王 超，檀永剛，韓義樂

（1.大連理工大學(xué) 橋梁研究所，遼寧 大連 116023；2.北京龍安華誠建筑設(shè)計(jì)有限公司，北京 100071）

自錨式懸索橋中，吊索是將加勁梁自重、外載荷傳遞到主纜的傳力構(gòu)件，是聯(lián)系加勁梁與主纜的紐帶，在施工中也是先梁后纜，通過吊索的張拉使加勁梁脫模.因此，吊索拉力的大小，既決定了主纜在成橋狀態(tài)的真實(shí)索形，也決定了加勁梁的彎曲內(nèi)力分布［1-2］.關(guān)于自錨式懸索橋在成橋狀態(tài)下的吊索力，一開始多根據(jù)相應(yīng)主梁節(jié)段的恒載確定［1］，這種方法源自地錨式懸索橋設(shè)計(jì)，比較粗糙；或采用剛性梁支承法［3］，但將以此確定的吊索力代入成橋模型后，并不能使主梁處于剛性支承連續(xù)梁的彎曲狀態(tài).2005年，王戰(zhàn)國和俞亞南等［4］將影響矩陣法用于自錨式懸索橋吊索力的優(yōu)化，主要用于施工偏差的調(diào)整.同年，譚冬蓮［5］以主纜為切入點(diǎn)，認(rèn)為合理的主纜線形使得在恒載作用下塔、梁所受的彎矩最小，成橋狀態(tài)吊索力由兩吊索間主梁質(zhì)量確定，實(shí)質(zhì)上還是采用了前面提到的第一種粗糙方法.2007年，任亮和張璟［6］基于斜拉橋合理成橋狀態(tài)確定思想給出了剛性支承連續(xù)梁法和最小彎曲能量法確定自錨式懸索橋合理成橋吊索力的思路，得到了最小彎曲能量法確定吊索力更合理的結(jié)論.2008年，楊?。?］根據(jù)能量最小原理及變形協(xié)調(diào)原理，將吊索截開，視加勁梁為連續(xù)梁結(jié)構(gòu)，對主纜采用彈性理論進(jìn)行經(jīng)典分析，采用能量法通過變形協(xié)調(diào)關(guān)系最后求得這種結(jié)構(gòu)的全部靜力解答.彭苗和盧哲安［8］結(jié)合懸鏈線理論和幾何非線性有限元方法，提出了空間主纜和吊索的線形及內(nèi)力的迭代計(jì)算方法，并通過一定策略確定了全橋結(jié)構(gòu)的成橋狀態(tài)，但吊索力依舊是由剛性連續(xù)梁法確定.這些方法各有利弊，是否能完全應(yīng)用于自錨式懸索橋也值得進(jìn)一步研究.本文基于斜拉橋合理成橋狀態(tài)確定思想，提出了一種確定成橋索力的優(yōu)化方法，它以主梁的彎曲應(yīng)變能最小為目標(biāo)，以全橋吊索力為變量，綜合運(yùn)用有限元軟件與優(yōu)化軟件，得出一組成橋狀態(tài)下的合理吊索力，并用算例證明其可行性與有效性.

1 索力優(yōu)化理論

在工程中，經(jīng)常需要在多個(gè)方案中選取最合理的并能實(shí)現(xiàn)預(yù)定最優(yōu)目標(biāo)的方案.最優(yōu)化方法即是研究在一定條件限制下選取最優(yōu)目標(biāo)的學(xué)科，獲取最優(yōu)方案的方法.

最小彎曲應(yīng)變能法即是以靜載下結(jié)構(gòu)積累的彎曲應(yīng)變能總和最小為目標(biāo)來確定吊索的合理索力.考慮如圖1所示自錨式懸索橋，分析時(shí)假設(shè)主纜柔性不承擔(dān)彎矩，將吊索切斷，吊索的作用用主梁節(jié)點(diǎn)向上的力與主纜節(jié)點(diǎn)向下的力來代替.設(shè)有xi＝1作用于基本結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生梁塔分布彎矩為mi，靜載作用下基本結(jié)構(gòu)的彎矩為Mp，則任意界面總彎矩：

式中，n為吊索根數(shù).

