陳迪紅，王清濤

（湖南大學(xué) 金融與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 長沙 410079）＊

一、引 言

目前，隨著金融服務(wù)業(yè)競爭的加劇，金融保險集團對其資本管理的要求越來越高。對于保險公司而言，既要滿足法律法規(guī)設(shè)定的最低償付能力，又要滿足股東對利潤的訴求。資本管理的新趨勢是經(jīng)濟資本。經(jīng)濟資本最初于2004年由巴塞爾委員會提出，但至今仍然沒有一個統(tǒng)一的定義。本文使用巴塞爾委員會的定義，即：經(jīng)濟資本是指在一定時間長度下、一定置信度下，能夠緩沖企業(yè)的非預(yù)期損失所需要的資本。經(jīng)濟資本方法可以在同一框架下考慮保險公司所有的風(fēng)險，而且能夠很好地滿足保險公司同時對償付能力與盈利能力的追求，故而在國際范圍內(nèi)逐漸被保險業(yè)認可。如何合理地計量經(jīng)濟資本是使用經(jīng)濟資本框架的關(guān)鍵。

經(jīng)濟資本的度量主要有兩個方面的問題：一是損失分布的獲取，二是風(fēng)險的度量方法。保險公司的業(yè)務(wù)結(jié)構(gòu)一般都比較復(fù)雜，若想獲得損失分布，就要先考慮業(yè)務(wù)結(jié)構(gòu)的相關(guān)性。Copula方法的出現(xiàn)在一定程度上解決了相關(guān)性的問題。Bagarry Marc（2007）使用了Gauss Copula和多元 T－Copula度量了財產(chǎn)保險公司的經(jīng)濟資本［1］。Andrew Tang et al（2009）檢驗了不同橢圓族Copula相依結(jié)構(gòu)下的資本要求和資本分散效應(yīng)［2］。國內(nèi)的占夢雅（2010）考慮了橢圓族Copula相依結(jié)構(gòu)下經(jīng)濟資本的測算［3］。這幾篇文獻僅僅考慮了橢圓族Copula，但是，高維橢圓族有很大的局限性。

風(fēng)險度量方面，國內(nèi)外文獻中提及的方法主要是 VaR、TVaR 和 TCE 等風(fēng)險 度量方 法［1－3］。但VaR不能體現(xiàn)超過分位點的損失，而且其只對橢圓族分布才滿足次可加性。TVaR與TCE這兩種風(fēng)險度量方法對采取使結(jié)果小于分位點的行動沒有激勵，而且也沒有對極低頻率、極大損失進行調(diào)整。Dhaene，J et al（2004）總結(jié)了前人的工作，指出凹扭曲風(fēng)險度量可以在一定程度上解決上述問題［4］。凹扭曲風(fēng)險度量的核心是其對應(yīng)的凹扭曲函數(shù)，通過靈活地構(gòu)造凹扭曲函數(shù)，可以獲得不同的凹扭曲風(fēng)險度量方法。比較著名的一些凹扭曲風(fēng)險度量方法有PH扭曲風(fēng)險度量方法、Wang變換、Lookback扭曲風(fēng)險度量方法等［5－7］。整合文獻，發(fā)現(xiàn)國內(nèi)學(xué)者暫時沒有采用凹扭曲風(fēng)險度量來測度經(jīng)濟資本。

承保風(fēng)險是保險公司面臨的主要風(fēng)險之一。如何合理地度量業(yè)務(wù)線之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)對于保險公司十分關(guān)鍵。本文將通過運用高維Copula理論獲得我國財險公司的賠付率分布，并比較高維橢圓族與高維阿基米德族Copula相關(guān)結(jié)構(gòu)對結(jié)果的影響，然后，在一定置信度下通過凹扭曲風(fēng)險度量獲得風(fēng)險調(diào)整后的賠付率，最后，結(jié)合公司的保費收入估計出財險公司承保業(yè)務(wù)線應(yīng)持有的經(jīng)濟資本。

二、Copula理論與經(jīng)濟資本度量模型

（一）Copula理論

Sklar在1959年發(fā)表的Sklar定理在Copula理論研究中具有重要的地位。利用Sklar定理，風(fēng)險管理者可以自由地把任意N個一元邊際分布構(gòu)成一個N元的聯(lián)合概率分布函數(shù)。Copula函數(shù)刻畫的是隨機變量之間的相依結(jié)構(gòu)。選擇的Copula不同，聯(lián)合分布就不同。具體的Copula的種類及其相關(guān)性質(zhì)可以參考 Cherubini（2004）［8］。

（二）經(jīng)濟資本度量模型

經(jīng)濟資本度量模型主要包括兩個方面的內(nèi)容：其一是損失分布的獲取，其二是風(fēng)險的度量（非預(yù)期損失的度量）。

1.損失分布的獲取。由于保險公司的賠付率分布往往比賠款分布更加穩(wěn)定，這里先求出一定置信度下的賠付率，然后再乘以當(dāng)年的保費收入，即可得出保險公司應(yīng)持有的經(jīng)濟資本。

