王新春，肖繼先，米翠蘭

(河北聯(lián)合大學理學院，河北唐山063009)

當前我國獨特的應(yīng)試教育體制，極大地束縛了學生數(shù)學思維的獨特性。針對當今社會和科技發(fā)展的需求，有目的地培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的人才是我國數(shù)學教育的發(fā)展重點。培養(yǎng)創(chuàng)新型人才首要的任務(wù)是培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，而良好的數(shù)學思維是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的重要手段。大力培養(yǎng)學生獨立的數(shù)學思維，對開拓學生思維中的創(chuàng)造性具有深遠的影響和現(xiàn)實意義。

離散數(shù)學是數(shù)學的一個重要分支，主要研究離散量的結(jié)構(gòu)及其相互間的關(guān)系。其課程目標主要是培養(yǎng)學生的抽象思維能力和嚴格的邏輯推理能力，數(shù)學思維的應(yīng)用普遍存在于離散數(shù)學的教學中。

一、數(shù)學思維的內(nèi)涵與特征

數(shù)學思維是以數(shù)學問題為載體，通過發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的形式和過程，達到對現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)的認識的思維過程［1］。數(shù)學思維方法可通過思維訓練而逐步形成。數(shù)學思維的目的在于提高學生掌握數(shù)學知識、運用數(shù)學思維策略和方法來分析和研究各種數(shù)學現(xiàn)象。

二、離散數(shù)學中的數(shù)學思維形式及其培養(yǎng)策略

人的主體思維活動分為邏輯思維、形象思維和靈感思維三種。學習數(shù)學同樣要用到這三種思維?？茖W研究表明，人類先有形象思維，而后經(jīng)過長期的實踐訓練才逐步形成邏輯思維［2］。而靈感思維常常在特定的環(huán)境下突然產(chǎn)生，它以主體的直覺為媒介來獲得新知識。邏輯思維有多種形式，包括歸納思維、類比思維、逆向思維、分析思維、抽象思維等，下面介紹常見的數(shù)學思維形式。

(一)歸納思維

歸納是從觀察一類事物中的一部分具有某種屬性，經(jīng)分析判斷得出該類事物都具有這種屬性的思維方法。它是一種從特殊到一般的抽象化過程［3］。在離散數(shù)學的數(shù)理邏輯中，會介紹命題公式的定義，我們可以先舉出一些常見的簡單的命題公式的樣例，給學生一個初始的印象，然后再給出命題公式的遞歸定義。而得出命題公式的遞歸定義就是利用的歸納思維。這樣學生很容易就掌握了命題公式的概念。在離散數(shù)學的教學中，我們可有意識地強調(diào)這種歸納思維的應(yīng)用。

(二)類比思維

類比是借助于兩類不同本質(zhì)事物之間的相似性，通過比較來把一種熟知的對象的知識平移到另一種不熟知的對象上去的推理方法。類比是人們常用的一種掌握知識的手段，能否廣泛而又恰當?shù)剡\用類比，是衡量一個人創(chuàng)造性思維能力的標志之一。善于利用類比思維有助于舉一反三，觸類旁通。常用類比思維是鍛煉獨立分析和解決問題能力的有效方式之一。

在離散數(shù)學的代數(shù)結(jié)構(gòu)這部分知識里，會介紹到半群、含幺半群、群、環(huán)和域的概念。前一個概念總是后一個概念的基礎(chǔ)，在學習中我們只要注意到每個概念的區(qū)別和聯(lián)系就可對學習產(chǎn)生事半功倍的效果。

(三)逆向思維

由此及彼和由彼及此是思維的兩個相反方向。它的特點是從思維定勢的反方

向去思考問題。當順向解決問題時遇到瓶頸時，就可考慮使用逆向思維。逆向思維常常能夠突破思維定勢，具有一定的創(chuàng)造性。逆向思維對解放思想、開闊思路、解決某些難題往往能起到積極作用。

離散數(shù)學會介紹推理方法。推理有直接推理和間接推理，間接推理中的反正法就是一種典型的逆向思維方法。當直接證明遇到瓶頸時，常常換一種思維方式，即采用逆向思維，利即用反證法來進行推理或得出問題的結(jié)論。

(四)發(fā)散思維

發(fā)散思維是一種從不同角度、不同方向和不同途徑來考慮問題的展開型思維方式。它能夠從已有信息出發(fā)，在創(chuàng)造和解決問題的思維過程中，得到各種新型的、變異的問題的各種解決方法。發(fā)散思維一般不是在定好的軌道中產(chǎn)生［4］，而是依據(jù)所獲得的最低限度的信息而產(chǎn)生，它是具有創(chuàng)造性的思維方式。

離散數(shù)學中有邏輯推理，推理一般是從若干個已知條件出發(fā)，得到某個有效的結(jié)論。我們在引用前提條件的時候，按照構(gòu)造性推理方法，在推理的任何過程中都可以引入前提，那些前提條件被引入的時候與次序無關(guān)。按照任何一種引入前提的次序來進行推理均可得到相同的有效結(jié)論，這其中體現(xiàn)的就是一種發(fā)散思維的應(yīng)用。

