岳瑞華 楊學(xué)猛 徐中英

（第二炮兵工程大學(xué)302教研室，西安710025）

自相關(guān)過(guò)程的修正均值控制圖在MAP中的應(yīng)用

岳瑞華 楊學(xué)猛 徐中英

（第二炮兵工程大學(xué)302教研室，西安710025）

傳統(tǒng)控制圖的應(yīng)用前提是來(lái)自過(guò)程的觀測(cè)值彼此獨(dú)立，但通過(guò)自動(dòng)化測(cè)試設(shè)備獲得的校準(zhǔn)值通常存在自相關(guān)現(xiàn)象，違背獨(dú)立性假定。結(jié)合新型計(jì)量保證方案應(yīng)用的工程實(shí)際，對(duì)觀測(cè)值的自相關(guān)參數(shù)做出辨識(shí)和估計(jì)，建立一階自回歸時(shí)間序列模型，修正了傳統(tǒng)控制圖的控制限，使之適用于自相關(guān)過(guò)程。實(shí)例分析表明，當(dāng)過(guò)程觀測(cè)值存在自相關(guān)時(shí)使用常規(guī)控制圖將得到錯(cuò)誤的控制限設(shè)置，使用修正均值控制圖則可以正確判斷過(guò)程是否受控。

計(jì)量保證；控制圖；自相關(guān)過(guò)程；時(shí)間序列

0 引言

基于MAP（Measurement Assurance Program）的以等效器作為核查標(biāo)準(zhǔn)和傳遞標(biāo)準(zhǔn)的新型導(dǎo)彈測(cè)發(fā)控設(shè)備計(jì)量保證方案改變了傳統(tǒng)的人工手動(dòng)操作、分散拆卸式的逐級(jí)定點(diǎn)計(jì)量檢定方式，滿(mǎn)足了導(dǎo)彈、火箭綜合測(cè)試設(shè)備的計(jì)量保證需求［1－2］。

傳統(tǒng)Shewhart控制圖在MAP方案中得到了廣泛應(yīng)用，但是MAP方案實(shí)施的一個(gè)關(guān)鍵是對(duì)核查標(biāo)準(zhǔn)的測(cè)量必須是在足夠?qū)挼沫h(huán)境變化和工作條件范圍內(nèi)進(jìn)行。只有這樣才能把所有隨機(jī)過(guò)程包括進(jìn)去，即測(cè)量值必須是獨(dú)立不相關(guān)的。只有當(dāng)測(cè)量值獨(dú)立時(shí)，才可以認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量值與送檢標(biāo)準(zhǔn)的測(cè)量值的隨機(jī)誤差分量是可以比擬的［3］。范巧成［4］證明了采用重復(fù)性條件下所得數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差確定的平均值控制限來(lái)控制復(fù)現(xiàn)性條件下子組均值的波動(dòng)并不妥當(dāng)，并提出了簡(jiǎn)化的測(cè)量過(guò)程統(tǒng)計(jì)控制方法［5］。

Alwan對(duì)235個(gè)錯(cuò)誤使用常規(guī)控制圖的實(shí)際案例研究表明，超過(guò)45%的錯(cuò)誤源于過(guò)程觀測(cè)值存在自相關(guān)［6］。Shewhart在《Economic Control of Quality and Manufactured Product》中，得到對(duì)絕緣材料電阻的測(cè)量數(shù)據(jù)觀測(cè)值204個(gè)，分為51組，每組4個(gè)觀測(cè)值［7］。當(dāng)直接運(yùn)用休哈特圖對(duì)樣本均值數(shù)據(jù)進(jìn)行監(jiān)控時(shí)，共有8個(gè)點(diǎn)超出控制限，表明在這些時(shí)刻過(guò)程存在異常原因。然而再對(duì)204個(gè)觀測(cè)值進(jìn)行相關(guān)性分析后發(fā)現(xiàn)序列相關(guān)，獨(dú)立性假設(shè)前提不成立，因此對(duì)于含有相關(guān)性的觀測(cè)值使用標(biāo)準(zhǔn)方法計(jì)算控制限并不準(zhǔn)確［8］。新型導(dǎo)彈測(cè)發(fā)控設(shè)備計(jì)量保證方案將計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)器、計(jì)量校準(zhǔn)輔助設(shè)備、環(huán)境條件、人員素質(zhì)和測(cè)試方法等因素所引入的誤差納入研究，在使用某大型測(cè)試設(shè)備便攜式綜合計(jì)量檢定儀進(jìn)行高頻數(shù)據(jù)采集與抽樣時(shí)，得到的過(guò)程觀測(cè)值并不總是滿(mǎn)足獨(dú)立的假設(shè)，而是存在自相關(guān)現(xiàn)象［9］。因此需要新的控制圖方法應(yīng)用于對(duì)過(guò)程進(jìn)行控制。

