韓 靜

（山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院 理學(xué)系，山西 太原 030031）

0 引 言

壽命分析的目的是定量地把握系統(tǒng)或部件壽命的性狀，并把所獲取的信息反饋到設(shè)計(jì)、制造或使用維修中去，以期改善可靠性。從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來(lái)看，可認(rèn)為這些產(chǎn)品來(lái)自于不同的兩個(gè)或多個(gè)子總體，我們稱其為混合分布?；跇O大似然估計(jì)（Maximum Likelihood Estimate，MLE）的方法能獲得對(duì)參數(shù)較高精度的估計(jì)，因此極大似然法往往被用于混合分布的參數(shù)估計(jì)。EM算法雖然可研究混合分布在正常工作條件下的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，但EM 算法可能會(huì)收斂到局部最優(yōu)值［1－2］。針對(duì)極大似然估計(jì)計(jì)算量較大的缺陷，文獻(xiàn)［3-4］結(jié)合遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）實(shí)現(xiàn)參數(shù)的優(yōu)化估計(jì)。然而，遺傳算法容易過(guò)早收斂產(chǎn)生早熟現(xiàn)象。為了克服其不足，文中將模擬退火技術(shù)（Simulated Annealing，SA）引入遺傳算法中，基于極大似然估計(jì)模型利用退火遺傳算法 （Simulated Annealing Genetic Algorithm，SAGA）實(shí)現(xiàn)壽命分布參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)。

1 極大似然函數(shù)法及其優(yōu)化估計(jì)模型的建立［2］

設(shè)壽命分布為雙參數(shù)混合指數(shù)分布，t1，t2，t3，…，tN是來(lái)自母體t的一個(gè)樣本，定義其聯(lián)合概率密度為:

即

其中，σi≥0，λi分別稱為位置參數(shù)和尺度參數(shù)。記

一般采用二重或三重的混合（即i＝2或3），多重混合之所以不常見(jiàn)，主要是模型參數(shù)過(guò)多，參數(shù)估計(jì)困難，也極少需要［5］。

當(dāng)獲得n個(gè)樣本數(shù)據(jù)t1，t2，…，tn之后，樣本的似然函數(shù)為:

要求得此極大似然估計(jì)值，傳統(tǒng)的做法是直接將對(duì)數(shù)似然函數(shù)

關(guān)于各參數(shù)求偏導(dǎo)，使其為零，即

極大似然估計(jì)存在的問(wèn)題是，對(duì)于許多具體問(wèn)題不能構(gòu)造似然函數(shù)解析式，或者似然函數(shù)表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜而導(dǎo)致求解超越方程組（8）非常困難，因此必須借助于其它方法。下面介紹的退火遺傳算法就是一種有效的方法。

2 模擬退火遺傳算法［6］

退火遺傳算法（Simulated Annealing Genetic Algorithm，SAGA），一般而言，首先考慮遺傳算法GA和模擬退火算法SA兩種算法，但是，這兩種算法都各自具有本身的局限性。文中嘗試將兩種算法結(jié)合，豐富其優(yōu)化過(guò)程，從而更有效率地搜索全局最優(yōu)解。

退火遺傳算法按以下主要步驟進(jìn)行:

1）初始化控制參數(shù)，包括種群規(guī)模n，進(jìn)化代數(shù)g，交叉概率pc，變異概率pm，溫度下降因子δ，初始溫度t0。

2）隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)由確定長(zhǎng)度的特征串組成的初始群體。采用實(shí)數(shù)編碼，即每個(gè)染色體表示一個(gè)θ的估計(jì)，也就是說(shuō)，每個(gè)染色體由s個(gè)基因位組成，第k個(gè)基因位表示θ的第k個(gè)分量（k＝1，2，…，s），為方便記，以下將θ的分量統(tǒng)一用x表示，即θ＝（x1，x2，…，xs），并將它與式（4）定義的θ等同對(duì)待。

3）計(jì)算每個(gè)個(gè)體xi的適應(yīng)度函數(shù)值f（xi）。

4）根據(jù)適應(yīng)度值生成新的下一代。

5）根據(jù)交叉概率pc和變異概率pm進(jìn)行交叉與變異操作。

6）利用退火函數(shù)Tk＋1＝vTk，v∈（0，1）執(zhí)行退火操作。

7）決策是否滿足停止迭代的條件，如滿足，輸出最后結(jié)果。否則，轉(zhuǎn)步驟3）。

8）算法結(jié)束。

3 應(yīng)用實(shí)例

為了驗(yàn)證退火遺傳算法在估計(jì)混合指數(shù)分布參數(shù)時(shí)的效率，文中提出的雙參數(shù)指數(shù)混合分布模型在加速應(yīng)力水平下壽命試驗(yàn)完全數(shù)據(jù)場(chǎng)合下進(jìn)行了模擬，在計(jì)算機(jī)上產(chǎn)生了100個(gè)模擬數(shù)據(jù)［7］。

