沈小雪，郭嗣琮

遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院，遼寧阜新 123000

新的直覺(jué)模糊熵公式及其應(yīng)用

沈小雪，郭嗣琮

遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院，遼寧阜新 123000

1 引言

在模糊集理論誕生的初期，模糊熵就作為一種重要的模糊信息度量被引入，并廣泛應(yīng)用在模式識(shí)別、圖像處理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域。隨著模糊集概念的拓展，熵理論的應(yīng)用也延伸到更多的領(lǐng)域。

模糊集熵的公理化定義是由De Luca和Termini在1972年給出的[1]，1986年，保加利亞學(xué)者Atanassov提出了直覺(jué)模糊集的概念[2-3]，拓展了傳統(tǒng)的模糊集。其后，Gau等人提出了Vague集的概念[4]，Bustince H和Burillo P證明了這兩個(gè)概念在本質(zhì)上是相同的[5]，并最早提出了直覺(jué)模糊集的模糊熵的公理化定義[6]。拓展的直覺(jué)模糊集模糊熵及相關(guān)理論的研究引起人們的興趣，大批學(xué)者對(duì)直覺(jué)模糊集和Vague集的模糊熵開(kāi)展了深入探究。

由于Burillo P和Bustince H給出的直覺(jué)模糊集熵的定義與模糊集熵之間不具有相容性，2001年E.Szmidt和J.Kacprzyk[7]提出了另一種直覺(jué)模糊集合熵的公理化定義，并且給出模糊熵的計(jì)算公式。李凡等人在文獻(xiàn)[8]中指出任意的Vague集的模糊熵可以用其對(duì)應(yīng)的Fuzzy集的模糊熵來(lái)表示，但是，黃國(guó)順等在文獻(xiàn)[9]中指出了文獻(xiàn)[8]的不足之處，考慮了影響Vague集模糊熵的兩個(gè)因素，提出一個(gè)基于非模糊集的Vague集模糊熵公理化定義，給出一個(gè)該類(lèi)熵的計(jì)算公式。其后，許多人在前人研究的基礎(chǔ)上進(jìn)一步修正了Vague集模糊熵的公理化定義，用真假隸屬度的差異來(lái)反映Vague本身具有的模糊性，并相應(yīng)得到新的模糊熵[10-19]。呂印超等在文獻(xiàn)[20]中指出直覺(jué)模糊熵應(yīng)同時(shí)反映模糊性和不確定性?xún)煞矫娴挠绊?，提出了模糊度定義，并給出新的修改后的公理化定義，給出直覺(jué)模糊熵的一般形式，討論了模糊熵與測(cè)度之間的關(guān)系。吳濤等人在文獻(xiàn)[21]中指出文獻(xiàn)[20]中公理化定義的不合理處，提出新的公理化定義，并且給出新的直覺(jué)模糊熵的計(jì)算公式。在文獻(xiàn)[21]的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[22]提出了基于直覺(jué)模糊熵的多屬性直覺(jué)模糊決策問(wèn)題。

然而，本文通過(guò)實(shí)例發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[21]中直覺(jué)模糊熵計(jì)算公式仍存在不合理之處，進(jìn)而給出新的直覺(jué)模糊熵的計(jì)算公式，并證明新的計(jì)算公式符合文獻(xiàn)[21]中提出的直覺(jué)模糊熵公理化定義，并且把直覺(jué)模糊熵轉(zhuǎn)化為權(quán)重應(yīng)用到模糊推理中。

2 基礎(chǔ)知識(shí)

定義2.1[2]（直覺(jué)模糊集）設(shè)X是一個(gè)給定的有限論域，則X上的一個(gè)直覺(jué)模糊集A為：

用P(X)和F(X)分別表示X上所有普通集合和模糊集合全體，IFS(X)表示X上所有直覺(jué)模糊集全體。

在上述定義中，若?x∈X，都有μA(x)+νA(x)=1，則直覺(jué)模糊集退化為模糊集。對(duì)于給定的x∈X，稱(chēng)

為A中x的直覺(jué)指數(shù)，π(x)為元素x屬于A的猶豫度或不確定度。它是x對(duì)A的猶豫程度的一種測(cè)量，表示“非此非彼”的中立狀態(tài)。

X中x屬于A的隸屬度和非隸屬度所組成的有序數(shù)對(duì)：

稱(chēng)為直覺(jué)模糊數(shù)[23]。

定義2.2[20]（模糊度）稱(chēng)：

為x在A中的模糊度。

在直覺(jué)模糊集中，隸屬度和非隸屬度從不同側(cè)面反映了集合元素的模糊性，而猶豫度反映了集合元素的不確定性。因而，直覺(jué)模糊集的熵應(yīng)該綜合反映模糊性和不確定性這兩個(gè)方面的性質(zhì)。

3 現(xiàn)有直覺(jué)模糊熵的不足

Burillo P和Bustince H給出的直覺(jué)模糊集的模糊熵的公理化定義主要考慮了直覺(jué)模糊集的不確定性，忽略了直覺(jué)模糊集的模糊性，當(dāng)直覺(jué)模糊集退化為模糊集時(shí)，該定義與模糊集熵的定義不一致，因而，Szmidt E和Kacprzyk J于2001年提出了直覺(jué)模糊熵的新的公理化定義。