1 傳統(tǒng)Shewhart控制圖

1.1 控制圖原理

在使用控制圖對(duì)生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行監(jiān)控時(shí)，可以把在一系列時(shí)刻采集到的同一質(zhì)量指標(biāo)數(shù)據(jù)看作一個(gè)信號(hào)的時(shí)間序列［10－11］。若該序列在不同時(shí)刻的取值不是相互獨(dú)立，或者說(shuō)該信號(hào)在時(shí)間上與它的滯后項(xiàng)相關(guān)，則稱(chēng)該序列具有自相關(guān)性，意在強(qiáng)調(diào)同一指標(biāo)受歷史數(shù)據(jù)的影響。如果自相關(guān)性可以忽略，且該質(zhì)量指標(biāo)與其它質(zhì)量指標(biāo)之間的相關(guān)性（互相關(guān)）也可以忽略，則可以認(rèn)為該質(zhì)量指標(biāo)對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列在各時(shí)刻的取值相互獨(dú)立且服從相同的分布，即滿(mǎn)足獨(dú)立同分布條件，稱(chēng)該過(guò)程為I.I.D.（independent identical distribution）過(guò)程。

Shewhart控制圖基于《工業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量的經(jīng)濟(jì)控制》提出，當(dāng)正常的生產(chǎn)過(guò)程在沒(méi)有異常原因存在時(shí)，質(zhì)量指標(biāo)是一個(gè)穩(wěn)定的隨機(jī)過(guò)程X1，X2，…，Xn。其數(shù)學(xué)描述為

式中，μ＝E（Xt），εt～I(xiàn).I.D.N（0，σ2）

Xt相互獨(dú)立

不同時(shí)間的Xt服從同一分布，分布參數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)，即Xt～N（0，σ2）。Xt的樣本均值也是隨機(jī)變量

1.2 常規(guī)控制圖

對(duì)某過(guò)程取樣本含量為n的m組（I.I.D.）觀測(cè)值，令xij表示第i組數(shù)據(jù)的第j個(gè)樣本測(cè)量值，則組內(nèi)樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差sw為

總合成標(biāo)準(zhǔn)偏差sc

于是可建立

2 觀測(cè)數(shù)據(jù)自相關(guān)

2.1 自相關(guān)過(guò)程的辨識(shí)

對(duì)于某些采用了傳感器等技術(shù)、實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)自動(dòng)采集的過(guò)程，由于數(shù)據(jù)采集的頻率較高，相鄰數(shù)據(jù)的時(shí)間間隔很短，所采集或觀測(cè)到的數(shù)據(jù)往往存在自相關(guān)［12］。對(duì)自相關(guān)過(guò)程的判別通常直觀的采用相關(guān)圖法。

構(gòu)成時(shí)間序列的每個(gè)序列值X1，X2，…，Xn之間的簡(jiǎn)單相關(guān)關(guān)系稱(chēng)之為自相關(guān)。自相關(guān)程度由自相關(guān)系數(shù)γk度量，表示時(shí)間序列中相隔k期的觀測(cè)值之間的相關(guān)程度。

偏自相關(guān)是指對(duì)于時(shí)間序列 Xt，在給定的Xt－1，Xt－2，…，Xt－k＋1的條件下，Xt與Xt－k之間的條件相關(guān)關(guān)系。其相關(guān)程度用偏相關(guān)系數(shù)Φkk度量，有－1≤Φkk≤1。

式中，γk是滯后k期的自相關(guān)系數(shù)。

如果序列的自相關(guān)系數(shù)很快地（滯后階數(shù)k大于2或3時(shí)）趨于0，即落入隨機(jī)區(qū)間，則可認(rèn)為時(shí)間序列是平穩(wěn)的，反之時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。若有更多的自相關(guān)系數(shù)落在隨機(jī)區(qū)間以外，即與0有顯著不同，時(shí)間序列就是不平穩(wěn)的。

2.2 自相關(guān)過(guò)程的參數(shù)估計(jì)

MAP方案中測(cè)量過(guò)程控制參數(shù)的最初建立是基于對(duì)核查標(biāo)準(zhǔn)的認(rèn)可值，即利用核查標(biāo)準(zhǔn)值的算術(shù)平均值作為表征長(zhǎng)期值的統(tǒng)計(jì)量，其每一次測(cè)量的有效性通過(guò)t檢驗(yàn)，、F檢驗(yàn)和保證。根據(jù)時(shí)間序列理論，可以將測(cè)得的認(rèn)可值序列視為因果可逆的平穩(wěn)過(guò)程［13］。

