丁思奇，曼蘇樂，崔 燦，胡志勇

（上海交通大學(xué)電氣工程系電力傳輸與功率變換控制教育部重點實驗室，上海 200240）

電弧爐在技術(shù)、經(jīng)濟(jì)上的優(yōu)越性，使其在冶金行業(yè)得到了廣泛應(yīng)用[1-5]。電弧爐會產(chǎn)生隨機(jī)變化的無功沖擊電流，使供電系統(tǒng)的電壓產(chǎn)生波動[6]，其頻率成分主要分布在0.1～30 Hz頻帶上。在6～10 Hz的低頻范圍內(nèi)，0.5%的電壓波動就可造成白熾燈閃爍，帶來電壓閃變[7]。電壓急劇波動會影響設(shè)備和儀表的穩(wěn)定運行，使其他電力用戶受到不良影響[8]。由于電弧具有高度非線性和強(qiáng)隨機(jī)特性，建立電弧的數(shù)學(xué)模型非常困難[9]。傳統(tǒng)電弧模型只是為了模擬時變特性而在某些物理量（如電阻、半徑）上疊加隨機(jī)信號，并沒有體現(xiàn)出弧長變化是導(dǎo)致供電系統(tǒng)電壓波動的主要原因。為此，本文采用文獻(xiàn)[10]提出的電弧爐電弧數(shù)學(xué)模型，該模型是在理想弧長基礎(chǔ)之上疊加帶通白噪聲，模擬電弧爐冶煉過程中弧長的隨機(jī)動態(tài)特性。

沖擊性負(fù)荷對電網(wǎng)造成的電壓波動和閃變的本質(zhì)在于系統(tǒng)無功功率的不平衡，靜止同步補(bǔ)償器（static synchronous compensator，STATCOM）可以發(fā)出快速可調(diào)的無功功率，維持系統(tǒng)電壓，消除波動和閃變。由于實際電網(wǎng)中存在不確定的系統(tǒng)參數(shù)和不可測量的外部擾動，考慮采用魯H∞棒控制。H∞控制理論是專門分析和處理具有不確定性系統(tǒng)的控制理論，通過對所研究對象的某些閉環(huán)性能指標(biāo)的H∞范數(shù)優(yōu)化而獲得最優(yōu)控制器[11]。

本文在STATCOM模型系數(shù)不能精確測量及受到干擾的情況下，建立包含不確定參數(shù)和外部擾動的數(shù)學(xué)模型。選定加權(quán)函數(shù)，將H∞控制器設(shè)計歸結(jié)為混合靈敏度優(yōu)化問題，求得魯棒控制器。仿真結(jié)果表明采用H∞控制的STATCOM可以有效補(bǔ)抑制電壓波動和閃變。

1 電弧爐電氣特性

文獻(xiàn)[10]提出的電弧數(shù)學(xué)模型由體現(xiàn)非線性的確定性電弧模型和模擬電弧爐負(fù)載隨機(jī)過程的弧長變化規(guī)則兩部分組成。

將電弧當(dāng)作純阻性來建模，根據(jù)能量守恒可得

式中：g為交流電弧電導(dǎo)；i為電弧瞬時電流；L為電弧弧長；r為電弧半徑；p為氣體壓力；T1為電弧周圍空間的溫度；K1、K2、α、為參數(shù)，以上為體現(xiàn)非線性的確定性電弧模型。

電弧弧長的隨機(jī)變化導(dǎo)致電網(wǎng)電壓的隨機(jī)波動，在理想電弧弧長上疊加帶通白噪聲信號模擬電弧弧長的隨機(jī)波動，即

式中：L0為理想弧長；r（t）為帶通白噪聲。

將確定性電弧模型式（1）和弧長變化規(guī)則式（4）相結(jié)合，即得到交流電弧爐電弧數(shù)學(xué)模型。

2 兩電平STATCOM主電路結(jié)構(gòu)

正常情況下供電系統(tǒng)的阻抗比系數(shù)很小，在電弧爐在熔煉過程中無功功率會發(fā)生頻繁的急劇變化，從而引起公共聯(lián)結(jié)點電壓波動和閃變。靜止同步補(bǔ)償器（STATCOM）可以快速、連續(xù)、平滑地調(diào)節(jié)感性和容性無功，減輕沖擊負(fù)荷對系統(tǒng)電能質(zhì)量的影響，實現(xiàn)動態(tài)補(bǔ)償。圖1為STATCOM并網(wǎng)系統(tǒng)主電路。

