楊小斌

(常州工學(xué)院機電工程學(xué)院，江蘇 常州 213002)

0 引言

工程結(jié)構(gòu)在設(shè)計階段一般都要進(jìn)行強度、剛度和穩(wěn)定性的計算，對于一些比較簡單的結(jié)構(gòu)可以借助于材料力學(xué)、彈性力學(xué)用解析的方法進(jìn)行，對于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)早期都是用實驗的方法對設(shè)計進(jìn)行驗證，再用實驗結(jié)果反饋修正設(shè)計，通常耗時費力，投入巨大。

有限元方法(finite element method)是在求解彈性力學(xué)問題的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的求解各種復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計算方法。［1］在結(jié)構(gòu)計算中利用該方法可以獲取幾乎任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)的各種信息，可以直接就工程設(shè)計進(jìn)行各種評判，能對各種工程事故進(jìn)行技術(shù)分析。據(jù)有關(guān)資料，一個新產(chǎn)品的問題有60%以上可以在設(shè)計階段消除，實際上目前國際上有90%的機械產(chǎn)品和裝備都要采用數(shù)值計算進(jìn)行分析。可以說，數(shù)值計算在工程設(shè)計上，已成為能夠替代大量實物試驗的數(shù)字化“虛擬實驗”，可以做到高效率和低成本。如美國波音公司設(shè)計的B－777飛機，就在計算機上完全實現(xiàn)了原型和制造工藝的“無紙設(shè)計”，其中大規(guī)模工程計算起到核心技術(shù)的支撐作用。如對于新型轎車的設(shè)計和制造，如果采用全數(shù)字化的設(shè)計和高精度的模擬，可以降低60%以上的實物試驗，新型號的開發(fā)時間可以減少一半，開發(fā)費用也可降低三分之一以上。［2］可見，有限元法已經(jīng)作為一種成熟的分析手段，在科學(xué)研究、工程設(shè)計與評估中發(fā)揮著巨大作用。

在我國機械專業(yè)畢業(yè)的大量本科生活躍在機械設(shè)計制造的各個部門，是機械行業(yè)的生力軍，為此國內(nèi)大學(xué)相繼為本科生開設(shè)了“有限元法原理及其軟件應(yīng)用”課程［3－6］，常州工學(xué)院也在前幾年開始在機械工程各專業(yè)中開設(shè)了該課程。

有限元法是在求解彈性力學(xué)問題的過程中興起的，隨后發(fā)展用來求解微分方程、積分方程。因此學(xué)習(xí)有限元法必須要有一些先修課程作為基礎(chǔ)，這些課程包括“計算機高級語言”(C語言、Fortran、Basic、Matlab 等，至少一門)、“高等數(shù)學(xué)”、“計算機制圖”、“彈性力學(xué)”、“計算方法”或“數(shù)值方法”、“線性代數(shù)”、“振動分析”、“變分法基礎(chǔ)”等課程，但實際上大多數(shù)學(xué)校的機械專業(yè)僅開設(shè)了“計算機高級語言”、“計算機制圖”、“高等數(shù)學(xué)”、“線性代數(shù)”，“振動分析”等課程，僅僅在“理論力學(xué)”課程中涉及到單自由度系統(tǒng)的振動問題，學(xué)習(xí)有限元分析所需的力學(xué)基礎(chǔ)僅限于“材料力學(xué)”中以桿件為研究對象的一些內(nèi)容?！皬椥粤W(xué)”和“數(shù)值方法”這些必須的先修課程均不在培養(yǎng)計劃之列，因此給“有限元法原理及其軟件應(yīng)用”的教學(xué)帶來了很大的挑戰(zhàn)。

