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高觀點下使問題的本質(zhì)更清晰地顯現(xiàn)

2013-07-25 09:30:52河南省許昌市普通教育教學研究室
中學數(shù)學雜志 2013年15期
關(guān)鍵詞:王老師本質(zhì)結(jié)論

☉河南省許昌市普通教育教學研究室 張 蘊

著名數(shù)學家波利亞說過:當你找到第一個蘑菇或做出第一個發(fā)現(xiàn)后,再四處看看,它們總是成群生長的.通過探究得到了上述不等式的第二個證明:

所以f(x)在0<x<1上是凹函數(shù).

于是,由凹函數(shù)的性質(zhì)知,

評注:上面利用高等的方法“輕而易舉”地證明了所要證的不等式,所謂的初等方法和高等方法都是相對的,簡單的、可操性比較強的方法才是本質(zhì)的,利用上述方法可以很容易證明[2]中王老師提出的推廣.

在證明推廣的結(jié)論之前,筆者先指出文[2]中一處證明的錯誤:

最后,作者得到上述推廣不等式的證明.

下面給出正確的證明過程:

顯然最后一個不等式成立,故猜想成立.也就是說,從筆者得到的結(jié)論可以得到王老師的結(jié)論,而且從上面證明猜想的過程可以看出:只有當n=3時,王老師的結(jié)論才可以取到等號.

評注:文[1]、[2]的初等方法不能對推廣的結(jié)論加以證明,而利用“以直代曲”的思想方法和凹函數(shù)的性質(zhì)可以將上述推廣的結(jié)論“輕而易舉”地“拿下”,可見其“威力”所在.所以,“合適的才是最好的”,沒有最好的方法只有更好的方法.對上面修正的不等式也可以通過“以直代曲”的思想方法加以證明,參考上面的證法1,筆者在此不再敘述,留給有興趣的讀者探究.

故x+y+z≥1;

反之,當x,y,z∈R+,且x+y+z=1,

通過上面的探究可以得到如下對偶命題:

(1)若x,y,z均為小于1的正數(shù),則

(2)若x,y,z∈R+,且x+y+z=1,則

評注:上面通過凹函數(shù)的性質(zhì)(當然也可以利用“以直代曲”的思想方法加以解決),輕而易舉地證明了對偶命題,可見利用“先進”的方法可以更加清楚地看出問題的本質(zhì),也可以說上面筆者所使用的方法是證明此類不等式的一種通法.

結(jié)束語:

解決有關(guān)不等式問題往往比較困難,困難的原因是不等式的證明方法靈活多變,沒有固定的套路.這正是不等式問題的“迷人和美妙”所在,使研究不等式問題的人樂此不疲.

上面筆者利用“以直代曲”的思想方法和凹函數(shù)的性質(zhì)對相關(guān)的不等式做了證明,取得了很好的證明效果,使得問題的本質(zhì)更加“看得”清楚,也算是用高等的方法指導(dǎo)初等數(shù)學的一種嘗試.這種探究正印證了著名數(shù)學家波利亞的一句話:沒有任何一個題目是徹底完成了的,總還會有些事情可以做;在經(jīng)過充分的研究和觀察以后,我們可以將任何解題方法加以改進;而且無論如何,我們總可以深化我們對答案的理解.

1.李歆.也談一個不等式的簡單初等證明[J].數(shù)學通訊(下半月),2010(9).

2.王淼生.“簡潔”“自然”來探究三人同行求解惑——對數(shù)學問題2090的膚淺探究[J].中學數(shù)學(上),2013(5).

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