賠付率分布獲取的具體步驟如下：

（1）參數(shù)估計。此步驟包括各業(yè)務(wù)線賠付率邊緣分布的參數(shù)估計和待選族Copula的參數(shù)估計。邊緣分布的參數(shù)估計使用極大似然估計方法。對于待選族Copula的參數(shù)估計，IFM方法和CML方法比精確極大似然估計方法要高效［8］，而且參數(shù)分布比經(jīng)驗分布更加靈活，故本文采用IFM方法。

（2）Copula的選取方法。一般的擬合優(yōu)度檢驗，如 Kolmogorov－Smirnov檢驗和 Anderson－Darling檢驗，對于普遍意義上的多維分布比較困難。本文采取Aas（2004）的方法，選取與經(jīng)驗Copula全空間下歐氏距離最小的Copula［9］。

（3）隨機模擬及最終賠付率分布的獲取。依據(jù)步驟（2）選出的Copula，模擬一定數(shù)量的樣本，再對各業(yè)務(wù)線的模擬樣本進行加權(quán)，權(quán)重為各業(yè)務(wù)線保費收入與總保費收入的比值（證明如下），然后可以得到最終的分布。

2.非預(yù)期損失的度量。本文采取凹扭曲風(fēng)險度量方法度量非預(yù)期損失。扭曲風(fēng)險度量［10］的具體定義如下：設(shè)Y是一表示損失的非負隨機變量，g（·）是定義在區(qū)間［0，1］上，并且g（0）＝0，g（1）＝1的單調(diào)非減函數(shù)，ρg［Y］＝g（S（y））dy被稱為Y的扭曲風(fēng)險度量，其中g(shù)（·）為扭曲函數(shù)。當(dāng)g（·）為凹函數(shù)時，ρg［Y］為凹扭曲風(fēng)險度量。比較著名的凹扭曲風(fēng)險函數(shù)如下：

（1）TVaR扭曲函數(shù)：

（2）Proportional Hazard（PH）扭曲函數(shù)：

（3）Lookback（LB）扭曲函數(shù)：

（4）Wang扭曲函數(shù)：

其中：

由扭曲函數(shù)g（·）非減且g（0）＝0，g（1）＝1可知：p＊i≥0，i＝1，…，n且＝1。

扭曲風(fēng)險度量方法下，非預(yù)期損失（經(jīng)濟資本）為：

三、算例分析

（一）數(shù)據(jù)的來源及邊緣分布的擬合

經(jīng)濟資本度量的周期一般都為1年。本文假設(shè)月度賠付率與年度賠付率的分布相同，這樣就可以通過收集月度數(shù)據(jù)以解決樣本數(shù)量不足的問題。

以某財險公司2007年1月～2012年6月全國范圍的業(yè)務(wù)線月度數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，測度該公司機動車輛保險、企業(yè)財產(chǎn)保險、責(zé)任保險三種險種所需要的總經(jīng)濟資本。剔除異常數(shù)值之后，共64個樣本。其中三條業(yè)務(wù)線的賠付率基本統(tǒng)計特征見表1。

根據(jù)以上各險種賠付率分布的特點進行擬合優(yōu)度檢驗，最后決定使用以下分布擬合各險種賠付率（見表2）。

表1 各業(yè)務(wù)線賠付率的基本統(tǒng)計特征

表2 各險種邊緣分布的擬合結(jié)果

GEV分布為廣義極值分布，Lognormal為對數(shù)正態(tài)分布。GEV分布的分布函數(shù)為：

（二）Copula函數(shù)參數(shù)的估計及選取

由于尾部相關(guān)性的大小在很大程度上影響著最終的損失，故只考慮能夠較好反映上尾相關(guān)性的標準Gumbel阿基米德Copula和橢圓族Copula，并從中選取擬合效果最好的Copula來度量業(yè)務(wù)線之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)。

采用邊際推斷函數(shù)法（IFM方法）來估計各Copula的參數(shù)，結(jié)果見表3、表4。

表3 Gauss Copula的相關(guān)矩陣

表4 多元T－Copula相關(guān)矩陣及自由度

標準Gumbel Copula參數(shù)估計：

依據(jù)Aas（2004）文中Copula選取的方法，各Copula與經(jīng)驗Copula的距離見表5。

表5 各Copula與經(jīng)驗Copula的距離

距離最小的是 Gauss Copula函數(shù)，故采用Copula來模擬三條業(yè)務(wù)線之間的相關(guān)性。但是從表5中距離可以看出，T－Copula與Gauss Copula的差距很小，標準Gumbel Copula與這兩個的距離差距較大，故下面將以T－Copula的相依結(jié)構(gòu)作對比分析。