1 存在的問題

“有限元法原理及其軟件應(yīng)用”的教學(xué)內(nèi)容主要體現(xiàn)在兩方面:一是有限元理論基礎(chǔ);二是計算程序的編制或商業(yè)有限元分析軟件的使用。［7－8］如果不清楚有限元基本理論，就無從談起編制計算程序，對于商業(yè)軟件的應(yīng)用也只能停留在照貓畫虎的階段。因此有限元基本理論是進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析必須理解的內(nèi)容，對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計算尤為必要，而有限元基本理論主要以勢能原理或Galerkin方法為基礎(chǔ)，對于結(jié)構(gòu)分析而言只要掌握勢能原理就足夠了，主要內(nèi)容涉及到“高等數(shù)學(xué)”、“彈性力學(xué)”、“線性代數(shù)”和“數(shù)值方法”。對于機械類專業(yè)一般不開設(shè)“數(shù)值方法”課程，“彈性力學(xué)”至多作為選修課，因此學(xué)生很難理解有限元的基本原理，給“有限元法原理及其軟件應(yīng)用”課程的理論和應(yīng)用軟件教學(xué)帶來了困難。

1.1 勢能原理的理解問題

結(jié)構(gòu)分析當(dāng)中用到的勢能可以簡單地認(rèn)為是彈性體在外力作用下由于變形所儲存的應(yīng)變能和外力功的和。對于機械類專業(yè)而言，只是在理論力學(xué)中學(xué)習(xí)了動能定理，在材料力學(xué)的學(xué)習(xí)中認(rèn)識了應(yīng)變能，以及彈性體外力功和應(yīng)變能的關(guān)系，并基于能量守恒建立方程求解問題。勢能原理是從能量極小的角度來認(rèn)識彈性體的平衡，從更為一般的角度刻畫物體的平衡狀態(tài)，雖然結(jié)果與能量守恒一致，但勢能原理是一個更為一般的物理原理，如何理解其在有限元法中的作用，對于沒有學(xué)過變分原理的學(xué)生顯然是困難的。

1.2 邊界條件的處理問題

對于機械類專業(yè)的學(xué)生來說，只在高等數(shù)學(xué)微分方程的求解，材料力學(xué)有關(guān)桿件位移的求解中涉及到邊界條件的處理，在有限元方法中邊界條件是在代數(shù)方程中進(jìn)行處理，對于為什么要引入邊界條件，如何引入邊界條件均沒有先修課程作為基礎(chǔ)，僅僅具有的是線性代數(shù)中關(guān)于代數(shù)方程有關(guān)解的存在性和其性質(zhì)的討論，而邊界條件的處理無論是自己編寫程序還是利用商業(yè)軟件求解都是至關(guān)重要的。

1.3 插值函數(shù)的選取問題

盡管插值的概念可能已經(jīng)在一些需要進(jìn)行查表計算的問題中所涉及，尤其是利用實驗數(shù)據(jù)制成的表格中線性插值是一種經(jīng)常使用的方法，但對于插值方法全面詳細(xì)的討論一般在數(shù)值方法課程中進(jìn)行，有限元法中對于插值函數(shù)有著比較嚴(yán)格的要求，因為有限元法的基本思想是利用插值函數(shù)把一個很大的一維、二維和三維求解域，劃分成滿足特定連續(xù)性要求的線、面和體，相同的幾何模型由于計算精度、計算速度要求的不同需要選擇不同的插值函數(shù)。插值函數(shù)與計算單元的選取直接相關(guān)，如二維問題可以用三角形單元也可以用四邊形單元，它們所對應(yīng)的插值函數(shù)也不同?！皵?shù)值方法”課程的缺失給學(xué)生理解有限元網(wǎng)格的劃分，如何選擇計算單元帶來很大的困難。

1.4 數(shù)值積分的理解問題

數(shù)值積分是“數(shù)值方法”課程中的重要教學(xué)內(nèi)容，對于只有高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)生來說，對積分的理解基本上是連續(xù)函數(shù)的積分，數(shù)值積分的思想僅僅在中值定理中有所體現(xiàn)，也沒有進(jìn)行進(jìn)一步的拓展，演繹成數(shù)值積分方法。而在有限元分析中數(shù)值積分是除求解線性方程組以外比較消耗計算時間的內(nèi)容，也是對計算結(jié)果有較大影響的內(nèi)容之一。