考慮到自錨式懸索橋主塔往往采用滑動(dòng)索鞍，以設(shè)定一定預(yù)偏量的方式控制恒載下的塔底彎矩，因此成橋時(shí)整個(gè)結(jié)構(gòu)的彎曲應(yīng)變能可認(rèn)為是主梁內(nèi)積累的彎曲應(yīng)變能，應(yīng)變能U與截面彎矩之間的關(guān)系：

式中，E為材料彈性模量；I為加勁梁截面慣性矩；s為梁微段.

將式（1）代入式（2），得

引入結(jié)構(gòu)力學(xué)中彈性位移計(jì)算表達(dá)式（忽略軸向與剪切變形），令

式中，δ為桿件柔度；Δ為在實(shí)際力作用下此點(diǎn)的豎向位移.

從式（6）中可以清楚看到應(yīng)變能與索力的關(guān)系，要使U最小，則需：

對式（7）求解得到的x即為成橋狀態(tài)滿足最小應(yīng)變能的最合理吊索力.

2 合理成橋索力確定原則

（1）索力分布.在恒載作用下，索力要分布均勻，但又有較大的靈活性，局部允許突變.一般靠近梁端錨固區(qū)的吊索會(huì)有較大索力.

（2）主梁彎矩.成橋狀態(tài)下，主梁的恒載彎矩必須控制在可行域范圍內(nèi)，同時(shí)主梁正負(fù)彎矩值不能相差太大.

（3）內(nèi)力平衡.結(jié)構(gòu)各控制截面在恒載和活載共同作用時(shí)，上翼緣最大應(yīng)力和材料允許應(yīng)力之比應(yīng)當(dāng)?shù)扔谙乱砭壸畲髴?yīng)力和材料允許應(yīng)力之比，從而達(dá)到截面上下緣材料均被充分利用，截面受力均勻.當(dāng)截面為同一種材料時(shí)，應(yīng)當(dāng)保證截面上下緣最大應(yīng)力相等.

3 計(jì)算方法

3.1 有限元模型

目前在自錨式懸索橋索力優(yōu)化方面，大多數(shù)論文都在闡述了優(yōu)化理論之后，以解析法求得最終結(jié)果，或輔以影響矩陣考慮多目標(biāo)協(xié)調(diào)，仍用數(shù)值分析求解［4-8］.這種方法理論上可行，應(yīng)用卻十分困難.數(shù)值模型大多經(jīng)過精簡與假定，并不能反映結(jié)構(gòu)真實(shí)受力狀態(tài)，并且計(jì)算效率低，速度慢.用Matlab等數(shù)學(xué)軟件設(shè)計(jì)的程序可以實(shí)現(xiàn)優(yōu)化目標(biāo)，但為了提高軟件運(yùn)行速度，一般寫入精簡過的平面桿系模型，結(jié)果可以反映力學(xué)規(guī)律，卻很難應(yīng)用于工程實(shí)踐.這些方法亦不能計(jì)入預(yù)應(yīng)力、活載和混凝土收縮徐變的影響.

ANSYS是一款通用有限元軟件，在分析過程中會(huì)根據(jù)不同的特點(diǎn)和分析目的用不同的單元來模擬不同結(jié)構(gòu).在ANSYS中建立的模型可以綜合考慮靜載、活載對結(jié)構(gòu)的影響，可以模擬預(yù)應(yīng)力和混凝土的收縮徐變等時(shí)間特性.在懸索橋分析中，主要關(guān)注主梁內(nèi)力、吊桿的拉力、主纜的內(nèi)力及變形.

