董勁男1，邢千里1，班孝林2

（1.吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130012；2.深圳機(jī)場(chǎng)擴(kuò)建工程指揮部，廣東深圳 518000）

1 多項(xiàng)式預(yù)測(cè)濾波技術(shù)

1.1 理論依據(jù)及應(yīng)用條件

信號(hào)預(yù)測(cè)技術(shù)一般可分為兩類：隨機(jī)信號(hào)預(yù)測(cè)方法和確定性信號(hào)預(yù)測(cè)方法。一般的噪聲都是隨機(jī)信號(hào)，它無(wú)法用數(shù)學(xué)關(guān)系式表達(dá)，只能用概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法描述。目前常用的處理方法是采用一些相當(dāng)成熟的線性預(yù)測(cè)方法，如牛頓型預(yù)測(cè)器。對(duì)于確定性信號(hào)預(yù)測(cè)也可以應(yīng)用牛頓型預(yù)測(cè)器、FIR預(yù)測(cè)器、IIR預(yù)測(cè)器、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)器[1]和模糊系統(tǒng)預(yù)測(cè)器[2]等。

多項(xiàng)式預(yù)測(cè)濾波技術(shù)可以應(yīng)用在平滑的實(shí)際信號(hào)采樣處理過程中。將平滑信號(hào)建模為多項(xiàng)式信號(hào)模型并作為多項(xiàng)式預(yù)測(cè)濾波器的處理對(duì)象，是基于兩點(diǎn)原因：首先，假定采樣速率足夠大，所有客觀存在的信號(hào)會(huì)表現(xiàn)出類似分段多項(xiàng)式的特征；其次，基于多項(xiàng)式的信號(hào)處理計(jì)算效率高[3]。從定義上看，多項(xiàng)式預(yù)測(cè)濾波器能夠估計(jì)類似多項(xiàng)式形式的信號(hào)的未來值。因此，對(duì)多項(xiàng)式預(yù)測(cè)濾波器的研究，其潛在應(yīng)用涵蓋了處理大量敏感度量的操作延遲和網(wǎng)絡(luò)傳輸延遲，如：溫度、位置、電壓和功率等，尤其是在智能控制工程領(lǐng)域應(yīng)用前景廣泛。

1.2 無(wú)限脈沖響應(yīng)（IIR）多項(xiàng)式預(yù)測(cè)器

通常來說，基于N個(gè)過去時(shí)刻的信號(hào)采樣和M個(gè)過去預(yù)測(cè)器輸出的向后p時(shí)步的IIR多項(xiàng)式預(yù)測(cè)器表達(dá)式如下[3]：

其中n為離散時(shí)間，B（k）和A（M）分別是IIR預(yù)測(cè)器的前向反饋和后向反饋的系數(shù)，y（n）是預(yù)測(cè)器輸入信號(hào)，上標(biāo)表示為估計(jì)值。其白噪聲增益表示為：

其中H（ejω）=B（ejω）/[1+A（ejω）]為轉(zhuǎn)換函數(shù)。需要指出的是，當(dāng)舍去后向反饋部分，保留前向反饋部分，IIR預(yù)測(cè)濾波器就變換為我們下面將要介紹的FIR多項(xiàng)式預(yù)測(cè)濾波器。

1.3 有限脈沖響應(yīng)（FIR）多項(xiàng)式預(yù)測(cè)器

有限脈沖響應(yīng)是指單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為有限多項(xiàng)式，且輸出只和前些時(shí)刻的輸入有關(guān)系。有限脈沖響應(yīng)（FIR）多項(xiàng)式預(yù)測(cè)器利用最近N（N為預(yù)測(cè)濾波器長(zhǎng)度）個(gè)輸入信號(hào)采樣值外推未來時(shí)刻信號(hào)值。預(yù)測(cè)器的最小長(zhǎng)度為M+1，當(dāng)時(shí)N＞M+1，多余的自由次可以被用來最小化白噪聲。其表達(dá)式為：