1.5 幾何模型的創(chuàng)建問題

在有限元軟件的教學(xué)中，要花費一定的學(xué)時進(jìn)行幾何建模的教學(xué)，涉及的命令很多，而且建模繁瑣，對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)尤為耗時。為了減小幾何建模的工作量和節(jié)省時間，現(xiàn)在的結(jié)構(gòu)分析軟件均提供了豐富的第三方幾何建模軟件接口，能很容易地進(jìn)行復(fù)雜結(jié)構(gòu)的幾何建模。但第三方軟件建立的幾何模型被導(dǎo)入到結(jié)構(gòu)分析軟件中時，由于圖形的存儲方式、精度等不同，會出現(xiàn)諸如體僅被表示為封閉的面，面被表示成封閉的線，甚至?xí)霈F(xiàn)不封閉的情況。

1.6 計算結(jié)果的驗證問題

對于理論基礎(chǔ)有限，工程實踐經(jīng)驗還很有限的學(xué)生來說，如何來驗證自己分析結(jié)果的合理性和正確性也是分析軟件教學(xué)的一個重要問題，往往會出現(xiàn)雖然得到了計算結(jié)果，但卻無法判斷結(jié)果的正確與否。

2 解決方法

對于上述問題由于課時等各種因素的限制，很難使學(xué)生全面熟練地掌握，因此基于現(xiàn)有知識結(jié)構(gòu)和基礎(chǔ)，讓學(xué)生理解原理是教學(xué)的關(guān)鍵。

理解勢能原理可用兩種方法實現(xiàn)，第一，選擇簡單典型的例題，勢能原理認(rèn)為在所有滿足給定幾何邊界條件的位移場中，真實的位移場使系統(tǒng)的總勢能取最小值，且滿足平衡條件(最小勢能原理)。在數(shù)學(xué)上可以認(rèn)為是以位移場為自變量，總勢能為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問題，因此以簡單桁架結(jié)構(gòu)作為例子能夠直觀地從數(shù)學(xué)上理解勢能原理。第二，相近內(nèi)容進(jìn)行比較，有限元解是真實解的數(shù)值近似，越接近真實解總勢能越小，由于精細(xì)單元得到的結(jié)果更接近真實的位移場，因此通過劃分粗細(xì)不同的單元，輸出不同劃分情形下的總勢能進(jìn)行比較，可以直觀地理解勢能原理。

有限元方法是在一個復(fù)雜的求解域求解微分方程的數(shù)值方法，因此在有限元求解過程中還帶有一些微分方程求解的影子，尤其是初始條件和邊界條件的處理，這給理解有限元法邊界條件和初始條件的處理帶來了方便。對于邊值問題在不引入邊界條件的情況下，對應(yīng)的是微分方程的通解，而有限元對于靜力學(xué)問題的求解在不引入邊界條件的情況下，是一組線性代數(shù)方程組，該方程組系數(shù)矩陣(剛度矩陣)的秩和由其與外力列矩陣構(gòu)成的增廣矩陣的秩小于總元數(shù)，有通解存在。引入邊界條件對于微分方程而言是消掉積分常數(shù)得到特解，對于有限元代數(shù)方程而言是消掉剛體位移得到結(jié)構(gòu)的變形，之后以變形為基礎(chǔ)得到其他的力學(xué)量。在教學(xué)中利用微分方程的概念以及線性代數(shù)中有關(guān)線性代數(shù)方程組的概念就可以使學(xué)生很好地理解有限元方法中引入邊界條件的作用和意義。

插值函數(shù)在有限元軟件中對應(yīng)的是單元的選擇。不同的單元一般對應(yīng)不同的插值函數(shù)，因此對于插值函數(shù)的理解在教學(xué)中要把握兩方面，一方面是維數(shù)，另一方面是精度。維數(shù)是與幾何模型相關(guān)的，幾維空間模型選擇幾維單元。難點在于精度，各種維數(shù)的單元都具有線性、二次和三次等形式，選用高階單元可提高計算精度，因為高階單元的曲線或曲面邊界能夠更好地逼近結(jié)構(gòu)的曲線和曲面邊界，且高次插值函數(shù)可更高精度地逼近復(fù)雜場函數(shù)，所以當(dāng)結(jié)構(gòu)形狀不規(guī)則、應(yīng)力分布或變形很復(fù)雜時可以選用高階單元。但高階單元的節(jié)點數(shù)較多，在網(wǎng)格數(shù)量相同的情況下由高階單元組成的模型規(guī)模要大得多，因此在使用時應(yīng)考慮計算精度和時間。

