李思奇，全厚德 ，崔佩璋,沈雅琴

(1.軍械工程學(xué)院，河北 石家莊050003;2.工業(yè)和信息化部電信研究院，北京100191)

跳頻通信技術(shù)因其抗干擾和抗衰落能力強等一系列優(yōu)點，在戰(zhàn)術(shù)無線通信中得到了廣泛應(yīng)用[1]。跳頻序列作為跳頻通信的重要組成部分，其性能的好壞直接影響著整個跳頻系統(tǒng)的抗干擾能力，特別是抗跟蹤干擾能力。

跳頻序列的性能主要涉及均勻性、隨機性、漢明相關(guān)性、復(fù)雜度和寬間隔特性等[2]。而復(fù)雜度直接決定了跳頻序列的抗破譯性能，進而影響著整個跳頻系統(tǒng)的抗跟蹤干擾性能。

[3]基于跳頻圖案的產(chǎn)生方法，從非線性反饋移位產(chǎn)生偽隨機序列和偽隨機序列到跳頻序列之間的非線性變換分別定義了第1類和第2類非線性變換，最后用兩類非線性變換復(fù)雜度的乘積表征了跳頻序列的綜合復(fù)雜度。該計算方法僅適合于用移位寄存器產(chǎn)生的跳頻序列，在實際應(yīng)用中受到了限制。

已有研究結(jié)果表明，部分跳頻序列具有混沌特性[4-5]。本文基于實際觀測的跳頻序列，分析其混沌特性，提出了一種用關(guān)聯(lián)維數(shù)度量跳頻序列復(fù)雜度的方法。該計算方法適合于所有滿足混沌特性的跳頻序列，對于跳頻系統(tǒng)選擇跳頻序列對抗跟蹤干擾有實際意義。

1 混沌特性的復(fù)雜度計算

參考文獻[6]指出混沌是確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的類似隨機的現(xiàn)象，主要表現(xiàn)為對初始值的敏感性，具有小數(shù)維的奇異吸引子，具有正的李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)，具有短期可預(yù)測性和長期不可預(yù)測性[7]。表1反映了隨機過程、混沌系統(tǒng)、周期系統(tǒng)與定常系統(tǒng)的各種特征量之間的關(guān)系。

表1 各種系統(tǒng)的特征量

如果觀測到的跳頻序列滿足表1中混沌系統(tǒng)的特征量，則表明跳頻序列具有混沌特性。對觀測得到的跳頻序列進行基于混沌特性的復(fù)雜度計算的流程如圖1所示。

圖1 跳頻序列復(fù)雜度計算流程圖

1.1 跳頻序列的相空間重構(gòu)

相空間重構(gòu)是分析跳頻序列混沌特性的基礎(chǔ)，相空間重構(gòu)是從時間序列出發(fā)創(chuàng)建的一個多維狀態(tài)空間，它保持了不動點特征值、吸引子維數(shù)和軌跡的Lyapunov指數(shù)等幾何不變量的不變[8]。

根據(jù)F.Takens的延遲嵌入定理[9]，設(shè)觀測到的跳頻序列為{x1,x2,…,xn}，對該跳頻序列進行延遲采樣，設(shè)延遲時間間隔為τ，則可將跳頻序列延拓為一個m維的相空間：

其中相空間中的每一列向量為：

對跳頻序列進行相空間重構(gòu)需確定延遲時間τ和重構(gòu)維數(shù)m，通常要求m≥2d+1，d為吸引子維數(shù)。計算延遲時間常用的方法有自相關(guān)函數(shù)法和平均互信息法，下面以自相關(guān)函數(shù)法計算延遲時間。

對于延遲時間為τ的跳頻序列,線性自相關(guān)函數(shù)為：

1.2 最大李雅普諾夫（Lyapunov）指數(shù)

最大Lyapunov指數(shù)是判斷跳頻序列是否為混沌系統(tǒng)的重要參數(shù)，如果最大Lyapunov指數(shù)為正，則意味著相鄰軌線按指數(shù)發(fā)散，即系統(tǒng)是混沌的。