其白噪增益表示為：

利用多項(xiàng)式信號(hào)模型和公式(3)，并在公式(4)取最小值的約束下，利用拉格朗日乘子得到響應(yīng)函數(shù)h(k)的推導(dǎo)公式：

當(dāng)M＝1，p=1時(shí)

由推導(dǎo)公式(5)可以看出，濾波器的系數(shù)不依賴于輸入信號(hào)，而是由N、M和p值決定的。同樣的方法也可以用來構(gòu)造FIR多項(xiàng)式微分器和正弦預(yù)測(cè)器，推導(dǎo)公式與多項(xiàng)式預(yù)測(cè)器類似。

FIR多項(xiàng)式濾波器可以看作是一個(gè)數(shù)據(jù)平滑濾波器的擴(kuò)展[4]，使用低次多項(xiàng)式模型的FIR預(yù)測(cè)濾波器頻率范圍很窄，導(dǎo)致大多數(shù)的能量都集中在0頻率附近。其缺點(diǎn)是旁帶增益大，會(huì)干擾閉環(huán)控制；并且當(dāng)濾波器長(zhǎng)度很小的情況下，其止帶增益非常大。為了緩解這種缺點(diǎn)帶來的影響，可以使用面向特定應(yīng)用設(shè)計(jì)的IIR低通濾波器。具體方法參見第三部分的相關(guān)論述。在實(shí)際應(yīng)用中，多項(xiàng)式的次數(shù)I=0,1,2對(duì)于大多是信號(hào)的建模是足夠的，高次的多項(xiàng)式預(yù)測(cè)器通常會(huì)出現(xiàn)高的旁帶峰值增益和白噪聲衰減差的現(xiàn)象，并且設(shè)計(jì)適用于高次多項(xiàng)式的幅度響應(yīng)定形反饋難度很大[5]。

擴(kuò)充型FIR預(yù)測(cè)濾波器[6]的基本思想是：用輸入信號(hào)真實(shí)值和預(yù)測(cè)輸入信號(hào)的加權(quán)和平滑輸入信號(hào)，在預(yù)測(cè)的每一個(gè)時(shí)步內(nèi)都將這種平滑后的信號(hào)值最為預(yù)測(cè)所用的信號(hào)值。優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)預(yù)測(cè)器次數(shù)很小時(shí)仍能保證有效地減少旁帶增益峰值并加強(qiáng)止帶增益的衰減。

1.4 非線性自適應(yīng)預(yù)測(cè)濾波器

當(dāng)背景噪聲是高斯噪聲時(shí)，線性預(yù)測(cè)方法是最佳的。而對(duì)于非高斯噪聲，Vijayan和Poor[7]提出了一種擴(kuò)頻通信抗窄帶干擾抑制的非線性自適應(yīng)預(yù)測(cè)濾波方法，用最小均方算法(LMS)和近似梯度算法更新濾波器的系數(shù)，能較好地預(yù)測(cè)窄帶干擾信號(hào)，從而提高了系統(tǒng)的性能。張家樹等[8]提出了一種非線性Laguerre自適應(yīng)預(yù)測(cè)濾波器來抑制直擴(kuò)頻通信窄帶干擾的方法。使用具有IIR和FIR濾波器特點(diǎn)的Laguerre時(shí)延單元取代非線性橫向?yàn)V波器中的延遲單元z-1，構(gòu)建了一種基于Laguerre橫向結(jié)構(gòu)的非線性自適應(yīng)預(yù)測(cè)濾波器，既可以以較少參數(shù)模擬長(zhǎng)脈沖響應(yīng)，避免過參數(shù)估計(jì)問題，又可以保證收斂的穩(wěn)定性。