有限元法在計算剛度矩陣時，通常要計算復(fù)雜函數(shù)的定積分，大多數(shù)有限元軟件都采用數(shù)值積分方法。高等數(shù)學(xué)中的積分中值定理就是數(shù)值積分的梯形積分公式，因此積分中值定理反映了數(shù)值積分的思想和方法，只是為了提高積分精度和適應(yīng)復(fù)雜的積分區(qū)域，由一點積分(中值定理)推廣至多點積分，因此在教學(xué)中利用積分中值定理就可以使學(xué)生很好地理解數(shù)值積分。在此基礎(chǔ)上對于學(xué)有余力或?qū)τ邢拊Y(jié)構(gòu)分析有興趣的學(xué)生就可以利用計算機高級語言編制高斯積分程序，進(jìn)一步理解和掌握數(shù)值積分方法。

有限元幾何模型的教學(xué)重點放在點—線—面—體之間的關(guān)系上，一維模型必需點在線上，二維模型必需線在面上，三維模型不能有單獨的面、線存在;另外，在學(xué)生掌握了一門幾何建模軟件的基礎(chǔ)上開設(shè)“有限元法原理及其軟件應(yīng)用”課程，這樣可以利用幾何建模軟件與結(jié)構(gòu)分析軟件之間的無縫聯(lián)結(jié)，在幾何建模軟件中模型的任何改動都能夠及時地反應(yīng)在結(jié)構(gòu)分析軟件中，這樣不僅在建模時省時省力，而且給結(jié)構(gòu)優(yōu)化帶來了方便，也能很好地解決從幾何建模軟件到結(jié)構(gòu)分析軟件轉(zhuǎn)換過程中出現(xiàn)的諸如面成為不封閉的線，體成為不封閉的殼等問題。

有限元計算結(jié)果的判定是一個比較復(fù)雜而困難的問題，由于它涉及到工程結(jié)構(gòu)簡化的合理性，計算軟件使用的正確性。對于簡單的問題可以與解析結(jié)果對比，但對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)尤其是實際工程結(jié)構(gòu)就很困難。而對于學(xué)習(xí)有限元方法的本科學(xué)生而言主要是正確使用有限元軟件。因此要掌握利用不同單元和網(wǎng)格劃分的精細(xì)化程度來判斷自己的計算結(jié)果，如，對于平面問題如果用三角形單元和四邊形單元計算結(jié)果相差很小，或?qū)W(wǎng)格進(jìn)行加密，加密前的計算結(jié)果和加密后的計算結(jié)果相差很小，從軟件計算的角度可以認(rèn)為計算結(jié)果是可信的。對于動力問題要學(xué)會利用調(diào)整時間步長的方法來判斷計算結(jié)果，如果不同的計算步長計算結(jié)果差別很小，說明計算結(jié)果在軟件計算的層面是合理的。

3 結(jié)語

盡管有限元方法涉及到很多先修課程，而且部分課程在機械專業(yè)本科階段并沒有開設(shè)，但是利用“高等數(shù)學(xué)”、“工程數(shù)學(xué)”以及“材料力學(xué)”等已開課程中的一些基本內(nèi)容，在教學(xué)中通過適當(dāng)?shù)穆?lián)系和選取代表性的例題，可以完全做到理解有限元基本原理以及該課程中的一些難點，使學(xué)生能夠自如地使用商業(yè)有限元軟件進(jìn)行工程結(jié)構(gòu)分析，擺脫無相似例題就不會或不敢使用有限元軟件進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析的尷尬。而且對于結(jié)構(gòu)分析過程中出現(xiàn)的一些問題能夠做出正確的判斷和分析，并找到合理的解決之道。

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