麻向軍 邱忠財(cái) 陶成文

(華南理工大學(xué)聚合物新型成型裝備國家工程研究中心，廣東廣州510640)

分散混合在材料加工中起著重要作用，尤其是顆粒團(tuán)聚體在聚合物熔體中的混合與復(fù)合過程．分散混合的目的是在流體拖曳力作用下，打破分散相顆粒團(tuán)聚體內(nèi)的物理鍵合，使其發(fā)生剝蝕或破碎，從而獲得更小的碎片或者顆粒［1］．預(yù)測(cè)和控制分散混合過程對(duì)設(shè)計(jì)和操作混合設(shè)備進(jìn)而提高最終制品性能有重要意義，許多研究者從理論和實(shí)驗(yàn)兩方面對(duì)分散混合現(xiàn)象進(jìn)行了研究．Feke等［2］提出了一種用于確定團(tuán)聚體在剪切流場(chǎng)中破碎的概率模型;Horwatt等［3］將處于剪切流場(chǎng)的非均質(zhì)團(tuán)聚體視為一個(gè)內(nèi)聚力作用下的連續(xù)體，確定了團(tuán)聚體破碎時(shí)的臨界流體拖曳力;Scurati等［4］考慮了團(tuán)聚體尺寸、流體黏度和剪切速率對(duì)分散過程的影響，開發(fā)了一種用于預(yù)測(cè)分形結(jié)構(gòu)團(tuán)聚體在穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)剪切流場(chǎng)中分散的剝蝕動(dòng)力學(xué)模型，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比．

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值模擬廣泛用于研究分散混合現(xiàn)象，常用的模型有連續(xù)介質(zhì)模型和離散介質(zhì)模型．由于顆粒團(tuán)聚體是典型的離散體，力學(xué)特征“散”而“動(dòng)”(“散”是指顆粒性質(zhì)、尺寸和形貌的分散性，“動(dòng)”是指顆粒運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)性和非線性)，不滿足連續(xù)模型的小變形和位移協(xié)調(diào)的假設(shè)，因此，應(yīng)采用離散介質(zhì)模型研究分散混合過程［5］．目前，離散介質(zhì)模型中應(yīng)用最廣泛的是Cundall［6］提出的離散單元法(DEM)，其基本原理是將離散介質(zhì)視為獨(dú)立的塊體或顆粒單元的集合，單元之間的相互作用力可根據(jù)力和位移的關(guān)系確定，單元的運(yùn)動(dòng)由牛頓運(yùn)動(dòng)定律確定，運(yùn)動(dòng)過程中，單元之間可接觸也可分開，允許單元發(fā)生很大的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，可以求解一些離散介質(zhì)的力學(xué)行為，如堆積、流動(dòng)和分離［7-9］．近年來，國外一些學(xué)者將DEM應(yīng)用于研究分散混合現(xiàn)象，顯示出這一方法的優(yōu)越性［10-12］，但是對(duì)于分形結(jié)構(gòu)團(tuán)聚體分散混合的研究較少．文中在經(jīng)典離散元理論模型中引入范德華力和流體拖曳力，編制了二維離散元程序DEMix2D，并對(duì)二維情況下由均質(zhì)的納米級(jí)球形顆粒組成的具有分形結(jié)構(gòu)的團(tuán)聚體在純剪切、純拉伸和剪切-拉伸混合流場(chǎng)中的分散混合行為進(jìn)行數(shù)值模擬．

1 數(shù)值模型

1．1 顆粒運(yùn)動(dòng)控制方程

由于分散混合過程非常復(fù)雜，必須做一些簡(jiǎn)化和假設(shè):①忽略顆粒重力和布朗運(yùn)動(dòng);②顆粒密度和流體密度相近，忽略浮力的作用;③流體處于層流狀態(tài)，且只考慮流體對(duì)顆粒的作用力，不考慮顆粒對(duì)流體的作用力，并且認(rèn)為顆粒在流體中的任意分布不會(huì)影響流場(chǎng)分布;④流場(chǎng)無邊界．滿足以上假設(shè)后，團(tuán)聚體在分散過程中，每個(gè)顆粒受到的力包括顆粒間的接觸力、范德華力以及流體拖曳力．顆粒受到這些力作用后的運(yùn)動(dòng)可由牛頓第二定律求得:

式中，m、I、vi和ωi分別為顆粒i的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、速度和角速度，F(xiàn)i和Mi分別為顆粒i受到的合力和合力矩．Fi和Mi可表示成:

1．2 接觸模型

顆粒間的接觸力和阻尼力可以根據(jù)力與位移的關(guān)系(即接觸模型)求得．文中采用Cundall的線性粘彈性模型［10］，即顆粒間可以理解為線性彈簧、線性粘壺和滑片相連接的形式，如圖1所示．

線性粘彈性接觸模型中，接觸力和阻尼力表示為

式中:kn和kt分別為彈簧的法向剛度和切向剛度，kn= RE，kt=kn/10，其中R為顆粒半徑，E為顆粒的彈性模量［10］;dn和 dt分別為法向和切向阻尼系數(shù)分別為法向和切向相對(duì)位移，vn，ij和 vt，ij分別為法向和切向相對(duì)速度．同時(shí)，和還須滿足庫倫-摩爾摩擦準(zhǔn)則［13］．

1．3 范德華力

根據(jù)Hamaker理論，兩個(gè)半徑相同的球形顆粒i、j之間的范德華力fijv為

式中，A和h分別表示Hamaker常數(shù)和兩顆粒間隔距離，nij為單位向量．

式中，xi和xj為顆粒i和j的位置矢量．

1．4 流體拖曳力

流體拖曳力的計(jì)算是模擬顆粒團(tuán)聚體分散行為的關(guān)鍵，目前普遍采用的方法是根據(jù)斯托克斯定律求解拖曳力和力矩．顆粒在剪切流場(chǎng)中受到的流體拖曳力如圖2所示．

圖1 顆粒間的接觸模型Fig．1 Contact model between particles

圖2 顆粒在剪切流場(chǎng)中的受力示意圖Fig．2 Schematic diagram of forces on particles in shear flow field

根據(jù)斯托克斯定律，單個(gè)顆粒處于流場(chǎng)時(shí)受到的拖曳力和力矩分別為

式中:η表示流體黏度;e和ω0分別表示流場(chǎng)的速度梯度張量和渦度矢量，與流場(chǎng)類型有關(guān)．

對(duì)于二維純剪切流場(chǎng):

式中，γs為剪切速率．

對(duì)于單軸拉伸流場(chǎng):

式中，γe為拉伸速率．

對(duì)于剪切-拉伸混合流場(chǎng)，e和ω0可認(rèn)為是兩種流場(chǎng)的疊加［15］:

兩種流場(chǎng)疊加時(shí)形變速率張量第二不變量I2相等，因此，γs和 γe必須滿足 γs=

團(tuán)聚體中的顆粒與單個(gè)顆粒受到的流體拖曳力不同．團(tuán)聚體中的顆粒由于受到周圍顆粒的影響，計(jì)算團(tuán)聚體中每個(gè)顆粒受到的流體拖曳力和力矩時(shí)需要引入一個(gè)有效因子ζ以反映周圍顆粒的影響．團(tuán)聚體中顆粒半徑一致時(shí)，一個(gè)顆粒周圍最多有6個(gè)接觸顆粒，此時(shí)，該顆粒被接觸顆粒包圍，可認(rèn)為它沒有受到流體的作用，即ζ=0;當(dāng)這個(gè)顆粒周圍有5個(gè)接觸顆粒時(shí)，則ζ=1/6;依此類推，當(dāng)這個(gè)顆粒沒有接觸顆粒時(shí)，ζ=1．

1．5 運(yùn)動(dòng)方程求解

采用基于軟球模型的離散元方法，對(duì)運(yùn)動(dòng)方程采用歐拉格式求解［16］．任一時(shí)刻t，根據(jù)團(tuán)聚體中任一顆粒i在空間的位置及其周圍顆粒的位置，可由接觸模型、范德華力模型和流體拖曳力模型計(jì)算出該顆粒受到的接觸力、阻尼力、范德華力和流體拖曳力之和Fi(xi(t))，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程可計(jì)算得到t+Δt時(shí)刻顆粒i的位置和速度，即

當(dāng)初始條件給定時(shí)，就可以由前一時(shí)刻顆粒i的位置和速度確定下一時(shí)刻的位置和速度，進(jìn)而確定團(tuán)聚體在流場(chǎng)作用下的演變過程．