2 應(yīng)用

預(yù)測(cè)濾波器在設(shè)備控制領(lǐng)域和無(wú)線通訊領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。尤其是在汽車控制方面，預(yù)測(cè)濾波器能彌補(bǔ)傳統(tǒng)光感脈沖編碼器的精度問題[9-10]，允許設(shè)備在較小的采樣速率下或者采樣可能丟失的環(huán)境下實(shí)現(xiàn)高精度的狀態(tài)檢測(cè)，如速度、加速度和位移等；在無(wú)線通訊領(lǐng)域則體現(xiàn)在對(duì)CDMA閉環(huán)控制的補(bǔ)償方面，通過預(yù)測(cè)可能的發(fā)送功率和接受功率，實(shí)現(xiàn)信道的充分利用，增加潛在的用戶[3]。下面分類介紹多項(xiàng)式預(yù)測(cè)濾波器的應(yīng)用。

2.1 速度測(cè)量

在車輛速度控制的研究中[11]，速度曲線可以近似為二次多項(xiàng)式。在高速的情況下，速度可以被高精度地估計(jì)出來。但在減速過程中，速度采樣間的時(shí)間差分過大，超出了適用的采樣周期，造成較大的預(yù)測(cè)誤差。傳統(tǒng)的傳感器無(wú)法進(jìn)行高精度的采樣，且使用高精度傳感器的成本過高。解決的方法是采用如下的預(yù)測(cè)控制策略：在采樣值可用時(shí)，直接使用該采樣值；當(dāng)最新采樣缺失時(shí)，則使用預(yù)測(cè)器預(yù)測(cè)出來的信號(hào)值。由此，預(yù)測(cè)器能夠極大程度地彌補(bǔ)地精度傳感器造成的控制偏差（圖3）。

圖3 速度采樣預(yù)測(cè)器示意圖

2.2 加速度測(cè)量

加速度在汽車控制中起到了很重要的作用，可以改善穩(wěn)定機(jī)械系統(tǒng)的瞬時(shí)性能[12]和操控的強(qiáng)健性[13]。一般的加速度傳感器過于昂貴，且在噪聲環(huán)境下不穩(wěn)定。利用向后差分器直接從速度信號(hào)求導(dǎo)得到的加速度信號(hào)[14-15]的準(zhǔn)確度無(wú)法達(dá)到應(yīng)用的需要，而采用數(shù)字微分濾波器雖然能夠衰減噪聲，但同時(shí)造成的延時(shí)破壞了系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性[16]。解決的辦法是引入一個(gè)由向后差分器、RLSN預(yù)測(cè)器[11]或預(yù)測(cè)FIR微分器[17]組成的級(jí)聯(lián)。另外一種方法是首先使用遞歸微分器過濾速度信號(hào)，然后利用2個(gè)連續(xù)速度采樣的差分得到加速度[18]。

2.3 控制延遲的補(bǔ)償

計(jì)算處理時(shí)間延遲會(huì)破壞控制系統(tǒng)的性能，尤其是采樣間隔小于時(shí)變計(jì)算延遲的時(shí)候，會(huì)導(dǎo)致采樣的丟失?；谶@個(gè)考量，引入附加的預(yù)測(cè)機(jī)制，使得控制閉環(huán)變得完整和可靠。例如：在文獻(xiàn)[19]中，提出使用一個(gè)近似全通的濾波器預(yù)測(cè)補(bǔ)償計(jì)算延遲；在醫(yī)學(xué)信號(hào)處理和音頻信號(hào)的恢復(fù)中使用均分濾波器和多項(xiàng)式預(yù)測(cè)濾波器[20]。

2.4 無(wú)線移動(dòng)通訊系統(tǒng)中的應(yīng)用

通過減少閉環(huán)發(fā)射器功率控制延遲可以增加移動(dòng)CDMA通訊系統(tǒng)的用戶容量[3,21]。假設(shè)無(wú)線通訊信道在一段時(shí)間是相互關(guān)聯(lián)的，信道衰減變化記錄可以用來預(yù)測(cè)信道的特性。使用預(yù)測(cè)濾波技術(shù)對(duì)可能接收到的功率級(jí)別進(jìn)行估計(jì)，并確定閉環(huán)發(fā)射器功率控制系統(tǒng)的適度微調(diào)選擇時(shí)機(jī)，可極大程度地改善信道的利用率，具體實(shí)現(xiàn)見圖4。

