楊元喜，任 夏，許 艷

（1.地理空間信息國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710054；2.西安測(cè)繪研究所，西安 710054；3.鄭州信息工程大學(xué)導(dǎo)航與空間目標(biāo)學(xué)院，鄭州 450052；4.長(zhǎng)安大學(xué) 地質(zhì)與測(cè)繪工程學(xué)院，西安 710054）

1 引言

目標(biāo)跟蹤或?qū)Ш揭话悴捎米赃m應(yīng)濾波技術(shù)，因?yàn)橄鄳?yīng)的系統(tǒng)模型一般是未知 （或部分未知）或隨時(shí)間變化的。與 Sage－Husa自適應(yīng)濾波［1-3］以及有限記憶濾波［4］不同，中國(guó)學(xué)者建立了一種新的自適應(yīng)抗差濾波理論［5-6］，該理論應(yīng)用抗差估計(jì)原理控制觀測(cè)異常的影響，引進(jìn)自適應(yīng)因子控制動(dòng)力學(xué)模型誤差的影響。

自適應(yīng)濾波必然涉及到誤差判別統(tǒng)計(jì)量以及自適應(yīng)因子。于是，先后構(gòu)建了4種動(dòng)力學(xué)模型誤差學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)量，即狀態(tài)不符值統(tǒng)計(jì)量［5-6］、預(yù)測(cè)殘差統(tǒng)計(jì)量［7-8］、基于觀測(cè)信息與動(dòng)力學(xué)模型預(yù)測(cè)信息的方差分量比統(tǒng)計(jì)量［9］和基于模型預(yù)測(cè)速度與計(jì)算速度不符值統(tǒng)計(jì)量［10］；并建立了4種自適應(yīng)因子，即三段函數(shù)模型［5］、兩段函數(shù)模型［6］、指數(shù)函數(shù)模型［11］和選權(quán)函數(shù)模型［12-13］。

若要求預(yù)測(cè)狀態(tài)向量的理論協(xié)方差矩陣等于或約等于估計(jì)的狀態(tài)協(xié)方差矩陣，或要求預(yù)測(cè)殘差理論協(xié)方差矩陣等于或約等于估計(jì)的預(yù)測(cè)殘差協(xié)方差矩陣時(shí)，又得到了兩類最優(yōu)自適應(yīng)因子［14］。之后又發(fā)展了分類因子自適應(yīng)濾波［10］和多因子自適應(yīng)濾波［15］。當(dāng)多因子變成單因子時(shí)，多因子自適應(yīng)濾波即為單因子自適應(yīng)濾波；當(dāng)多因子中僅含有位置參數(shù)因子和速度因子時(shí)，多因子自適應(yīng)濾波又變成分類因子自適應(yīng)濾波。

為了進(jìn)一步減弱模型誤差的影響，先后又發(fā)展了基于當(dāng)前加速度模型的抗差自適應(yīng)Kalman濾波［16］，并研究了自適應(yīng)抗差濾波與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)合［17-18］，解決動(dòng)態(tài)模型構(gòu)造問題；有學(xué)者將自適應(yīng)抗差濾波與誤差探測(cè)、診斷、調(diào)節(jié) （即DIA方法，detection，identification and adaptation）相結(jié)合［19］，或與 抗 差 Kalman 濾 波［20-24］相 結(jié) 合。為 了控制非線性動(dòng)力學(xué)模型誤差的影響，又提出了一種提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)泛化能力的自適應(yīng)UKF濾波算法［25］和一種基于Bancroft算法的GPS動(dòng)態(tài)抗差自適應(yīng)濾波［26］。

2 自適應(yīng)抗差濾波原理

假設(shè)線性動(dòng)力學(xué)模型和觀測(cè)模型分別為

式中，Xk為tk時(shí)刻m×1維狀態(tài)參數(shù)向量，Φk，k－1為u×u維狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Wk為動(dòng)力學(xué)模型噪聲向量，Lk為nk×1維觀測(cè)向量，Ak為nk×m維設(shè)計(jì)矩陣，ek為觀測(cè)噪聲向量。假設(shè)Wk和ek的數(shù)學(xué)期望為零，且協(xié)方差矩陣分別為ΣWk和Σk，并假設(shè)Wk、Wj、ek以及ej互不相關(guān)。再進(jìn)一步假設(shè)觀測(cè)殘差向量為Vk，狀態(tài)預(yù)測(cè)向量為，則觀測(cè)誤差方程及狀態(tài)預(yù)測(cè)方程為

式 中，和－1分別 為tk和tk－1時(shí) 刻 的 狀 態(tài) 估 計(jì)向量。

自適應(yīng)抗差濾波原則為

式中，ρ為連續(xù)非減凸函數(shù)［27－29］，pi為觀測(cè)向量Lk的權(quán)矩陣Pk＝的第i個(gè)對(duì)角分量，αk（0＜αk≤1）為自適應(yīng)因子，＝為預(yù)測(cè)狀態(tài)向量的權(quán)矩陣。式 （5）求極值后得到［5］

