☉江蘇省海安縣立發(fā)中學 張華琴

一、問題及解法

在復習“集合與常用邏輯用語”之后，我讓學生課下做高三一輪復習資料上的一道題：

若三條拋物線y=x2+4ax-4a+3，y=x2+（a-1）x+a2，y=x2+2ax-2a中至少有一條與x軸有交點，求a的取值范圍.

第二天上課時，發(fā)現(xiàn)學生的解法大都如下：

解：若這三條拋物線與x軸沒有交點，

“正難則反”是指直接解答時較為復雜，間接求解反而簡單，常用于“至多”、“至少”這種情況.該解法正是使用了“正難則反”的解題策略.但這種無一例外的現(xiàn)象引起了筆者的興趣，師問：“你們是怎么想到的？”有的回答：“以前做過類似題目，老師是這樣講解的”，有的回答：“資料上的解答是這樣的”.翻開資料上的解答，發(fā)現(xiàn)與上面的解答確實是一樣的.（課后筆者翻看了各種教輔資料，不少資料上都有這道題或類似題目，解法也都是千篇一律.課后通過對部分教師的訪問，發(fā)現(xiàn)他們也都是反面求解的，并且說直接求解很復雜.）

師接著問學生：“能否直接求解呢？”

二、直接求解，一波三折

幾分鐘后，有學生思考如下：

由于三條拋物線中至少有一條與x軸有交點，分類如下：①恰有一條與x軸有交點，另兩條與x軸沒有交點；②恰有兩條與x軸有交點，第三條與x軸沒有交點；③三條與x軸都有交點.

這種分類求解方法看似合理，其實不然.除③以外，①、②中仍需要分幾種情形，求解過程極其繁雜.不少學生做到這一步后“望題興嘆”，不得不放棄；也有的“明知山有虎，偏向虎山行”，花費大量時間，最后還是無果而終.

該結(jié)果與前面解法結(jié)果確實完全一樣，同學們議論紛紛，有的露出驚訝的表情，有的將信將疑，有的認為解法有問題，只是碰巧做對了，但又說不出問題出在哪里.

師：你是怎么想到這樣解的，這樣解的依據(jù)是什么？

生：我是計算后發(fā)現(xiàn)三個集合A、B、C的并集等于正確答案，但不知道這樣做方法是否有依據(jù).

師：這種解法是巧合還是必然？學生不置可否.

通過學生的反應(yīng)可以發(fā)現(xiàn)，他們對集合的并集運算很熟練，但對邏輯聯(lián)接詞“或”的涵義理解還不透徹，看起來對邏輯聯(lián)接詞“或”是懂了，但不會靈活運用該知識解決問題.有鑒于此，為了正本清源，下面師生共同探究相關(guān)知識.

三、追根溯源

邏輯聯(lián)接詞“或”與集合的“并”的關(guān)系：

邏輯聯(lián)接詞“或”有如下規(guī)定：當p，q兩個命題有一個是真命題時，“p或q”是真命題，即“p或q是真命題”是指p，q至少有一個是真命題.

集合的“并”有如下規(guī)定：若x∈P或x∈Q，則x∈P∪Q，即“x∈P∪Q”是指“x∈P”，“x∈Q”至少有一個是成立的.

若把命題p，q分別對應(yīng)于集合P，Q，“或”對應(yīng)于“并”，那么關(guān)于“或”與“并”的規(guī)定就具有形式上的一致性了.具體的說，若“p是真命題”對應(yīng)于“x∈P”，“q是真命題”對應(yīng)于“x∈Q”，則“p∪q是真命題”對應(yīng)于“x∈P∪Q”.

三個命題p，q，r與三個集合P，Q，R之間有同樣的對應(yīng)關(guān)系，具體的說，若“p是真命題”對應(yīng)于“x∈P”，“q是真命題”對應(yīng)于“x∈Q”，“r是真命題”對應(yīng)于“x∈R”，則“p∪q∪r是真命題”對應(yīng)于“x∈P∪Q∪R”.

再回頭看這道題，記命題p：拋物線y=x2+4ax-4a+3與x軸有交點，q：拋物線與y=x2+（a-1）x+a2x軸有交點，r：拋物線y=x2+2ax-2a與x軸有交點.

至此，大家終于真的懂了，原來那位同學的解法是有依據(jù)的，不是巧合，是必然.

四、學以致用

為了鞏固剛才所學知識，會解決類似問題，讓同學們做以下高考題：

1.（2009年浙江文21）已知函數(shù)f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b（a，b∈R）.

（1）略；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上不單調(diào)，求a的取值范圍.

解：（1）略；

2.（2010年全國Ⅱ文21）已知函數(shù)f（x）=x3-3ax2+3x+1.（1）設(shè)a=2，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個極值點，求a的取值范圍.

解：（1）略；

以上兩題雖可間接求解，如題1可先求“若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)，求a的取值范圍”，題2可先求“若函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，3）中沒有極值點，求a的取值范圍”，但這里還需要分單調(diào)遞增和單調(diào)遞減兩種情形，再求補集，增加了“解題長度”（羅增儒教授語）.

作為教師，只有深入鉆研教材，認真思考，才能對教材透徹理解，教學時才能駕輕就熟，舉重若輕.這樣，學生不光會死記硬背定義、定理，也會靈活解決碰到的具體問題，達到“既懂且會”的水平.

1.羅增儒.數(shù)學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2006.