圖4 多項(xiàng)式預(yù)測(cè)濾波器在CDMA通訊系統(tǒng)中的應(yīng)用示意圖

3 多項(xiàng)式預(yù)測(cè)濾波器存在的問題及改進(jìn)方法

基于多項(xiàng)式的預(yù)測(cè)信號(hào)處理是一個(gè)眾所周知的技術(shù)，但自身的缺點(diǎn)嚴(yán)重阻礙了其應(yīng)用的推廣：多項(xiàng)式預(yù)測(cè)濾波器對(duì)白噪聲的衰減效果差，并表現(xiàn)出相當(dāng)可觀的濾波通帶增益峰值。經(jīng)過多年不斷研究和改進(jìn)，多項(xiàng)式預(yù)測(cè)濾波器的應(yīng)用條件已經(jīng)非常成熟，其中以使用面向特定應(yīng)用的低通預(yù)濾波器的方法最為常用。

弱噪聲衰減特性的改善可以通過兩種途徑：一種是引入一個(gè)由兩個(gè)或兩個(gè)以上濾波器（其原理同預(yù)濾波方法）或者多項(xiàng)式估計(jì)器和預(yù)測(cè)器組成的級(jí)聯(lián)來改進(jìn)[22-23]。另一種方法是在多項(xiàng)式濾波器中引入幅度響應(yīng)定形反饋[6,17,24]，將可以改進(jìn)噪聲衰減特性的IIR濾波器擴(kuò)展到FIR預(yù)測(cè)濾波器中，這種擴(kuò)展保持了FIR預(yù)測(cè)濾波器的特性。在設(shè)計(jì)多項(xiàng)式預(yù)測(cè)濾波器時(shí)，定點(diǎn)表示給系數(shù)帶來的影響必須要考慮，因?yàn)橛纱水a(chǎn)生的舍入噪聲[25]往往會(huì)破壞預(yù)測(cè)濾波器的適用條件。引入量化誤差反饋能夠很好地緩解由于算術(shù)計(jì)算量化產(chǎn)生的不良影響[26-27]。采用通用參數(shù)自適應(yīng)機(jī)制[28]對(duì)FIR多項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行適度微調(diào)[29]，擴(kuò)大多項(xiàng)式FIR多項(xiàng)式預(yù)測(cè)器的適用范圍。通用參數(shù)自適應(yīng)機(jī)制是由加到每一個(gè)FIR預(yù)測(cè)濾波器系數(shù)并不斷更新的簡(jiǎn)單參數(shù)實(shí)現(xiàn)的。

4 結(jié)論

多項(xiàng)式預(yù)測(cè)濾波技術(shù)發(fā)展已經(jīng)相當(dāng)成熟，并成功地應(yīng)用到包括電子汽車控制、儀表控制和無(wú)線通訊網(wǎng)絡(luò)等多個(gè)領(lǐng)域中。控制系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)、傳感器網(wǎng)絡(luò)等一些新型的網(wǎng)絡(luò)中傳輸?shù)男畔⒔^大部分是由傳感器測(cè)取的（或是傳到執(zhí)行機(jī)構(gòu)的）實(shí)時(shí)信號(hào)，其時(shí)間特性對(duì)用戶至關(guān)重要。而網(wǎng)絡(luò)環(huán)境的不確定性所造成的傳輸延遲和數(shù)據(jù)丟失等情況極大地制約了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的發(fā)展?；趯?duì)預(yù)測(cè)濾波理論的研究和對(duì)多個(gè)成功應(yīng)用實(shí)例的分析，將這種技術(shù)應(yīng)用到網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和分析中是可行的。

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