式 （6）可以等價(jià)地表示成［33，34］

狀態(tài)向量驗(yàn)后協(xié)方差矩陣為

3 簡(jiǎn)單分析

隨著自適應(yīng)因子αk和觀測(cè)等價(jià)權(quán)矩陣的不同，可以得到不同的濾波解。

情形1：若αk＝0且＝Σk或＝Pk，則有

式 （10）為最小二乘平差情形，即狀態(tài)參數(shù)僅由tk歷元的觀測(cè)向量估計(jì)，不使用任何動(dòng)力學(xué)模型信息。這類估計(jì)要求觀測(cè)信息豐富，且未受異常污染。

情形2：若αk＝1且＝Σk，則得到標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波解，即

情形3：若αk在0和1之間變化，且＝Pk，則有

式 （13）為自適應(yīng)Kalman濾波解，該估計(jì)要求觀測(cè)信息可靠。

情形4：若αk＝0，則有

式 （14）為僅利用tk歷元觀測(cè)信息的抗差估計(jì)解［28－29，31］。

情形5：若αk＝1，則有

式 （15）為 M－LS濾波解［23］。

情形6：若觀測(cè)向量Lk和狀態(tài)預(yù)測(cè)向量的協(xié)方差矩陣由Sage開窗法獲得［1］，分別表示為和，即

則自適應(yīng)抗差濾波變成了Sage自適應(yīng)濾波。

自適應(yīng)抗差濾波與各種派生濾波之間的關(guān)系由圖1表示。

圖1 自適應(yīng)抗差濾波

4 三種誤差判別統(tǒng)計(jì)量

4.1 狀態(tài)不符值統(tǒng)計(jì)量

假設(shè)在tk歷元觀測(cè)向量Lk，則由觀測(cè)信息可以獲得狀態(tài)參數(shù)的估計(jì)

則模型誤差的判別統(tǒng)計(jì)量可構(gòu)造成

式中，“tr”表示矩陣的跡。

簡(jiǎn)單分析：（1）計(jì)算歷元的觀測(cè)數(shù)量要大于待估狀態(tài)參數(shù)的數(shù)量，否則不可能計(jì)算出Δ；（2）由觀測(cè)量估計(jì)的狀態(tài)參數(shù)向量應(yīng)盡可能精確，否則統(tǒng)計(jì)量Δ不能反映動(dòng)力學(xué)模型的誤差；（3）統(tǒng)計(jì)量Δ僅反映模型的整體誤差，任何狀態(tài)分量的擾動(dòng)都將視為整體模型存在擾動(dòng)。

4.2 預(yù)測(cè)殘差統(tǒng)計(jì)量

若觀測(cè)向量Lk可靠，預(yù)測(cè)殘差向量將反映預(yù)測(cè)狀態(tài)向量的誤差，如此，可構(gòu)造如下誤差判別統(tǒng)計(jì)量［7-8］

4.3 方差分量比統(tǒng)計(jì)量

如果將Lk和看成tk時(shí)刻的兩組觀測(cè)向量，則它們的方差分量應(yīng)能反映其相應(yīng)的觀測(cè)精度和模型精度，于是可用方差分量比構(gòu)造誤差判別統(tǒng)計(jì)量，Lk和的Helmert方差分量估計(jì)公式為［35－36］

式中，和分別為L(zhǎng)k和的方差分量，rk和分別為L(zhǎng)k和的多余觀測(cè)分量，Vk和分別為L(zhǎng)k和的殘差向量，

由方差分量比表示的模型誤差統(tǒng)計(jì)量為

簡(jiǎn)單分析： （1）Sk的計(jì)算需要有多余觀測(cè)分量，否則該統(tǒng)計(jì)量不能有效地反映模型誤差；（2）Vk和相應(yīng)于相同的狀態(tài)估計(jì)向量；（3）如果采用迭代計(jì)算，則Sk的計(jì)算量稍大于Δ和Δ的計(jì)算量。

4.4 速度不符值統(tǒng)計(jì)量

則模型誤差判別統(tǒng)計(jì)量可表示成預(yù)測(cè)速度與估計(jì)速度的不符值的函數(shù)，

式中，為由動(dòng)力學(xué)模型預(yù)測(cè)的速度向量，Σ˙Xk為相應(yīng)的協(xié)方差矩陣。

簡(jiǎn)單分析：（1）如果Δ顯著異常，則表明預(yù)測(cè)速度存在異常，或動(dòng)力學(xué)模型存在較大誤差；（2）Δ的計(jì)算也要求有多余觀測(cè)信息，否則無法獲得。

5 4種自適應(yīng)因子

5.1 三段函數(shù)表示的自適應(yīng)因子

三段函數(shù)模型由3部分組成，即當(dāng)模型誤差統(tǒng)計(jì)量小于一個(gè)特定閾值時(shí)，αk等于1；當(dāng)模型誤差大于特定的閾值時(shí)，αk等于0；否則，αk大于0，小于1。函數(shù)形式為［5］

