樊苗

【摘 要】微分中值定理又稱微分學(xué)基本定理，是微積分教學(xué)中的核心內(nèi)容，在其定理的證明過(guò)程中，需要建立輔助函數(shù)， 這是一種技巧性較強(qiáng)的手段。構(gòu)造輔助函數(shù)是高等數(shù)學(xué)證明中常采用的技巧，在應(yīng)用微分中值定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，到底該選擇怎樣的函數(shù)是需要著重考慮的問(wèn)題。本文給出有直接觀察、移項(xiàng)法 ，湊導(dǎo)數(shù)法，不定積分法，常數(shù)值法四種常用的輔助函數(shù)構(gòu)造法，供教學(xué)參考。

【關(guān)鍵詞】微分中值定理；構(gòu)造；輔助函數(shù)

在微分學(xué)中羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理統(tǒng)稱為微分中值定理。它們揭示了函數(shù)在一點(diǎn)的局部性態(tài)與在整個(gè)區(qū)間上的整體性態(tài)間的關(guān)系，是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的重要理論依據(jù)。因此，在微分中值定理應(yīng)用過(guò)程中，構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)是最核心關(guān)鍵的問(wèn)題。下面我們舉例給出幾個(gè)常見的構(gòu)造方法。

1.直接觀察、移項(xiàng)法

例1 設(shè)f（x），g（x）是R上的可導(dǎo)函數(shù)，f'（x），g'（x）分別為f（x），g（x）的導(dǎo)函數(shù)，且f'（x）g（x）+f（x）g'（x）>0，則當(dāng)a

A f（x）g（b）>f（b）g（x） B f（x）g（a）>f（a）g（x）

C f（x）g（x）

解：觀察已知條件f'（x）g（x）+f（x）g'（x）>0，不等式左邊剛好是f（x）g（x）的導(dǎo)數(shù)公式，令F（x）=f（x）g（x）則有F'（x）>0從而F（x）在a

例2 利用中值定理證明當(dāng)x>0時(shí)ex>1+x成立。

解析：要證題設(shè)不等式成立既要證明ex-1-x>0成立，若令f（x）=ex-1-x則f（0）=0從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證f（x）在x>0為增函數(shù)即可進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)。

證明：構(gòu)造輔助函數(shù)f（x）=ex-1-x，由f'（x）=ex-1，當(dāng)x>0時(shí)f'（x）=ex-1>0則f（x）在x>0為增函數(shù)，即有f（x）>f（0）=0。故f（x）=ex-1-x>0，即x>0時(shí)ex>1+x成立。

2.湊導(dǎo)數(shù)法

在學(xué)完導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則后，做一定的練習(xí)，有一定的積累后，對(duì)一些常見函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，我們會(huì)很熟悉。譬如：

①（xnf（x））'=nxn-1f（x）+xnf'（x）

②

'=

③

'=

④（ef（x））'=λef（x）+ef'（x）

此方法是將結(jié)論變形成我們熟悉的某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式，并進(jìn)一步向羅爾定理或拉格朗日定理結(jié)論靠攏湊出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)作為輔助函數(shù)。

例3 已知f（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)且f（1）=f（0）=0。證明：至少存在一點(diǎn)ξ使得f'（ξ）=f（ξ）成立。

解析：要使得f'（ξ）=f（ξ）成立即要找一點(diǎn)ξ∈（0，1）使得f'（ξ）-f（ξ）=0即 [f'（x）e+f（x）（e）']|x=ξ=0成立，因此我們?cè)O(shè)輔助函數(shù)為F（x）=f（x）e。

證明：構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=f（x）e，由于F（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，又f（1）=f（0）=0則F（1）=F（0）=0，從而由羅爾定理可知至少存在一點(diǎn)ξ∈（0，1）使得F'（ξ）=0成立，即f'（ξ）e-ξ-f（x）e-ξ=0成立，故f'（ξ）=f（ξ）成立。

3.不定積分法

此方法是先把要證結(jié)論中的ξ換成x，再將替換后的等式變形為容易積分的形式，之后兩邊積分求出常數(shù)C，由此得到相應(yīng)的輔助函數(shù)。

例 4 設(shè)f（x）在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f（1）=f（0）=0。證明：存在點(diǎn)ξ∈（0，1）使得f''（ξ）=。

解析：將結(jié)論中的ξ換成x，有f''（x）=，變形得到=

兩邊積分∫dx=∫dx即ln|f'（x）|=-2ln|1-x|+ln|C|

從而C=（1-x）2f'（x）。

證明：設(shè)F（x）=（1-x）2f'（x），由f（x）在[0，1]上二階可導(dǎo)，則f（x）在[0，1]上連續(xù)，（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（1）=f（0）=0，故滿足羅爾定理?xiàng)l件，所以存在μ∈（0，1）使f'（μ）=0。又在（μ，1）內(nèi)，F(xiàn)（μ）=（1-μ）2f'（μ）=0，F(xiàn)（1）=（1-1）2f'（1）=0，則F（x）滿足羅爾定理?xiàng)l件，所以存在ξ∈（μ，1）?（0，1），使F'（ξ）=-2（1-ξ）f'（ξ）+（1-ξ）2f''（ξ）=0即f''（ξ）=。

4.常數(shù)值法

用此方法構(gòu)造輔助函數(shù)大體分為四步：① 將結(jié)論變形，使常數(shù)部分分離出來(lái)并令其為常數(shù)k。② 恒等變形使等式一端為a及f（a）的代數(shù)式，另一端為b及f（b）的代數(shù)式。③ 觀察關(guān)于端點(diǎn)表達(dá)式是否為對(duì)稱式。若是，則把其中一個(gè)端點(diǎn)設(shè)為x，相應(yīng)的函數(shù)值設(shè)為f（x）。④端點(diǎn)變量x的表達(dá)式即為輔助函數(shù)F（x）。

例5 設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)（0

解析：將結(jié)論變形為=ξ·f'（ξ），令k=則f（b）-klnb=f（a）-klna令b=x可得F（x）=f（x）-klnx。

證明：令F（x）=f（x）-klnx，其中（k=），顯然F（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且F（a）=F（b）滿足羅爾定義，故存在在一點(diǎn)ξ∈（a，b）使得F'（ξ）=0即f'（ξ）-=0，從而=f'（ξ）·ξ，即f（b）-f（a）=ln·ξ·f'（ξ）成立。

以上討論了高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容—微分中值定理在應(yīng)用過(guò)程當(dāng)中輔助函數(shù)的幾種常見構(gòu)造方法。引入輔助函數(shù)具有很強(qiáng)的技巧性，一方面得考慮輔助函數(shù)必須滿足所要用到的定理?xiàng)l件。另一方面，其選擇應(yīng)從要證明的結(jié)論結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過(guò)上述一些示例可見，選取適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)使看起來(lái)很復(fù)雜的題目變得迎刃而解。以此更進(jìn)一步可看出將一個(gè)知識(shí)點(diǎn)學(xué)會(huì)學(xué)精要達(dá)到靈活運(yùn)用的地步實(shí)屬不易，還需要我們大家繼續(xù)努力。

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