3 STATCOM數(shù)學(xué)模型

為了便于建立數(shù)學(xué)模型，假設(shè)系統(tǒng)參數(shù)和電網(wǎng)電壓是三相對稱的。STATCOM等效電路如圖2所示。

圖1 STATCOM主電路Fig.1 Main circuit of STATCOM

圖2 STATCOM等效電路Fig.2 Equivalent circuit of STATCOM

圖中 va、vb、vc為三相電網(wǎng)電壓，ea、eb、ec為逆變器輸出電壓，ia、ib、ic為電網(wǎng)輸出三相電流，R 和 L為等效連接電阻和等效連接電抗。

電壓和電流的動態(tài)方程為

通過Park變換將電流和電壓變換到dq-0坐標(biāo)系下，定義新坐標(biāo)系中的d軸總是與瞬時電壓矢量保持同一方向，則有

式中：w為電網(wǎng)基波電壓的旋轉(zhuǎn)角速；|V|為系統(tǒng)電壓的有效值。

記

可得標(biāo)稱STATCOM系統(tǒng)在狀態(tài)方程

4 STATCOM控制策略

STATCOM并聯(lián)接入電網(wǎng)，產(chǎn)生幅值相角可控的三相電壓，以實現(xiàn)無功功率的動態(tài)補(bǔ)償。式（7）和式（8）整理可得

STATCOM控制結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 STATCOM控制結(jié)構(gòu)Fig.3 Control structure of STATCOM

控制框圖中的無功參考電流僅由STATCOM運行模式、操作指令和系統(tǒng)變量決定，而與STATCOM內(nèi)部復(fù)雜的動態(tài)無關(guān)。電容電壓應(yīng)該保持恒定，當(dāng)且僅當(dāng)電容電壓被限制在適當(dāng)范圍內(nèi)時，逆變器的輸出電壓才可被視為獨立電壓源。電容電壓的變化是由有功功率的變化引起的，故將實際電容電壓與電容電壓參考值的差作為調(diào)制信號通過PI環(huán)節(jié)引入到有功電流的反饋控制通道。

5 H∞控制器設(shè)計

圖4 標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問題Fig.4 Control problems of standard H∞

標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問題如圖4所示，w為外部擾動，u為控制輸入，z為評價輸出，y為量測輸出。由輸入信號u、w到輸出信號z、y的傳遞函數(shù)P（s）為廣義被控對象，它包括實際被控對象和加權(quán)函數(shù)，K（s）為控制器。

輸入輸出關(guān)系可由方程

描述。記

從w到z的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

采用混合靈敏度分析可以同時考量干擾抑制和參數(shù)變化[12]。圖5所示的系統(tǒng)中，r為有功參考電流和無功參考電流，e為電流跟蹤誤差，W1、W2、W3為根據(jù)系統(tǒng)性能要求選取的加權(quán)函數(shù)。

圖5 混合靈敏度優(yōu)化問題Fig.5 Mixed-sensitivity optimization

外部干擾w到評價輸出z1、z2、z3的傳遞函數(shù)分別為 W1S、W2R、W3T，選取目標(biāo)函數(shù)

其中 S=（I+GK）-1為靈敏度函數(shù)，||S||∞是閉環(huán)系統(tǒng)對干擾抑制能力的度量。R=K（I+GK）-1，||R||∞是對系統(tǒng)加性攝動G+△G中允許攝動△幅度大小的度量。T=GK（I+GK）-1為補(bǔ)靈敏度函數(shù)，||T||∞是對系統(tǒng)乘性攝動（I+Δ）中允許攝動Δ幅度大小的度量。

分別選取有功電流和無功電流的加權(quán)函數(shù)，選取時應(yīng)兼顧有功電流和無功電流的相互影響和相互作用。為了加以區(qū)別，有功電流的加權(quán)函數(shù)下標(biāo)用1，無功電流的加權(quán)函數(shù)下標(biāo)用2。

W1是對靈敏度函數(shù)S的加權(quán)函數(shù)，在低頻段，為準(zhǔn)確的跟蹤輸入信號，W1的直流增益應(yīng)大于指令誤差比例系數(shù)和干擾抑制比例系數(shù)，W1具有高增益低通特性[12]。選取

W2是對R的加權(quán)函數(shù)，R是系統(tǒng)輸入r到控制量u的傳遞函數(shù)?？刂屏窟^大會對執(zhí)行器造成傷害，為此W2的靜態(tài)增益應(yīng)該適當(dāng)?shù)卮骩12]；而為保證系統(tǒng)具有足夠的帶寬，W2的靜態(tài)增益應(yīng)該適當(dāng)?shù)男　Ｋ訵2的選擇既要考慮系統(tǒng)的飽和現(xiàn)象又要考慮系統(tǒng)帶寬的要求，對二者性能進(jìn)行折中。選取