其中，c0和c1分別為兩個(gè)特定的常量，通常取值為c0＝1.0～1.5，c1＝3.0～4.5。

5.2 兩段函數(shù)表示的自適應(yīng)因子

式中，c為常量，其最優(yōu)值為1.0［8］。

5.3 指數(shù)函數(shù)表示的自適應(yīng)因子

指數(shù)函數(shù)表示的自適應(yīng)因子為［37］

式中，c為常量，與式 （31）類似。

5.4 選權(quán)法表示的自適應(yīng)因子

如果狀態(tài)參數(shù)向量服從正態(tài)分布，則自適應(yīng)因子為1，否則為0［13，38］

6 應(yīng)用研究進(jìn)展

在應(yīng)用方面，自適應(yīng)抗差濾波已成功應(yīng)用于衛(wèi)星軌道測(cè)定［39］，大地網(wǎng)重復(fù)觀測(cè)的數(shù)據(jù)處理［40］等；并研究了附有函數(shù)模型約束的自適應(yīng)濾波導(dǎo)航算法［41］；在組合導(dǎo)航方面，發(fā)展了IMU/GPS組合導(dǎo)航自適應(yīng)Kalman濾波算法［42］和GPS/INS組合導(dǎo)航兩步自適應(yīng)抗差Kalman濾波算法［43］；為了同時(shí)控制有色噪聲與動(dòng)力學(xué)模型誤差的影響，研究了多種有色噪聲自適應(yīng)濾波算法［44］；在導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差擬合與預(yù)報(bào)研究中，提出了鐘差估計(jì)的開窗分類因子抗差自適應(yīng)序貫平差法［45］和衛(wèi)星鐘誤差實(shí)時(shí)估計(jì)的多因子抗差自適應(yīng)濾波方法［46］；將自適應(yīng)濾波用于物理模型與幾何觀測(cè)信息組估計(jì)地殼形變參數(shù)也取得進(jìn)展［47］。

在實(shí)際工程中，自適應(yīng)濾波理論和軟件已經(jīng)成功應(yīng)用于我國(guó)GPS道路修測(cè)工程。這里僅給出兩個(gè)典型截圖，圖2中給出了三種道路修測(cè)結(jié)果，即，差分GPS定位、接收機(jī)輸出定位和自適應(yīng)抗差濾波定位。三種結(jié)果繪于同一張1/50 000的航空影像圖上 （見圖2 （a）和圖2 （b））。

圖2 自適應(yīng)抗差濾波定位、接收機(jī)輸出定位及差分GPS定位的軌跡

圖2（a）和圖2（b）清楚地顯示，接收機(jī)導(dǎo)航結(jié)果和差分導(dǎo)航結(jié)果均含有明顯的系統(tǒng)誤差；如果差分觀測(cè)量的個(gè)數(shù)少于狀態(tài)參數(shù)的個(gè)數(shù)，則差分GPS將給不出導(dǎo)航結(jié)果，或給出錯(cuò)誤的結(jié)果；但是自適應(yīng)抗差濾波總能給出較合理的導(dǎo)航結(jié)果。

7 結(jié)論

業(yè)已證明，包容了觀測(cè)歷元平差、標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波、抗差濾波和自適應(yīng)濾波的新的自適應(yīng)抗差濾波不僅能控制觀測(cè)異常誤差的影響，而且具有較強(qiáng)的控制動(dòng)力學(xué)模型誤差影響的能力。于是它是一種有效、可靠且靈活的導(dǎo)航定位方法。建立的四種誤差判別統(tǒng)計(jì)量均能可靠地判別模型誤差，四種自適應(yīng)因子均能較合理地調(diào)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型信息和觀測(cè)信息對(duì)導(dǎo)航狀態(tài)參數(shù)的貢獻(xiàn)。

中國(guó)學(xué)者除不斷完善新建立的自適應(yīng)抗差濾波理論體系外，還對(duì)現(xiàn)有自適應(yīng)濾波存在的問題進(jìn)行了分析［5，48］；研究了自適應(yīng)抗差濾波的性質(zhì)［49］；建立了分類因子自適應(yīng)濾波［10］和多因子自適應(yīng)濾波理論［15］；推導(dǎo)了最優(yōu)自適應(yīng)因子模型［8］。

在應(yīng)用方面，自適應(yīng)濾波已被成功地應(yīng)用于GPS道路修測(cè)與更新工程［50］，大地網(wǎng)的自適應(yīng)序貫平差［40］，以及衛(wèi)星軌道測(cè)定研究［39］等 。

自適應(yīng)抗差濾波還可應(yīng)用于其他動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域，如地殼形變分析，其中自適應(yīng)因子可用來調(diào)節(jié)動(dòng)力學(xué)形變模型信息的影響，抗差等價(jià)權(quán)矩陣可用來控制動(dòng)態(tài)觀測(cè) （如GPS）異常誤差對(duì)形變參數(shù)估計(jì)的影響。

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