由于對(duì)運(yùn)動(dòng)方程采用歐拉格式求解，因此是條件穩(wěn)定的，時(shí)間步長(zhǎng)必須小于臨界值才能保證算法穩(wěn)定．文中采用簡(jiǎn)諧振動(dòng)法確定臨界時(shí)間步長(zhǎng)，即

式中，C為時(shí)間步長(zhǎng)安全系數(shù)，k為彈簧的剛度．

2 模擬條件及參數(shù)

2．1 顆粒團(tuán)聚體結(jié)構(gòu)生成

在已有的研究中，通常以致密堆積的團(tuán)聚體為對(duì)象，而實(shí)際的團(tuán)聚體結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，通常具有分形結(jié)構(gòu)．在二維情況下，以團(tuán)聚體中心的顆粒為圓心，任意長(zhǎng)度r為半徑的圓內(nèi)含有的顆粒數(shù)為N(r)，若N(r)與r滿足以下關(guān)系:

則認(rèn)為團(tuán)聚體滿足分形結(jié)構(gòu)，其中z為分形維數(shù)，它反映了復(fù)雜形體占有空間的有效性．根據(jù)這個(gè)規(guī)定，生成團(tuán)聚體的方法為:首先在流場(chǎng)中心生成一個(gè)初始顆粒1，然后生成任意一個(gè)與顆粒1相切的顆粒2，再生成第3個(gè)顆粒，該顆粒與之前生成的至少1個(gè)顆粒相切且不與其他顆粒交叉，同時(shí)滿足式(18)，如此重復(fù)下去直到生成所需要的顆粒數(shù)．圖3為采用上述方法生成的團(tuán)聚體，顆粒數(shù)為130，z為1．8．

2．2 計(jì)算參數(shù)

模擬過程中，流場(chǎng)強(qiáng)度必須足夠大才能打破團(tuán)聚體的物理鍵合使其分散．定義流場(chǎng)強(qiáng)度:

圖3 團(tuán)聚體結(jié)構(gòu)Fig．3 Structure of agglomerates

選取不同流場(chǎng)強(qiáng)度下的剪切、拉伸和剪切-拉伸混合流場(chǎng)進(jìn)行團(tuán)聚體分散行為的模擬計(jì)算，流場(chǎng)強(qiáng)度分別為460、820和1200Pa．模擬計(jì)算中的其他參數(shù)如表1所示．

表1 模擬計(jì)算中的參數(shù)Table 1 Parameters used in simulation

3 模擬結(jié)果與分析

3．1 流場(chǎng)形式對(duì)分散過程的影響

流場(chǎng)強(qiáng)度為820Pa時(shí)，模擬計(jì)算得到的團(tuán)聚體在剪切流場(chǎng)、拉伸流場(chǎng)、剪切-拉伸混合流場(chǎng)中的分散過程如圖4所示．

由圖4可見，3種形式的流場(chǎng)中，團(tuán)聚體均先發(fā)生相應(yīng)的變形，然后再分散成碎片或者顆粒，團(tuán)聚體在分散過程中存在剝蝕和破裂兩種分散方式，在團(tuán)聚體內(nèi)部連接較弱的位置更容易發(fā)生破裂，破裂后的碎片中顆粒排列比初始團(tuán)聚體中顆粒排列更為致密．隨著分散的進(jìn)行，顆粒速度增加，顆粒與流體之間的相對(duì)速度減小導(dǎo)致流體拖曳力減小，直至與范德華力達(dá)到平衡時(shí)不再分散．

圖4 流場(chǎng)強(qiáng)度為820 Pa時(shí)團(tuán)聚體在不同流場(chǎng)中的分散過程Fig．4 Time evolution of dispersion of agglomerates in different flow fields at a flow stress of 820Pa

