孫春香

（淮南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽 淮南 232001）

連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)概率密度的教學(xué)方法探討

孫春香

（淮南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽 淮南 232001）

本文從單個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)和兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布兩種情形分別探討隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度的求解方法.

隨機(jī)變量；密度函數(shù)；隨機(jī)變量函數(shù)；卷積公式

1 引言

隨機(jī)變量函數(shù)的分布問(wèn)題是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一項(xiàng)重要的問(wèn)題，它在隨機(jī)變量研究中占有非常重要的意義，是整個(gè)隨機(jī)變量研究的核心內(nèi)容，關(guān)于許多隨機(jī)變量的研究都是通過(guò)研究隨機(jī)變量函數(shù)的分布問(wèn)題得以發(fā)展.因此，在這部分的學(xué)習(xí)中，掌握其方法和解題技巧至關(guān)重要.以下就是作者憑借多年從事概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)了幾點(diǎn)看法.

2 單個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)的求法

對(duì)于這種類型的問(wèn)題，主要通過(guò)某個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)f(x)來(lái)找出Y=g(X)的密度函數(shù)f Y(y)，主要介紹一下兩種方法.

2.1 “分布函數(shù)法”——求解問(wèn)題的萬(wàn)能公式

“分布函數(shù)法”是解決隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)的一般方法，可以賦予其“萬(wàn)能公式”的稱號(hào).其原因是不管y=g(x)的形式多么復(fù)雜，均可采用此方法.具體步驟如下：

（1）先由X的值域ΩX，確定出Y=g(x)的值域ΩY；

注1：所謂值域通常指的是隨機(jī)變量密度函數(shù)表達(dá)式的非零區(qū)間.

（2）對(duì)于任意的y∈ΩY，Y的分布函數(shù)

(其中G y={x|g(x)≤y})；

（3）寫出FY(y)在(-∞,+∞)上的表達(dá)式；

（4）求導(dǎo)得到f(y)=Fy'(y).

例1已知X-N(0,1)，試求Y=2 X2+1的密度函數(shù)f(y).

解 由已知得X的密度函數(shù)為

易知隨機(jī)變量X的非零區(qū)間為ΩX=(-∞,+∞)，

從而由Y=2 X2+1≥1得到ΩY=(1,+∞)，

所以當(dāng)y≤1時(shí)Fy(y)=0

當(dāng)y>1時(shí)，F(xiàn) Y(y)=P(Y≤y)=P(2 X2+1≤y)

所以當(dāng)y>1時(shí)，兩邊對(duì)y求導(dǎo)數(shù)得到

注2：在非零區(qū)間上找分布函數(shù)時(shí)，不一定求出其具體的表達(dá)式，因?yàn)樵谝陨蠁?wèn)題中，我們的目的是求出Y的密度函數(shù)，分布函數(shù)只是一個(gè)中間過(guò)渡，可運(yùn)用X的分布函數(shù)給出Y的分布函數(shù)的形式表達(dá)式，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可以直接給出其密度函數(shù)，這樣在很多類似問(wèn)題中可使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

2.2 特殊求解——公式法

當(dāng)g(x)為嚴(yán)格單調(diào)時(shí)，可運(yùn)用以下定理直接得出結(jié)論.

定理1設(shè)X是連續(xù)隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為fX(x).Y=g (X)是另一個(gè)隨機(jī)變量.若y=g(x)嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)h(y)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則Y=g(x)的密度函數(shù)為

其中ΩY為隨機(jī)變量Y的非零區(qū)間.

證明 見參考文獻(xiàn)[1].

例2設(shè)X-N(μ,σ2)，求Y=3 X+2的概率密度函數(shù).

注3：通過(guò)例題可以看出運(yùn)用定理1解決問(wèn)題很是簡(jiǎn)便，但是要注意其適用的條件，這點(diǎn)在學(xué)習(xí)中容易被忽視.例如讀者可以考慮當(dāng)X-U(0,π)及時(shí)Y=s i n X的密度函數(shù)的求解方法的異同.

由定理1，對(duì)于正態(tài)分布，還有如下結(jié)論

定理2設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則當(dāng)a≠0時(shí)，有Y=a X+b-N(a μ+b,a2σ2).

證明 當(dāng)a>0時(shí)，Y=a X+b是嚴(yán)格增函數(shù)，仍在(-∞, +∞)上取值，其反函數(shù)為X=(Y-b)/a，由定理可得

這就是正態(tài)分布N(μ+b，a2σ2)的密度函數(shù).

