方法得到的臨界溫度略低于由ABAQUS有限元得到的臨界溫度，最大差值約為70℃.造成差異的主要原因可能是在軸向約束剛度比較大的情況下，鋼柱的塑性應(yīng)變較大，而Shanley方法采用的是簡(jiǎn)化模型，其塑性變形與原鋼柱不完全一樣，所以兩者得到的臨界溫度略有不同.總體而言，對(duì)于常用的軸向約束剛度比而言，Shanley方法能對(duì)約束鋼柱的抗火性能給出較為精準(zhǔn)的描述.

圖5 火災(zāi)下約束鋼柱臨界溫度分析結(jié)果比較Fig.5 Comparison on critical temperature of the restrained column of ABAQUS predication and Shanley method calculation in a fire

5 結(jié)論

本文運(yùn)用改進(jìn)的Shanley簡(jiǎn)化模型對(duì)約束鋼柱的抗火性能進(jìn)行分析.由于Shanley模型在力學(xué)上比較明確、簡(jiǎn)明，因此用此方法對(duì)約束鋼柱進(jìn)行分析能夠比較清楚地了解到在火災(zāi)條件下鋼柱的受力和變形過程.模型考慮了軸向溫度膨脹、軸向約束剛度、鋼材的塑性應(yīng)變等因素的影響，通過與ABAQUS有限元軟件的計(jì)算結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證，證明運(yùn)用本文的分析方法能夠較為準(zhǔn)確地得到鋼柱的軸力溫度曲線，進(jìn)而得到約束鋼柱的臨界溫度，可以為約束鋼柱的抗火設(shè)計(jì)提供一種簡(jiǎn)單的力學(xué)模型.

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