ANSYS中的link10單元在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上有3個(gè)自由度，即沿坐標(biāo)系x、y、z方向的平動(dòng)，該單元具有應(yīng)力剛化、大變形功能，沒有彎曲剛度，設(shè)定其僅受拉選項(xiàng)，可模擬主纜及吊索.加勁梁與橋塔用beam4單元模擬，這是一種承受拉、壓、彎、扭的單軸受力單元，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上有6個(gè)自由度，分別為x、y、z方向的線位移與繞x、y、z軸的角位移.另外，用link8單元模擬剛臂，beam188單元模擬預(yù)應(yīng)力鋼筋等，此處不多介紹.

優(yōu)化基本模型即圖1所示，本模型優(yōu)點(diǎn)在于去除吊索，將吊索力還原在主梁與主纜相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上，可最大限度保留原模型受力特點(diǎn).主纜所受吊索拉力最終造成主纜對加勁梁的水平壓力，此壓力隨著吊索力的變化而變化，反應(yīng)主梁真實(shí)受力特征.

ANSYS提供的參數(shù)化編程語言（ANSYS Parameter Design Language，APDL）是一種通過參數(shù)化變量方式建立分析模型的腳本語言，它用智能化分析的手段，為用戶提供了自動(dòng)完成有限元分析過程的功能.運(yùn)用APDL編寫命令流，可以方便地提取所需計(jì)算結(jié)果并輸出，如主梁彎矩、主梁彎曲應(yīng)變能等，為優(yōu)化軟件提供優(yōu)化目標(biāo)及約束.

3.2 優(yōu)化策略

一個(gè)完整的優(yōu)化模型一般包含目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)及設(shè)計(jì)變量，一般形式為

針對不同類型的優(yōu)化問題，人們提出了多種優(yōu)化算法，如對于單目標(biāo)、無約束的優(yōu)化問題，BFGS法行之有效.對于單目標(biāo)、有約束的優(yōu)化問題，序列線性規(guī)劃法（SLP）和序列二次規(guī)劃法（SQP）比較流行.比較簡單的數(shù)學(xué)問題，可以通過向量矩陣迭代出最優(yōu)解，于復(fù)雜的工程問題則不可行.本文將介紹一個(gè)可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜工程設(shè)計(jì)的優(yōu)化軟件SiPESC.OPT.

SiPESC.OPT是由大連理工大學(xué)與中國空間技術(shù)研究院自主研發(fā)的開放的通用優(yōu)化問題求解軟件，用于求解單目標(biāo)或多目標(biāo)、連續(xù)設(shè)計(jì)變量或離散設(shè)計(jì)變量、線性或非線性的大規(guī)模復(fù)雜優(yōu)化問題［9］.SiPESC.OPT 集 成 了 BFGS，SLP，SQP和GA等多種成熟優(yōu)化算法，具有良好的可擴(kuò)展性，開放式的軟件架構(gòu)支持包括ANSYS在內(nèi)的多款主流分析軟件，用戶可以按照實(shí)際問題的特性定制自己的優(yōu)化算法和流程.

本模型中設(shè)計(jì)變量為吊索力，由于懸索橋一般有多根吊索，SiPESC.OPT支持設(shè)置多個(gè)設(shè)計(jì)變量以精確模擬.

目標(biāo)函數(shù)為主梁的彎曲應(yīng)變能，由作用于主梁上的吊索力決定，ANSYS將之計(jì)算并輸出，設(shè)計(jì)變量的每次變化都會(huì)引起主梁彎曲應(yīng)變能的變化，優(yōu)化軟件會(huì)自動(dòng)分析目標(biāo)函數(shù)的變化趨勢，以此控制設(shè)計(jì)變量的選取，直至得到目標(biāo)函數(shù)最小值，即主梁的最小彎曲應(yīng)變能.

