趙國(guó)瑞

綜觀近年的中考試卷，筆者發(fā)現(xiàn)以反比例函數(shù)為載體的面積問(wèn)題越來(lái)越受到中考命題者的青睞.這類試題大致有兩種類型：（1）已知反比例函數(shù)的圖象，求有關(guān)圖形的面積；（2）已知反比例函數(shù)的圖象及有關(guān)圖形的面積，求反比例函數(shù)的比例系數(shù).解答此類問(wèn)題大致有以下三種思路.

一、利用k的幾何意義

如圖1，若點(diǎn)P（x0，y0）是反比例函數(shù)y=上的任意一點(diǎn)，則有x0·y0=k，即x0與y0的積必是一個(gè)定值.過(guò)點(diǎn)P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、點(diǎn)N，則PM=ON=y0，PN=OM=x0，于是S矩形OMPN=x0·y0=k.而S△OPN=S△OPM=x0·y0=k.

這就是說(shuō)，過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸和y軸的垂線，兩垂線段與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積等于k，或以該點(diǎn)與垂足、坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的面積等于k，這是比例系數(shù)k的幾何意義.

圖1

例1 （2012年遼寧丹東）如圖2，點(diǎn)A是雙曲線y=在第二象限分支上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)D分別是點(diǎn)A關(guān)于x軸、坐標(biāo)原點(diǎn)、y軸的對(duì)稱點(diǎn).若四邊形ABCD的面積是8，則k的值為（ ）.

圖2

A.-1 B.1 C.2 D.-2

解析：四邊形ABCD被兩條坐標(biāo)軸分成四個(gè)小矩形，由對(duì)稱性知每個(gè)小矩形的面積相等，都等于2.由k的幾何意義知k=2.由雙曲線y=的一支位于第二象限知k<0，從而k=-2. 故選D.

例2 （2012年遼寧鐵嶺）如圖3，點(diǎn)A在雙曲線 y=上，點(diǎn)B在雙曲線y=（k≠0）上，AB∥x軸，分別過(guò)點(diǎn)A、B向x軸作垂線，垂足分別為D、C.若矩形ABCD的面積是8，則k的值為（ ）.

圖3

A.12 B.10 C.8 D.6

解析：反向延長(zhǎng)AB交y軸于點(diǎn)E，則四邊形ADOE與BCOE都是矩形.由k的幾何意義，得S矩形BCOE=k，S矩形ADOE=4.

于是S矩形BCOE=S矩形ADOE+S矩形ABCD=4+8=12，即k=12.由雙曲線的一支位于第一象限知k>0，從而k=12.故選A.

例3 （2012年湖北荊門）如圖4，點(diǎn)A是反比例函數(shù) y=（x>0）的圖象上任意一點(diǎn)，AB∥x軸交反比例函數(shù)y=-的圖象于點(diǎn)B，以AB為邊作？荀ABCD，其中C、D在x軸上，則S？荀ABCD為（ ）.

圖4

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別為E、F，則四邊形ABFE、四邊形AEOP和四邊形BFOP 都為矩形.

設(shè)AB交y軸于點(diǎn)P，則S？荀ABCD=S矩形ABFE=AB·OP.而S矩形ABFE=S矩形AEOP+S矩形BFOP.由k的幾何意義得S矩形AEOP=2，S矩形BFOP=3，于是S？荀 ABCD=S矩形ABFE=2+3=5.故選D.

二、利用反比例函數(shù)的對(duì)稱性

反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，這是反比例函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì). 在解答一類求反比例函數(shù)與正比例函數(shù)相結(jié)合的圖形面積的問(wèn)題時(shí)，靈活運(yùn)用反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性非常有效.

例4 （2012年山東威海）下列選項(xiàng)中，陰影部分面積最小的是（ ）.

A B

C D

解析：對(duì)于選項(xiàng)A，陰影部分由兩個(gè)小三角形組成，由k的幾何意義知每個(gè)小三角形的面積都等于×2=1，故S陰影=2.

對(duì)于選項(xiàng)B，陰影部分由兩個(gè)小三角形組成，由反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性知兩個(gè)小三角形的面積相等.由k的幾何意義知每個(gè)小三角形的面積都等于×2=1，因此S陰影=2.選項(xiàng)D亦是如此.

因此選項(xiàng)A、B和D中陰影部分的面積都相等，選項(xiàng)C中陰影部分的面積必然最小.故選C.

說(shuō)明：上面的解法沒有算出選項(xiàng)C中陰影部分的面積，而是根據(jù)選項(xiàng)A、B和D中陰影部分的面積都相等，說(shuō)明選項(xiàng)A、B和D中陰影部分的面積都不是最小的，從而排除選項(xiàng)A、B和D，剩下的選項(xiàng)C必然是陰影部分面積最小的.

三、直接計(jì)算

計(jì)算有些圖形的面積，既不便利用k的幾何意義，也不便利用反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性，此時(shí)可以用反比例函數(shù)圖象某點(diǎn)的坐標(biāo)（橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)）表示出有關(guān)圖形的邊長(zhǎng)和高，順利求出圖形的面積.

例5 （2012年湖南株洲）如圖5，直線x=t（t>0）與反比例函數(shù)y=，y=-的圖象分別交于B、C兩點(diǎn)，若A為y軸上的任意一點(diǎn)，則△ABC的面積為（ ）.

圖5

A.3 B.t C. D.不能確定

解析：由題意，得B（t，），C（t，-），所以BC=| -（-）|=，所以S△ABC=BC·t= ··t= .故選C.

例6 （2012年山東德州）如圖6，兩個(gè)反比例函數(shù)y=和y=-的圖象分別是l1和l2.設(shè)點(diǎn)P在l1上，PC⊥x軸，垂足為C，交l2于點(diǎn)A，PD⊥y軸，垂足為D，交l2于點(diǎn)B，則三角形PAB的面積為（ ）.

圖6

A.3 B.4 C. D.5

解析：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，則P（a，），A（a，-）.再設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，由于點(diǎn)B與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，都為，所以=-，即x=-2a.所以BP=a-（-2a）=3a，AP=-（-）= .所以S△PAB=BP·AP=·3a· =.故選C.