萬俟昊天，向 陽，夏雪寶，劉 輝

(武漢理工大學 能源與動力工程學院，武漢430063)

過盈配合是機械工程中一種常見的構件連接方式，由于其配合連接緊密，可傳遞轉矩，承受很大的軸向力，已廣泛地應用于重型機械、起重運輸機械、船舶、機車及通用機械中［1-2］。

過盈配合的過盈量大小是否對設備整體的動態(tài)特性有影響，以及有多大影響是本文研究的目的，特別是獲得過盈配合結合面的特性參數(接觸剛度和接觸阻尼)。由于過盈配合結合面本身的結構特點(結合面為封閉結構，無法在結合面上布置傳感器)，難以采用試驗的方法直接識別結合面特性參數，所以這里采用有限元計算的方法，建立過盈配合組件的有限元模型，對模型施加一定的邊界條件，仿真后提取結合面上單元和節(jié)點的接觸壓力、位移等參數，計算接觸剛度和接觸阻尼，最后再通過實驗來驗證結合面參數的正確性。

1 研究對象

研究對象為軸和軸套的過盈配合，見圖1。軸和軸套材料為Q235，其幾何尺寸和材料屬性見表1。軸套內圓直徑選擇3種尺寸偏差:φ38--00..005716，φ38--00..003549，φ38--00..000383mm;與軸的尺寸偏差φ38-00.016mm配合，形成3種過盈量不同的配合形式，用代號表示分別為:U7/h6、S7/h6、N7/h6;其平均過盈量分別為:-0.055 5 mm、-0.038 5 mm、-0.012 5 mm。

圖1 過盈配合示意

表1 過盈配合組件基本尺寸和材料屬性

本文將過盈配合結合面特性參數定義為kyf、kym、kθf、kθm、cyf和cym［3］。見圖2，對于過盈配合，在軸上施加y方向上的力f(t)，過盈配合結合面上沿z方向上任一點A產生位移y，此時這一點表現(xiàn)的剛度特性即為kyf，阻尼特性即為cyf;同樣施加力f(t)，A點產生轉動Δθ，此時這一點表現(xiàn)的剛度特性即為kθf。同理，施加力矩m(t)，A點產生位移y，此時這一點表現(xiàn)的剛度特性即為kym，阻尼特性即為cym;同樣施加力矩m(t)，A點產生轉動Δθ，此時這一點表現(xiàn)的剛度特性即為kθm。

圖2 過盈配合結合面接觸剛度及阻尼定義

2 接觸剛度及接觸阻尼有限元計算

根據軸和軸套尺寸屬性在ANSYS中建立過盈配合的有限元模型。建立有限元模型時，為了減少單元數量，節(jié)約運算時間，將軸的長度設為200 mm。有限元模型中，軸和軸套采用SOLID186單元，共計5 610個;在軸和軸套配合的面上分別建立CONTA174單元和TARGE170單元(各816個)，形成接觸對［4］。整個有限元模型共計26 464個節(jié)點。圖3所示為所建的有限元模型:坐標原點位于軸孔配合端面中心處(圖3所示坐標位置)，x軸為水平方向，y軸為豎直方向，z軸為軸和軸套的軸線方向。

圖3 過盈配合有限元模型

進行有限元計算的時候，約束軸套端面外圓上面上下左右4個節(jié)點，見圖3。仿真計算分兩個時間步長完成(每個時間步長分別有5個子步)。在第一個時間步長中施加過盈量，軸孔配合面上的接觸壓力逐漸增大［5］。在第二個時間步長中，在軸的上端靠近軸孔配合處施加y軸負方向的力和力矩(見圖3)。仿真計算中，力和力矩分10次施加:力為250～1 250 N，間隔250 N;力矩為2.5～12.5 Nm，間隔2.5 Nm。以力的施加為例，兩個時間步長見圖4。

圖5所示為過盈配合U7/h6結合面上軸的上中心線沿z軸方向上的接觸壓力?？梢钥闯鰪膠=0 mm開始結合面上的接觸壓力逐漸增大，到大約z=50 mm附近接觸壓力達到最大，之后接觸壓力隨著z的增大急劇下降。