由觀測時間序列計算最大Lyapunov指數(shù)的方法主要有WOLF A等提出的軌線法[10]和Rosenstein等提出的小數(shù)據(jù)法[11]等。由于Wolf法需要較大的數(shù)據(jù)長度，計算結(jié)果受各種參數(shù)影響，因此實現(xiàn)較困難。本文采取參考文獻[12]提出的基于Rosenstein改進的小數(shù)據(jù)量Kantz法計算最大Lyapunov指數(shù)。

記重構(gòu)相空間中一對向量為：

則它們之間的歐式距離為‖Xi-Xj‖，記Xi′為相空間n-(m-1)τ個列向量中與Xi最近的點,記 di=‖Xi-Xi′‖。 取一適當(dāng)?shù)臅r間步長或演化時間k，則di經(jīng)過k個離散時間步長后的距離記為di(k)。最大Lyapunov指數(shù)可表示為：

其中 Δt為樣本周期，通常取 1，M=n-(m-1)τ。通常取不同的離散時間步長 k，求出不同的 lndi(k)的平均值＜lndi(k)＞，通過作圖的方法求出最大Lyapunov指數(shù)。

1.3 關(guān)聯(lián)維數(shù)

關(guān)聯(lián)維數(shù)是系統(tǒng)復(fù)雜程度的一種很好的度量，它刻畫了相空間中點的分布。于是可通過計算重構(gòu)相空間的關(guān)聯(lián)維數(shù)來度量跳頻序列的復(fù)雜度。

根據(jù)觀測得到的跳頻序列，可由GRASSBERGER P和 PROCACCIA I給出的 G-P算法直接計算[13-14]。設(shè)在m維的重構(gòu)空間中，W表示除Xi本身外到Xi的距離小于r(r為一個小的正數(shù))的Xj的點數(shù)。

其中 H(·)為 Heavside 函數(shù)，滿足：

則定義重構(gòu)的跳頻序列的關(guān)聯(lián)積分為：

其中 N0=(m-1)τ+1，CM(r,τ,m)描述了距離小于 r 的對點數(shù)的分布情況，如果在r的某一區(qū)間段內(nèi)有：

則稱d是關(guān)聯(lián)維數(shù)，它近似刻畫了產(chǎn)生跳頻序列的系統(tǒng)復(fù)雜程度的某種維數(shù)。對觀測得到的跳頻序列,可在r的某一區(qū)間段內(nèi)通過對數(shù)lnCM(r,τ,m)-lnr圖觀測的辦法求出關(guān)聯(lián)維數(shù)d。

2 跳頻序列構(gòu)造

本文基于L-G模型和Logistic-Kent級聯(lián)映射構(gòu)造了32個頻隙的跳頻序列,對該兩跳頻序列進行了復(fù)雜度分析。

2.1 基于L-G模型構(gòu)造跳頻序列

L-G模型是基于m跳頻序列構(gòu)造跳頻序列的常用方法，通常有非連續(xù)抽頭模型[15]、時鐘采樣模型和一般模型[16]。本文采用非連續(xù)抽頭模型構(gòu)造跳頻序列,原理如圖2所示。

圖2 L-G模型

取r個非相鄰級控制跳頻，即可產(chǎn)生2r個頻隙的跳頻序列，關(guān)系運算式為：

本文基于17階的m跳頻序列構(gòu)造了32個頻隙的跳頻序列(序列長度為217-1)。

2.2 基于Logistic-Kent級聯(lián)映射構(gòu)造跳頻序列

本文采用參考文獻[17]提出的 Logistic-Kent級聯(lián)映射構(gòu)造混沌跳頻序列。

Logistic映射定義為：

其中 3.75＜R≤4，0＜xn＜1。

Kent映射定義為：

其中 0＜R＜1，0≤xn≤1。

構(gòu)造準(zhǔn)則如圖3所示。本文中取 R=4，a=0.21，x1=0.3，N1=100，N2=1 000，M=32,則可構(gòu)造序列長度為100×1 000的32個頻隙的混沌跳頻序列。

圖3 混沌跳頻序列構(gòu)造流程圖

3 仿真及結(jié)果分析

按照圖1的計算流程，對采用上述兩模型構(gòu)造的32個頻隙的跳頻序列進行了復(fù)雜度計算。

分別從兩跳頻序列中選取1 000個跳頻碼進行歸一化處理，形成[0-1]區(qū)間的時間序列。下面以m跳頻序列和混沌跳頻序列分別代表基于L-G非連續(xù)抽頭模型和基于Logistic-Kent級聯(lián)映射構(gòu)造的跳頻序列。首先對兩序列進行相空間重構(gòu)，由式(3)可得出兩序列的自相關(guān)函數(shù)CL(τ)與延遲時間 τ的關(guān)系如圖4和圖5所示。