比較團(tuán)聚體在不同流場(chǎng)中的分散行為，可以看出，團(tuán)聚體在拉伸流場(chǎng)中可以獲得較小的碎片，即團(tuán)聚體更容易分散，混合流場(chǎng)次之，而剪切流場(chǎng)的分散能力最低．這是由于團(tuán)聚體在剪切流場(chǎng)中受到剪切應(yīng)力作用后，團(tuán)聚體分散的同時(shí)還存在轉(zhuǎn)動(dòng)，消耗了部分流體傳遞給團(tuán)聚體的能量;此外，團(tuán)聚體在分散過程中顆粒的排列更為緊密，團(tuán)聚體的內(nèi)聚力增加，使其分散變得更為困難．而拉伸流場(chǎng)中團(tuán)聚體沒有轉(zhuǎn)動(dòng)，流體傳遞的能量全部用于團(tuán)聚體的分散，而且團(tuán)聚體在分散過程中顆粒排列較為疏松，顆粒間的內(nèi)聚力較弱，因而團(tuán)聚體最容易分散．混合流場(chǎng)中的剪切分量亦會(huì)使部分能量用于團(tuán)聚體的轉(zhuǎn)動(dòng)，而且分散過程中顆粒的排列也沒有剪切流場(chǎng)中緊密．因此，拉伸流場(chǎng)的分散效率最高，混合流場(chǎng)次之，剪切流場(chǎng)的分散效率最低．

3．2 團(tuán)聚體分散動(dòng)力學(xué)

為了定量分析流場(chǎng)的分散性能，以分散得到的碎片的加權(quán)平均顆粒數(shù)〈w〉表征分散度．采用〈w〉隨時(shí)間的變化曲線來分析分散混合的動(dòng)力學(xué)過程．定義加權(quán)平均顆粒數(shù)為

式中，nl為包含l個(gè)顆粒的碎片數(shù)，l0為團(tuán)聚體初始時(shí)刻的顆粒數(shù)．

流場(chǎng)強(qiáng)度為820Pa時(shí)，團(tuán)聚體在剪切、拉伸和剪切-拉伸混合流場(chǎng)中的分散度隨時(shí)間的變化如圖5所示．

圖5 流場(chǎng)強(qiáng)度為820Pa時(shí)團(tuán)聚體的分散度隨時(shí)間的變化Fig．5 Dispersity of agglomerates changing with time at a flow stress of 820Pa

圖6 不同流場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)在不同流場(chǎng)下團(tuán)聚體的分散度隨時(shí)間的變化Fig．6 Dispersity of agglomerates changing with time in different flow fields with different flow stresses

由圖5可見:剛開始時(shí)團(tuán)聚體只有變形而沒有分散，經(jīng)過一定時(shí)間后才開始分散;拉伸流場(chǎng)中團(tuán)聚體最先開始分散，團(tuán)聚體達(dá)到穩(wěn)定的分散度所用時(shí)間最短，分散度也最小;而剪切流場(chǎng)中團(tuán)聚體從變形到開始分散所用時(shí)間最長(zhǎng)，達(dá)到穩(wěn)定的分散度所用時(shí)間最長(zhǎng)，分散度最大．

流場(chǎng)強(qiáng)度為460和1200 Pa時(shí)，團(tuán)聚體在剪切、拉伸和混合流場(chǎng)中的分散度隨時(shí)間的變化如圖6所示．

觀察圖6發(fā)現(xiàn)，其變化趨勢(shì)和圖5一致．比較圖5和6可以看出，對(duì)于形式相同的流場(chǎng)，隨著流場(chǎng)強(qiáng)度的增加，由于流場(chǎng)作用于團(tuán)聚體的能量增加，團(tuán)聚體從變形到開始分散所用時(shí)間縮短，達(dá)到穩(wěn)定的分散度所用時(shí)間縮短，分散度減?。?/p>

4 結(jié)論

通過對(duì)二維情況下均質(zhì)納米級(jí)球形顆粒組成的具有分形結(jié)構(gòu)的團(tuán)聚體在純剪切、純拉伸和剪切-拉伸混合流場(chǎng)中的分散混合行為進(jìn)行數(shù)值模擬，得出以下結(jié)論:

(1)分形結(jié)構(gòu)團(tuán)聚體在流場(chǎng)中先發(fā)生變形然后再分散，分散過程中存在剝蝕和破裂兩種分散方式，分散后的碎片比初始團(tuán)聚體更加致密．

(2)流場(chǎng)強(qiáng)度相同時(shí)，團(tuán)聚體在拉伸流場(chǎng)中的分散效率最高，碎片平均尺寸最小;在剪切流場(chǎng)中的分散效率最低，碎片平均尺寸最大．

(3)在相同形式的流場(chǎng)中，隨著流場(chǎng)強(qiáng)度增加，團(tuán)聚體的分散效率提高，碎片平均尺寸減?。?/p>

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