W3是對T的加權(quán)函數(shù)，系統(tǒng)的標(biāo)稱對象僅適合于描述對象的低頻特性，而標(biāo)稱系統(tǒng)高頻段特性的準(zhǔn)確性必然要變差，其未建模動態(tài)特性會引起對象增益和相位的不確定性。W3的選擇要求在某一較高頻率處，補(bǔ)靈敏度函數(shù)T的最大奇異值有一定衰減，以承受大于該頻率的高頻未建模動態(tài)引起的傳遞函數(shù)幅值的變化，保證系統(tǒng)具有充分的穩(wěn)定裕度[12]。具有高通濾波特性。選取

系統(tǒng)參數(shù) R=1.6 Ω，L=150 mH。由（9）式可知標(biāo)稱STATCOM系統(tǒng)狀態(tài)方程系數(shù)矩陣為

根據(jù)標(biāo)稱系統(tǒng)狀態(tài)方程和加權(quán)函數(shù)W1、W2、W3，可得到廣義被控對象的狀態(tài)空間實現(xiàn)。利用MATLAB魯棒控制工具箱，通過解Riccati方程，得到控制器

6 仿真結(jié)果分析

電弧爐供電系統(tǒng)等效電路見圖6。電源側(cè)為無窮大系統(tǒng)，X1為主變壓器高壓側(cè)架空線電抗，X1=1.816；X2為電弧爐變壓器高壓側(cè)架空線和電纜的電抗之和，X2=0.256；Rd為短網(wǎng)電阻，Rd=0.4 m；Xd為短網(wǎng)電抗，Xd=2.496 mΩ；變壓器T1參數(shù)：63 MVA，110 kV/35 kV，Y/△接線；變壓器 T2參數(shù)：22 MVA，35 kV/0.42 kV，△/△接線。

圖6 電弧爐供電系統(tǒng)等效電路Fig.6 Equivalent circuit of the power supply system for the electric arc furnace

在 Matlab/Simulink平臺上搭建式（6）～式（9）描述的電弧模型，仿真參數(shù)為：λ=-1.86，L0=20.25 cm，k1=4678.88 W/（Ω（λ+1）·cm），k2=0.214 cm/（W·s），電弧仿真初始條件g=300 Ω-1s-1。電弧電壓和電弧電流如圖7所示。

圖7 母線3點電弧電壓和電流Fig.7 Arc voltage and current at bus 3

圖8是仿真得到的母線1點電壓曲線，對電壓曲線進(jìn)行局部放大后截取電壓波動如圖9所示。

圖9 母線1點電壓波動局部放大Fig.9 Part enlargment of voltage fluctuation at bus 1

根據(jù)圖9計算得到母線2點的最大電壓波動為10.89%。

將STATCOM并聯(lián)接入電網(wǎng)進(jìn)行仿真研究，系統(tǒng)接線見圖10。

為研究本文提出控制器的性能，將使用H∞控制的STATCOM和使用常規(guī)PI控制的STATCOM進(jìn)行比較。接入STATCOM后，母線1點電壓曲線如圖11所示，圖12為母線1點電壓波動。

將圖11與圖8進(jìn)行比較可以看出，補(bǔ)償后電壓的波動幅值較補(bǔ)償前明顯減小。根據(jù)圖12計算可得，并聯(lián)使用PI控制的STATCOM時，母線1點的最大電壓波動為1.93%；并聯(lián)使用H∞控制的STATCOM時，母線1點的最大電壓波動為1.04%。即后者對電壓波動和閃變具有更好的抑制作用。

圖10 并聯(lián)STATCOM的電弧爐供電系統(tǒng)等效電路Fig.10 Equivalent circuit of power supply system with shunt STATCOM for electric arc furnace

圖11 母線1點電壓曲線（接入STATCOME后）Fig.11 Voltage curve at bus 1 after touching STATCOM

圖12 母線1點電壓波動（接入STATCOME后）Fig.12 Voltage fluctuation at bus 1 after touching STATCOM

7 結(jié) 語

本為將STATCOM應(yīng)用于電弧爐治理，基于不確定參數(shù)和外部擾動建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，通過混合靈敏度優(yōu)化獲得魯棒H∞控制器。仿真結(jié)果表明，應(yīng)用H∞控制的STATCOM精度更高，具有更好的無功補(bǔ)償效果，可以有效抑制電壓波動和閃變，消除沖擊性負(fù)荷對電網(wǎng)的不利影響，改善電能質(zhì)量。相對于只有2個自由參數(shù)的PI控制，H∞控制提供了與廣義被控對象階次相同的n個自由參數(shù)。有多個自由參數(shù)的控制器所形成系統(tǒng)的幅頻特性要比僅有2個自由參數(shù)的控制器所形成系統(tǒng)的幅頻特性更能滿足性能要求。

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