(五)抽象思維

抽象思維是思維的高級形式，思維的基本對象是概念，利用概念、判斷和推理的形式，借助語言符號來進行思維的方法。在數(shù)理邏輯中，我們要對已知的命題進行推理，第一步就是要把已知命題用符號表示，即符號化的過程。這個過程是把具體的問題或事實轉(zhuǎn)化為抽象的關(guān)系，然后透過符號之間的關(guān)系借助一定的推理規(guī)則來得到問題的結(jié)論。通過這種抽象思維方式，能夠簡化復雜的問題，從而迅速掌握事情的本質(zhì)。

(六)形象思維

形象思維是以具體的圖形或圖像為思維內(nèi)容的思維形式，基本對象是表象，它借組表象來進行分析、綜合、抽象和概括的過程。一項對中美學生的數(shù)學思維的差異性的比較中顯示，中國學生偏向于使用抽象的策略和符號表征，而美國學生則偏向于使用視覺的策略和表征［5］。這里，視覺的思維策略和表征就是一種形象思維的體現(xiàn)。在離散數(shù)學中，我們要表示偏序的二元關(guān)系，如果用集合或關(guān)系矩陣來表示，當關(guān)系復雜時，我們很難迅速分辨出元素之間的關(guān)系，但如果引入偏序關(guān)系的關(guān)系圖即哈斯圖，那么元素之間的關(guān)系將一目了然，而且很容易在我們的腦海里留下深刻的印記，有益于加強知識的理解和記憶。

(七)直覺思維與靈感思維

直覺思維是指不受固定的邏輯規(guī)則的約束，通過人腦調(diào)動一切已有的知識經(jīng)驗，對客觀事物的本質(zhì)作出的一種迅速的識別、敏銳而深入的洞察、直接的本質(zhì)理解和綜合的整體判斷，它是一種直接領(lǐng)悟的思維［4］。靈感思維是指憑借直覺而進行的快速、頓悟性的思維。它不是一種簡單邏輯或非邏輯的單向思維運動，而是邏輯性與非邏輯性相統(tǒng)一的理性思維整體過程。在離散數(shù)學里研究地圖的著色問題時，我們要首先通過直覺來判斷至少需要幾種顏色才能將不同的區(qū)域區(qū)分開來，使得相鄰國家為不同顏色。最初有學者判斷是五色，然后以嚴格的數(shù)學證明的形式證明五種顏色是可以做到的，即得到五色定理。后來有學者質(zhì)疑，目前得到四色定理?？梢?，直覺思維為最初的創(chuàng)造性結(jié)論起到了非常重要的作用。

三、結(jié)束語

離散數(shù)學中的數(shù)學思維體現(xiàn)在離散數(shù)學知識的方方面面，所以我們要把培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力貫穿于整個數(shù)學教學中，滲透到每個教學環(huán)節(jié)［6］。在《離散數(shù)學》的教學中，既要講授離散數(shù)學教學內(nèi)容本身的規(guī)律，還要以整體觀念為指導，不斷地挖掘培養(yǎng)數(shù)學思維的素材，尋找培養(yǎng)數(shù)學思維的動力，探索培養(yǎng)數(shù)學思維的方法［7］，最后對學生進行潛移默化的訓練，才能使學生能夠科學合理的考慮問題。在未來的數(shù)學教育教學過程中，教育工作者不該滿足于學生學到了多少知識，而更應(yīng)關(guān)注學生的思維能力是否得到了鍛煉和提高［8］。著重培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，進而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，必將有利于我國創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，從而對我國國民素質(zhì)的整體提高產(chǎn)生深遠影響。

［1］ 曾憲根，王敏．簡論培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力［J］．中國成人教育，2007，(10):174-175．

［2］ 鐘建林．淺談數(shù)學教學中的數(shù)學思維．［J］．教學與管理，2006，(7):90-91．

［3］ 羅志斌．高等數(shù)學中數(shù)學思維培養(yǎng)的教學對策［J］．中國成人教育，2007，(8):154-155．

［4］ 湯紅娟，論數(shù)學思維及思想方法在英語句型教學中的辯證作用［J］．外國語文，2010，26(2):122-126．

［5］ 夏小剛，呂傳漢．跨文化視野下中美學生數(shù)學思維差異的比較［J］．比較教育研究，2006，(8):63-67．

［6］ 韓志剛．簡論重視數(shù)學思維過程教學［J］．中國成人教育，2007，(8):30．．

［7］ 廖家奇．數(shù)學思維訓練的特點及應(yīng)用［J］．教學與管理，2006，(10):85-86．

［8］ 尚玉偉，李公立．應(yīng)試教育對學生數(shù)學思維培養(yǎng)的約束及其突破［J］．教學管理，2010，(8):118-119．