2.1 接觸剛度

圖4 過盈配合有限元模型的載荷步長設置

圖5 過盈配合U7/h6結合面上沿z軸方向的接觸壓力

在第二個時間步長結束時，分別提取出在各個載荷下，軸的上中心線上沿z軸方向上各節(jié)點在y軸方向上的位移DOF-y。根據250～1 250 N載荷下的位移DOF-y，可以擬合出軸的上中心線上各個節(jié)點的載荷對位移的曲線，曲線的斜率即為kyf。同理，施加2.5～12.5 Nm的力矩可以得出kym。為了得到kθf和kθm，需要先得出軸的上中心線上的節(jié)點的轉角θ。θ根據節(jié)點位移DOF-y，運用中心有限差分方法計算得到。從而可以擬合出軸的上中心線上各個節(jié)點的載荷對轉角θ的曲線，曲線的斜率即為kθf和kθm。

圖6所示為不同配合結合面上軸的上中心線沿z軸方向上的kyf。從圖中可以看出，從z軸的0點位置開始kyf迅速增大，形成一個峰值，之后沿z軸方向呈下降趨勢。圖7所示為不同配合結合面上軸的上中心線沿z軸方向上的kym。從圖中看出，在z=10 mm左右出現(xiàn)一個峰值，之后kym沿z軸方向呈下降趨勢。圖8、9所示分別為不同配合結合面上軸的上中心線沿z軸方向上的kθf和kθm。從圖中可以看出，kθf和kθm沿z軸方向大體呈下降的趨勢。同時，從各圖中可以看出不同的過盈量對剛度值影響不大。

2.2 接觸阻尼

圖6 kyf

圖7 kym

圖8 kθf

圖9 kθm

在向有限元模型施加載荷時，軸和軸套之間產生了微小的滑動，從而產生了能量損耗。這樣，將軸和軸套之間沿z軸方向上各點的接觸阻尼考慮為庫侖阻尼［6］。從而，等效的粘性阻尼由式(1)計算得到:

式中:Fd，n——結合面上每一個接觸單元的摩擦力，由單元面積乘以單元接觸壓力再乘以摩擦系數得到(見表1);

|zn|——結合面每一個接觸單元沿z軸方向上滑動位移的絕對值;

ω——圓頻率。

計算時將z軸方向上每一位置沿軸圓周方向一圈所有的單元的阻尼相加作為這一z軸位置上的阻尼。需要注意的是，在靠近中性軸處的單元的滑動幾乎為0，這在使用式(1)計算等效阻尼時會得到很大的阻尼值。因為中性軸附近的微小滑動由幾何約束造成，這些微小的滑動并不能夠正確地表示阻尼的增加。因而中性軸附近內的單元不納入等效阻尼計算。在第二個時間步長中，分別在每一個子步上計算等效阻尼ceq，n，再將計算結果相加，即得到在不同載荷下沿z軸各個位置上的接觸阻尼cyf和cym。

圖10和圖11所示分別為配合U7/h6在施加500 N的力和12.5 Nm力矩時的接觸阻尼值。從圖中可以看出，cyfω和cymω的值沿z軸方向都比較離散。在z為20～30 mm處，cyfω值較大，其后呈下降的趨勢。cymω在z為10～20 mm處形成峰值，之后沿z軸下降。

圖10 U7/h6等效阻尼(500 N)

圖11 U7/h6等效阻尼(12.5 Nm)

圖12 和圖13所示分別為配合U7/h6在施加不同力和力矩時的阻尼值?？梢钥闯?，在施加不同力(或者不同力矩)時，結合面上沿z軸的阻尼值呈現(xiàn)相同的趨勢。圖14和圖15分別為不同過盈量的配合在施加500 N的力和12.5 Nm力矩時其結合面上的接觸阻尼值。從圖中可以看出，在過盈量不同時，結合面上沿z軸的阻尼值呈現(xiàn)相同的趨勢。

圖12 U7/h6等效阻尼cyfω

圖13 U7/h6等效阻尼cymω

圖14 不同配合cyfω(500 N)

3 實驗驗證

使用前文所述有限元仿真計算獲得的接觸剛度和接觸阻尼數據，根據Euler-Bernoulli梁理論，運用結構響應耦合方法［7］，建立過盈配合的理論模型，計算過盈配合一端的頻率響應函數，與實驗測試的頻率響應函數對比，驗證接觸剛度和接觸阻尼的正確性。

圖15 不同配合cymω(12.5 Nm)