當(dāng)a<0時(shí)，Y=a X+b是嚴(yán)格減函數(shù)，仍在(-∞,+∞)上取值，其反函數(shù)為X=(Y-b)/a，由上定理可得

這是正態(tài)分布N(a μ+b，a2σ2)的密度函數(shù)，結(jié)論得證.

這個(gè)定理表明，正態(tài)變量的線性變換仍為正態(tài)變量，其數(shù)學(xué)期望和方差可直接從線性變換求得.若取a=1/σ，b=-μ/σ，則Y=a X+b-N(0,1).這在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中意義重大.

例3設(shè)隨機(jī)變量X-(10,22)，試求Y=3 X+5的分布.

解 由定理2知Y仍是正態(tài)變量，其數(shù)學(xué)期望和方差分別為

所以Y=3 X+5的分布為N(3 5,62).

3 兩個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量的函數(shù)的密度函數(shù)的求法

這部分涉及到的問(wèn)題和第二節(jié)的問(wèn)題極其類似，只是把一維的問(wèn)題推廣到二維當(dāng)中去，因此，解決的方法也極其類似.

3.1 “分布函數(shù)法”——求解問(wèn)題的萬(wàn)能公式

若已知(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，欲求Z=g(X,Y)的概率密度f(wàn)Z(z)，解決此類問(wèn)題仍然采用以下4步：

（1）先由(X,Y)的值域確定出Z=g(X,Y)的值域ΩZ；

（2）對(duì)于任意的z∈ΩZ，求出Z=g(X,Y)的分布函數(shù)；

（3）FZ(z)寫出 在整個(gè)坐標(biāo)平面上的表達(dá)式；

（4）求導(dǎo)，即可得Z=g(X,Y)的概率密度

通常，我們也稱這種方法為“分布函數(shù)法”，它適用于任何一種函數(shù)形式下Z=g(X,Y)的密度函數(shù)的求解，是前面“分布函數(shù)法”的推廣.

當(dāng)z<0時(shí)，F(xiàn)Z(z)=0，

當(dāng)z>0時(shí)，F(xiàn)Z(z)=P(Z≤z)

所以FZ(z)，兩邊對(duì)z求導(dǎo)數(shù)得

3.2 特殊求解——公式法

“分布函數(shù)法”雖然能解決所有的問(wèn)題，但因?yàn)樯婕暗蕉胤e分的計(jì)算問(wèn)題，操作起來(lái)相當(dāng)復(fù)雜.因此，對(duì)于常見的和、差的分布，商的分布，乘積的分布給出下面的求解公式.

定理3已知(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則

（1）Z=X++Y的密度函數(shù)

（2）Z=X-Y的密度函數(shù)

（3）Z=X/Y的密度函數(shù)

（4）Z=X Y的密度函數(shù)

d x其中（1）和（2）分別稱為和、差的卷積公式.

解 由卷積公式

為確定積分限，先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域

注4：通過(guò)上面例5可以看出，運(yùn)用公式過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，但在確定分段函數(shù)的非零區(qū)間時(shí)，需要解出一個(gè)含參數(shù)的不等式組，值得讀者特別關(guān)注，這也是公式法的不足之處.

4 小結(jié)

本文所得出的結(jié)論對(duì)隨機(jī)變量函數(shù)的學(xué)習(xí)具有一定的指導(dǎo)意義，雖然現(xiàn)有對(duì)隨機(jī)變量函數(shù)的研究已經(jīng)比較成熟，但要想對(duì)隨機(jī)變量函數(shù)有更深一步的認(rèn)識(shí)，還有待于進(jìn)一步的發(fā)展.

〔1〕盛驟，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].高等教育出版社，2008.〔2〕茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].高等教育出版社，2004.

〔3〕陳仲堂.趙德平.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].高等教育出版社，2012.

〔4〕張菊芳，陳寧，章曉，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].化學(xué)工業(yè)出版，2011.

〔5〕唐興蕓，羅明燕.二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度[J].黔南民族師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012(2):112-115.

〔6〕崔靜.關(guān)于一維與二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布探討[J].西安文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2007(10):32-36.

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1673-260 X（2013）10-0227-0 2

安徽省高等學(xué)校優(yōu)秀人才基金研究項(xiàng)目資助(2011SQRL136)；淮南師范學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目資助(2012hssjk10)