定義3.1[7]稱(chēng)映射E：IFS(X)→R+為IFS(X)上的熵，如果E滿足下列條件：

但是，不難發(fā)現(xiàn)，在該定義中，直覺(jué)模糊熵主要考慮了直覺(jué)模糊集的模糊性，但又忽略了直覺(jué)模糊集的不確定性。

文獻(xiàn)[20]同時(shí)考慮了直覺(jué)模糊集的不確定性和模糊性，對(duì)定義3.1中條件（3）進(jìn)行補(bǔ)充，將其修改為：

但是，不難看出上述式子仍存在缺陷，例如A1=＜0.3,0.1＞，A2=＜0.3,0.2＞，由公式（2）求得E(A1)=E(A2)= 0.7，顯然與直覺(jué)也不符合。

4 新的直覺(jué)模糊熵公式

從而表明新的直覺(jué)模糊熵比文獻(xiàn)[21]更符合直覺(jué)。

5 直覺(jué)模糊推理算法

直覺(jué)模糊推理模型為：

步驟1由公式（4），計(jì)算出所有直覺(jué)模糊數(shù)Aij的直覺(jué)模糊熵E(Aij)。

步驟2由式（5），求得所有權(quán)重ωij。

表1 直覺(jué)模糊數(shù)的病情知識(shí)

步驟3利用公式（6），求出給定輸入A*與每個(gè)直覺(jué)模糊推理規(guī)則前件Ai(i=1,2,…,n)的加權(quán)Hamming距離di=d(A*,Ai)。

步驟4若di=min{d1,d2,…,dn}，則取給定輸入A*對(duì)應(yīng)的結(jié)論為Bi。

6 實(shí)例分析

在疾病診斷中，人們可以通過(guò)對(duì)“晨僵”、“關(guān)節(jié)痛”、“發(fā)熱”、“水腫”、“皮疹”的癥狀觀測(cè)，來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)“系統(tǒng)性紅斑狼瘡”、“類(lèi)風(fēng)濕性關(guān)節(jié)炎”、“系統(tǒng)性硬化癥”、“骨關(guān)節(jié)炎”和“痛風(fēng)”這五種疾病的診斷。

為能得出正確的診斷，需要借用在長(zhǎng)期臨床實(shí)踐中得到的直覺(jué)模糊數(shù)表述病情的有關(guān)醫(yī)學(xué)知識(shí)，即直覺(jué)模糊推理規(guī)則。這個(gè)規(guī)則也可以利用一個(gè)表給出，如表1。

現(xiàn)有一患者，其關(guān)于“晨僵”、“關(guān)節(jié)痛”、“發(fā)熱”、“水腫”、“皮疹”的直覺(jué)癥狀為：

7 結(jié)束語(yǔ)

本文給出了新的直覺(jué)模糊熵的計(jì)算公式，并且證明了其符合文獻(xiàn)[21]修正的直覺(jué)模糊熵的公理定義。進(jìn)一步根據(jù)該直覺(jué)模糊熵來(lái)確定因素的權(quán)重，并將其應(yīng)用到直覺(jué)模糊推理問(wèn)題中。

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SHEN Xiaoxue,GUO Sicong

College of Science,Liaoning Technical University,Fuxin,Liaoning 123000,China

The entropy for intuitionistic fuzzy sets reflects the fuzziness and uncertainty of the intuitionistic fuzzy sets.Therefore, it is extremely significant to put forward the reasonable and right axiomatic definition and calculation formula of the intuitionistic fuzzy sets.The paper points out the irrationality of the calculation formula in the literature by example,and puts forward a new calculation formula of the entropy for intuitionistic fuzzy sets.The proof is given.The weight determined by the entropy for intuitionistic fuzzy sets is applied to the fuzzy reasoning.Accordingly,to solve the practical problems is effective.

intuitionistic fuzzy sets;entropy;weight;fuzzy reasoning

直覺(jué)模糊熵反映了直覺(jué)模糊集的模糊性和不確定性，因而提出合理正確的直覺(jué)模糊熵的公理化定義以及計(jì)算公式是十分重要的。通過(guò)實(shí)例指出已有文獻(xiàn)中直覺(jué)模糊熵計(jì)算公式的不合理，提出新的直覺(jué)模糊熵的計(jì)算公式，對(duì)其進(jìn)行了證明。根據(jù)該直覺(jué)模糊熵確定的權(quán)重應(yīng)用到模糊推理過(guò)程中，從而有效地解決實(shí)際問(wèn)題。

直覺(jué)模糊集；熵；權(quán)重；模糊推理

A

TP18

10.3778/j.issn.1002-8331.1305-0467

SHEN Xiaoxue,GUO Sicong.New entropy formular for intuitionistic fuzzy sets and its application.Computer Engineering and Applications,2013,49（24）：28-31.

教育部高校博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)科研基金（No.20102121110002）。

沈小雪（1988—），女，碩士研究生，研究領(lǐng)域?yàn)槟：评恚还苗?951—），男，教授，研究領(lǐng)域?yàn)槟：治鰧W(xué)、模糊預(yù)測(cè)與決策等。E-mail：xiaoxue1989314@163.com

2013-06-03

2013-08-19

1002-8331（2013）24-0028-04

CNKI出版日期：2013-10-11http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20131011.1653.001.html