圖4 m跳頻序列的延遲時間計算

圖5 混沌跳頻序列的延遲時間計算

取 CL(τ)從起始到第一個斜率由負(fù)轉(zhuǎn)正的 τ為延遲時間間隔，則由圖4和圖5可知，m跳頻序列的延遲時間 τ=2，混沌跳頻序列的延遲時間 τ=3。

對跳頻序列進行相空間重構(gòu)后，由式(5)可求取兩序列的最大Lyapunov指數(shù)。取不同的演化時間k可求出不同的 lndi(k)的平均值＜lndi(k)＞。 對于混沌系統(tǒng)，其＜lndi(k)＞-kΔt曲線有一段比較平直的區(qū)域，該段區(qū)域的斜率就是最大Lyapunov指數(shù)λ。本文取重構(gòu)維數(shù)m=7,8,9,Δt=1，圖6和圖7反映了兩跳頻序列的＜lndi(k)＞-kΔt曲線。

圖6 m跳頻序列的最大Lyapunov指數(shù)計算

圖7 混沌跳頻序列最大Lyapunov指數(shù)計算

當(dāng)重構(gòu)維數(shù)增加到一定程度后，不同重構(gòu)維數(shù)對應(yīng)的平直區(qū)域大致相同,圖6和圖7中的虛線表示＜lndi(k)＞-kΔt曲線的平直區(qū)域。求出兩平直區(qū)域的斜率可近似地表示兩序列的最大 Lyapunov指數(shù),經(jīng)計算,λ1=0.113 3，λ2=0.068 6。

由式(8)可作出對數(shù)lnCM(r,τ,m)-lnr圖,如圖8和圖9所示，進而計算其關(guān)聯(lián)維數(shù)。

圖8 m跳頻序列關(guān)聯(lián)維數(shù)計算

圖9 混沌跳頻序列關(guān)聯(lián)維數(shù)計算

由圖8和圖9可知，當(dāng)重構(gòu)維數(shù)增加到一定程度后，lnCM(r,τ,m)-lnr的斜率會趨于穩(wěn)定值，該穩(wěn)定值就是關(guān)聯(lián)維數(shù) d。 經(jīng)計算，d1=6.653，d2=5.278。

對基于L-G模型和Logistic-Kent級聯(lián)映射構(gòu)造的同族的其他跳頻序列進行計算，其關(guān)聯(lián)維數(shù)也在6.653和5.278左右，說明基于同種模型構(gòu)造的跳頻序列族具有相同的復(fù)雜度。

由以上的仿真計算可知，兩跳頻序列均具有正的最大Lyapunov指數(shù)，其關(guān)聯(lián)維數(shù)都是有限的正數(shù)，則說明兩跳頻序列具有混沌特性,且由d1＞d2可知，基于 L-G非連續(xù)抽頭模型構(gòu)造的跳頻序列復(fù)雜度大于基于Logistic-Kent級聯(lián)映射構(gòu)造的跳頻序列。

本文基于時間序列的混沌特性，提出了一種計算跳頻序列復(fù)雜度的方法。按照相空間重構(gòu)并求取最大Lyapunov指數(shù)和計算關(guān)聯(lián)維數(shù)的順序?qū)贚-G模型和Logistic-Kent級聯(lián)映射構(gòu)造的32個頻隙的跳頻序列進行了復(fù)雜度分析，通過對兩者關(guān)聯(lián)維數(shù)的比較，得出了L-G非連續(xù)抽頭模型構(gòu)造的跳頻序列復(fù)雜度大于Logistic-Kent級聯(lián)映射構(gòu)造的跳頻序列的結(jié)論。

該計算方法相對于已有的跳頻序列復(fù)雜度分析方法更具有普遍適用性，能對實際觀測或?qū)嶒灥玫降木哂谢煦缣匦缘奶l序列進行復(fù)雜度計算，對于分析跳頻序列的抗破譯性能具有實際意義，在軍事通信對抗中有一定的應(yīng)用價值。

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