3.1 背景介紹

Bishop和Johnson［8］提出了Euler-Bernoulli梁彎曲振動時頻率響應函數的計算方法(見圖16)，一兩端自由的梁兩端分別施加力f1(t)和f2(t)，以及力矩m1(t)和m2(t)，產生位移y1(t)和y2(t)，轉角θ1(t)和θ2(t)。梁兩端的原點和跨點頻響函數分別為

圖16 兩端自由的梁

對于兩段直徑分別為d1和d2的階梯軸(圖17a))，可以將其看作直徑分別為d1和d2的兩個兩端自由的梁耦合而成(圖17b))［9］。其組件的頻率響應矩陣如式(3)所示(大寫字母表示組件的位移、轉角、力、力矩及頻響函數，小寫字母表示對應的部件)。

圖17 階梯軸組件和部件的示意

階梯軸左端面處的頻響函數G11為

同理，將過盈配合看作軸和軸套的柔性耦合，見圖18。在其結合面上選擇兩端點及中點為耦合點，在耦合點處建立彈簧阻尼單元來表示結合面的接觸剛度和接觸阻尼。同樣，大寫字母表示組件的位移、轉角、力、力矩及頻響函數，小寫字母表示對應的部件。

圖18 過盈配合理論模型

耦合點處的彈簧阻尼單元表示為剛度矩陣:

式中:kyf，kym，kθf，kθm，cyf，cym——有限元計算得到的過盈配合結合面接觸剛度和接觸阻尼。

過盈配合組件左端面處的頻響函數G11為

式中:q1/Q1為A的前兩列構成的矩陣，q2/Q1為A的3、4列構成的矩陣，q3/Q1為A的5、6列構成的矩陣。

在實際中，常常得到是加速度對力的頻響函數，這里可以用式(8)將H11(力對位移的頻響函數Y/F)換算為加速度為單位的頻響函數H11a。

3.2 頻響函數計算及對比

將圖1所示研究對象等效為理論模型，見圖19。理論模型分為I、II兩個部分:I為一個細長軸;II為等長度的同心軸和軸套在兩端及中點處耦合(z=0，50，100 mm處)，耦合點的剛度矩陣分別為K1、K2、K3，由有限元仿真計算獲得;I、II兩部分采用剛性耦合。以配合U7/h6為例，其剛度矩陣取值見表2(其中阻尼值為各載荷下的平均值)。

圖19 過盈配合組件理論模型

過盈配合組件的頻率響應函數測試系統(tǒng)，見圖20。將組件用彈簧吊起，模擬自由狀態(tài)，力錘采用Endevco公司的Modal hammer 2302-10，數據采集卡為NI 9234，測試分析軟件采用Modal-VIEW。在過盈配合組件右端安裝加速度傳感器，測量豎直方向的加速度。使用力錘豎直敲擊過盈配合右端。采集力錘的沖擊信號及加速度響應信號，輸入計算機計算得到過盈配合右端點的原點頻響函數。實驗中，錘擊取3次平均，采樣率為25 600 Hz，采樣時間為1 s。

表2 U7/h6剛度矩陣參數

圖20 過盈配合組件頻響函數測試示意

對于配合U7/h6，根據結構響應耦合方法，計算圖19中A端面處的原點頻響函數。計算值和測試值的對比見圖21，圖中實線為理論計算結果，虛線為表面實測值?？梢钥闯鰧嶒炛岛陀嬎阒当容^吻合，各階固有頻率誤差很小，見表3，從而證明了有限元計算獲得的接觸剛度和接觸阻尼的正確性。

由表3可見，在不同過盈量下，固有頻率的計算值與實驗值均差別很小，從而證明通過有限元計算獲得的結合面參數的正確性。同時，可以總結出過盈量的變化對結構的固有頻率影響很小。

圖21 配合U7/h6端點A處原點頻響函數

表3 固有頻率計算值與實驗值對比

4 結論

本文研究了運用有限元法計算過盈配合結合面的接觸剛度和接觸阻尼，得到了在不同過盈量下，接觸剛度和接觸阻尼沿軸線方向的變化規(guī)律。最后，結合實驗測試和結構響應耦合計算，驗證了接觸剛度和接觸阻尼的有效性。根據計算得到的接觸剛度和接觸阻尼，可以得出:不同的過盈量對接觸剛度和接觸阻尼的影響較小。因為過盈配合中，軸和軸套已經緊密結合，過盈量的變化，對結合面特性，乃至整個結構的特性影響很小。

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