SiPESC.OPT支持設(shè)置多個(gè)約束函數(shù)，可以利用這種特性限制目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量的變化在一定范圍內(nèi)，不致出現(xiàn)數(shù)學(xué)解和工程實(shí)際的極大誤差.事實(shí)上，這種誤差在有限元模型正確的情況下很難出現(xiàn).自錨式懸索橋的控制變量一般是主塔頂與主纜中點(diǎn)的位移，可用約束函數(shù)將之控制在一定的范圍內(nèi).如果在分析過程中對于模型有工程上的其他考量，如使截面上下緣應(yīng)力接近特定比值，約束塔底彎矩，限制索鞍偏移量等，都可以通過設(shè)置約束函數(shù)解決，這也是SiPESC.OPT極大擴(kuò)展性的體現(xiàn).但約束數(shù)目增加會(huì)導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜程度提高，考慮多重約束也會(huì)使計(jì)算結(jié)果偏離單純目標(biāo)最優(yōu)化，因此必須認(rèn)真處理約束與目標(biāo)的關(guān)系.本文目的在于分析一種確定合理成橋索力的方法，于此處不多討論.

3.3 優(yōu)化流程

（1）在ANSYS中建立優(yōu)化模型（圖2），定義設(shè)計(jì)變量為替代吊索作用的主梁與主纜相應(yīng)位置的一組力，初值可由基本模型（圖1）中的受力決定，影響不大.

（2）計(jì)算結(jié)構(gòu)彎曲應(yīng)變能并輸出至文件，SiPESC.OPT將其提取并定義為目標(biāo)函數(shù).

（3）SiPESC.OPT變換設(shè)計(jì)變量值輸入ANSYS，進(jìn)行步驟（2）并保存目標(biāo)函數(shù)值.

（4）SiPESC.OPT迭代重復(fù)步驟（3）多次，直至找到算法確認(rèn)的最小目標(biāo)函數(shù)，保存并輸出對應(yīng)的設(shè)計(jì)變量，即一組成橋吊索力.

以上流程可寫為JAVA腳本文件導(dǎo)入SiPESC.OPT，軟件自動(dòng)調(diào)用ANSYS完成迭代，輸出結(jié)果.

4 工程實(shí)例

內(nèi)蒙古霍林郭勒4號橋是一座雙塔三跨混凝土自錨式懸索橋，主橋跨徑布置為47m＋130m＋47m，主梁為2.5m高單箱五室混凝土箱梁，橋面寬40m，塔高35m，主纜垂跨比為1∶5.5，縱坡設(shè)置為3%.主纜采用37股127 φ5mm平行高強(qiáng)鋼絲，全橋吊索共41根，除靠近錨塊處的4根吊桿采用110mm剛性吊桿、材料選用鍍鋅40Cr鋼外，其余吊桿采用109mm高強(qiáng)度鍍鋅鋼絲成品索，標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度為1.670GPa.吊桿上端與索夾采用叉耳板銷接，下端錨固于橫梁底部，一般間距為5m.

應(yīng)用本文所述方法進(jìn)行優(yōu)化，設(shè)定設(shè)計(jì)變量為41個(gè)吊索力，目標(biāo)函數(shù)為主梁彎曲應(yīng)變能，主要結(jié)果如下：

（1）優(yōu)化后吊索力，如圖3所示.

（2）優(yōu)化后主梁恒載彎矩，如圖4所示.

（3）優(yōu)化后主梁上下緣應(yīng)力，如圖5所示.

5 結(jié) 語

本文借鑒了斜拉橋索力分析中運(yùn)用比較廣泛的最小彎曲應(yīng)變能法，運(yùn)用有限元軟件和結(jié)構(gòu)優(yōu)化軟件實(shí)現(xiàn)了自錨式懸索橋合理成橋索力的優(yōu)化.算例表明，優(yōu)化后主梁的彎曲應(yīng)變能達(dá)到最小，索力分布均勻、變化曲線平滑；主梁恒載彎矩均勻，并且上下起伏在合理的范圍內(nèi)；上下緣應(yīng)力接近，截面受力良好.此方法通過軟件調(diào)用，能快速得出結(jié)果，滿足工程精度，又能考慮不同成橋目標(biāo)與約束，適用范圍廣，值得進(jìn)一步研究和探討.

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