（三）Copula的隨機模擬及賠付率分布的獲得

這三種險種的各自保費收入與總保費收入的比例各自的賠款與該公司總賠款的比例如表6。

表6 保費收入與賠款支出的占比 （%）

對各業(yè)務(wù)線的賠付率進行加權(quán)平均，可以得到最終的賠付率，其中，權(quán)重為各業(yè)務(wù)線保費收入與總保費收入的比。

對于三條業(yè)務(wù)線而言，權(quán)重為各業(yè)務(wù)線標準化之后的比例，其值見表7。

表7 各業(yè)務(wù)線的權(quán)重 （%）

Gauss Copula模型下，使用 Cherubini（2004）P181中的方法模擬1萬次。然后將模擬的數(shù)據(jù)進行加權(quán)，權(quán)重為各業(yè)務(wù)線的保費收入與總保費收入占比標準化之后的數(shù)值。在此給出T－Copula模擬結(jié)果做對比，賠付率的直方圖分別見圖1和圖2。

圖1 Gauss Copula下模擬的賠付率直方圖

圖2 T－Copula下模擬的賠付率直方圖

（四）經(jīng)濟資本的計量

本文采用凹扭曲風(fēng)險度量方法決定經(jīng)濟資本。當(dāng)采用PH風(fēng)險度量和LB風(fēng)險度量決定資本時，風(fēng)險的置信水平與其參數(shù)沒有必然、直接的關(guān)系，所以，本文只給出TVaR與Wang變換風(fēng)險度量下的經(jīng)濟資本。關(guān)于置信度，取一些具有代表性的置信度，并在各置信度下，計算賠付率的數(shù)值，得出非預(yù)期賠付率。再用非預(yù)期賠付率的數(shù)值，乘以該公司當(dāng)年的保費收入，即可估算出為這三條業(yè)務(wù)線應(yīng)持有的經(jīng)濟資本。

由于保費收入的變化比較大，而賠付率往往相對比較穩(wěn)定，故在此只給出賠付率的具體數(shù)值。本文最終選取的Copula為Gauss Copula，在此相依結(jié)構(gòu)下VaR與各凹扭曲風(fēng)險度量的結(jié)果如表8所示。同時給出T－Copula相依結(jié)構(gòu)下VaR與各凹扭曲風(fēng)險度量的結(jié)果作對比，結(jié)果如表9所示。

表8 Gauss Copula下的VaR與凹扭曲風(fēng)險度量的結(jié)果

表9 T－Copula下的VaR與凹扭曲風(fēng)險度量的結(jié)果

（五）解釋

從表8可以看出，Wang風(fēng)險度量決定的經(jīng)濟資本在VaR方法與TVaR方法之間。Wang風(fēng)險測度能夠根據(jù)風(fēng)險的水平，靈活地調(diào)整所需的經(jīng)濟資本。Wang風(fēng)險度量可以對尾部的極低頻率、極大損失進行調(diào)整。從圖1可以看到，模擬分布的右端有一部分極低頻率、相對極大的損失數(shù)值。對于保險公司來說，Wang風(fēng)險度量在某種程度考慮了巨災(zāi)風(fēng)險，并考慮了投保人的自我防損，相比VaR、TVaR而言更加合理。

在經(jīng)濟資本的測算中，可以注意到，表9中低置信度下的TVaRα數(shù)值要比表8的小，高置信度下的數(shù)值要比表8的大，由此，T－Copula比Gauss Copula厚尾的性質(zhì)也得到了驗證。

四、結(jié) 論

以上使用多元Copula相依結(jié)構(gòu)模擬業(yè)務(wù)線之間的相依結(jié)構(gòu)，并采用了凹扭曲風(fēng)險度量方法測度了我國某公司承保業(yè)務(wù)線的經(jīng)濟資本。結(jié)論如下：

（1）多元正態(tài)Copula適合模擬該公司業(yè)務(wù)線的相關(guān)結(jié)構(gòu)。

（2）凹扭曲風(fēng)險度量中的 Wang風(fēng)險度量能夠靈活地依據(jù)風(fēng)險的水平對所需的資本進行調(diào)整，Wang風(fēng)險度量的數(shù)值始終介于VaR與TVaR之間，當(dāng)風(fēng)險逐漸變大時，Wang風(fēng)險度量與VaR之間的距離在增大，與TVaR的距離呈現(xiàn)縮小的趨勢。

Wang風(fēng)險度量可以對尾部極低頻率、極大損失進行調(diào)整，可以根據(jù)風(fēng)險整體水平靈活地調(diào)整公司所需持有的經(jīng)濟資本。此方法下的經(jīng)濟資本可理解為經(jīng)過風(fēng)險調(diào)整后的平均損失與未經(jīng)風(fēng)險調(diào)整的平均損失的差額，比VaR與TVaR方法下的數(shù)值更加合理。下一步，我們將研究如何度量更多條業(yè)務(wù)線的經(jīng)濟資本。

［1］Bagary Marc.Economic capital：aplea for student copula［J］.Meeting paper for the 28th International Congress of Actuaries.2007.

［2］Andrew Tang and Emiliano A.Valdez.Economic capital and the aggregation of risks using copulas［J］.Meeting paper for the 28th International Congress of Actuaries.2009.

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