若自相關(guān)觀測(cè)數(shù)據(jù)可表示為一階自回歸AR（1）模型

式中，Xt為過(guò)程在t時(shí)刻的觀測(cè)值；μ為過(guò)程均值；為自回歸參數(shù)；εt～I(xiàn).I.D.N（0，σ），為白噪聲序列。

則AR（1）觀測(cè)數(shù)據(jù)｛Xt｝的方差

3 修正均值控制圖及兩類(lèi)錯(cuò)誤

當(dāng)應(yīng)用傳統(tǒng)控制圖對(duì)自相關(guān)過(guò)程控制時(shí)，對(duì)過(guò)程波動(dòng)的有偏估計(jì)往往導(dǎo)致控制圖失效。可是自相關(guān)現(xiàn)象是過(guò)程的本質(zhì)屬性，它不是源于數(shù)據(jù)的采集或觀測(cè)不當(dāng)，也不是控制圖這一工具本身的失靈，不能通過(guò)重新采集數(shù)據(jù)加以消除，也不必理解成是生產(chǎn)過(guò)程中必須消除的故障，應(yīng)該對(duì)控制圖改進(jìn)，以期適用于自相關(guān)條件，因此應(yīng)當(dāng)采用修正均值控制圖。

對(duì)于符合一階自回歸模型的觀測(cè)值序列，根據(jù)式（16）可以得到包含了觀測(cè)值樣本的組內(nèi)波動(dòng)

設(shè)容量為n的每組觀測(cè)數(shù)據(jù)X1，X2，…Xn為一個(gè)隨機(jī)向量樣本，其概率分布為n維正態(tài)分布，X＝｛X1，X2，…Xn｝為正態(tài)隨機(jī)矢量，且X～N（a，B），其中矢量a＝（E（X1），E（X2），…E（Xn））為X的數(shù)學(xué)期望矢量，即均值向量；矩陣

為X的協(xié)方差陣。

當(dāng)過(guò)程均值發(fā)生偏移時(shí)，假設(shè)偏移為δσ，則發(fā)生偏移之后的過(guò)程均值，此時(shí)圖的第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率：

4 實(shí)例驗(yàn)證

數(shù)據(jù)來(lái)自于計(jì)量站采用計(jì)量保證方案對(duì)某大型測(cè)控設(shè)備的28.5V標(biāo)準(zhǔn)電壓源定期校準(zhǔn)記錄，該標(biāo)準(zhǔn)源在滿(mǎn)足統(tǒng)計(jì)受控條件下每周進(jìn)行一次檢定，共得到50個(gè)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)。由其自相關(guān)函數(shù)圖1和偏相關(guān)函數(shù)圖2可見(jiàn)，該校準(zhǔn)數(shù)據(jù)存在自相關(guān)。

利用式（15）所建AR（1）模型，根據(jù)式（16）（17）（19）估計(jì)出該自相關(guān)過(guò)程參數(shù)＝0.42，通過(guò)式（7）～（9）得到sc＝0.227。分別求出常規(guī)均值控制圖和修正均值控制圖的控制限見(jiàn)于表1。

表1 控制限對(duì)比

圖1 觀測(cè)值的自相關(guān)函數(shù)圖

圖2 觀測(cè)值的偏自相關(guān)函數(shù)圖

圖3 常規(guī)均值控制圖

對(duì)于事實(shí)上受控的標(biāo)準(zhǔn)源，圖3所示為常規(guī)均值控制圖，圖中有1個(gè)點(diǎn)落在控制限外，4個(gè)點(diǎn)接近控制限，依據(jù)均值控制圖理論，可判斷此過(guò)程失控。圖4所用修正均值控制圖則表示過(guò)程受控。

對(duì)比圖3、4可見(jiàn)，若忽視自相關(guān)現(xiàn)象的存在而采用常規(guī)控制圖，會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生虛假警報(bào)，影響計(jì)量保證方案的使用效果。

5 結(jié)語(yǔ)

圖4 修正均值控制圖

針對(duì)自動(dòng)化測(cè)試設(shè)備獲得的校準(zhǔn)值通常存在的自相關(guān)現(xiàn)象，采用AR（1）的時(shí)間序列模型，首先對(duì)觀測(cè)值的自相關(guān)參數(shù)做出辨識(shí)和估計(jì)，修正傳統(tǒng)控制圖的控制限，使之適用于自相關(guān)過(guò)程。對(duì)計(jì)量保證方案應(yīng)用實(shí)例的分析表明，使用修正均值控制圖對(duì)自相關(guān)的校準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行控制可以有效避免在受控狀態(tài)下虛發(fā)警報(bào)的情況出現(xiàn)。

［1］岳瑞華.導(dǎo)彈測(cè)試設(shè)備便攜式綜合計(jì)量檢定技術(shù)研究與應(yīng)用［D］.西安：第二炮兵工程學(xué)院，2005

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10.3969／j.issn.1000－0771.2013.4.23