加速應(yīng)力水平為S1＝160K，S2＝395K，S3＝438K，S4＝503K，正常應(yīng)力水平S0＝325K。采用Arrenius加速模型，在每一個(gè)應(yīng)力水平上進(jìn)行定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)，得到一組模擬數(shù)據(jù)，其中ri為截尾數(shù)。

由數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)分布可知，符合指數(shù)類型分布模型如圖1所示。

圖1 數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)分布曲線

進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。首先進(jìn)行指數(shù)分布檢驗(yàn)，結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 基于χ2分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)Ⅰ（單參數(shù)指數(shù)分布擬合）

其中，置信水平為α＝0.1，拒絕域W＝ ｛χ2＜

由表1可以看出，該數(shù)據(jù)不符合單一指數(shù)分布。接下來(lái)進(jìn)行雙參數(shù)指數(shù)分布擬合檢驗(yàn)，結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 基于χ2分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)Ⅱ（雙參數(shù)指數(shù)分布擬合）

由表2可以看出，該分布也不能用單一的雙參數(shù)指數(shù)分布來(lái)表示。

記θ＝［p，q，λ1，λ2，σ1，σ2］，這里，選取 p＝0.6，λ1＝0.5，λ2＝0.6，σ1＝2，σ2＝2.5，分別取種群大小n＝20，40，60，80，100（即樣本數(shù)目），最大進(jìn)化代數(shù)為5 000；交叉概率pc＝0.5；變異概率pm＝0.05；采用算術(shù)交叉和非均勻變異，非均勻變異的系統(tǒng)參數(shù)為0.01；初始溫度t0＝100℃，溫度冷卻系數(shù)δ＝0.95，利用提出的退火遺傳算法對(duì)混合分布的極大似然模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。分別在樣本容量為20，40，60，80，100的時(shí)候各重復(fù)1 000次試驗(yàn)。第i次試驗(yàn)得到的估計(jì)記為

則

估計(jì)結(jié)果及誤差見(jiàn)表3。

表3 完全數(shù)據(jù)場(chǎng)合下的估計(jì)結(jié)果

由表3可以看出，文中采用退火遺傳算法解決極大似然優(yōu)化估計(jì)問(wèn)題，所得到的壽命分布參數(shù)與真值幾乎吻合，隨著樣本的增加，估計(jì)也越準(zhǔn)確，從而證明了文中所提出的方法的有效性。

4 結(jié) 語(yǔ)

基于最大似然估計(jì)法和優(yōu)化理論的基本原理以對(duì)數(shù)似然函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，建立了可靠性壽命分布參數(shù)的最大似然估計(jì)模型，并使用退火遺傳算法求解。該方法既可以克服傳統(tǒng)優(yōu)化技術(shù)易陷入局部最優(yōu)解的缺點(diǎn)，又能夠改善遺傳算法容易早熟的局限性。文中提出的方法具有普遍適用性，可由計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)，計(jì)算精度和效率較高，適用于各種儀器及電工電子元件的可靠性壽命分布參數(shù)的估計(jì)。

［1］ 張士峰.混合正態(tài)分布參數(shù)極大似然估計(jì)的EM算法［J］.飛行器測(cè)控學(xué)報(bào)，2004，23（4）:125-128.

［2］ 王建康，蓋鈞鎰.混合分布理論及應(yīng)用［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1995，10（3）:67-70.

［3］ 方華元，胡昌花，李瑛.基于遺傳算法的威布爾分布的參數(shù)估計(jì)及MATLAB實(shí)現(xiàn)［J］.戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈控制技術(shù)，2007，15（1）:100-103.

［4］ 方華元，胡昌華，樊紅東，等.基于GA的可靠性壽命分布參數(shù)的極大似然優(yōu)化估計(jì)［J］.上海航天，2006，23（2）:50-53.

［5］ Euan W，Mc Gookin，David J，et al.Submarine manoeuvring controllers＇optimisation using simulated annealing and genetic algorithms［J］.Control Engineering Practice，2006，14（1）:1-15.

［6］ 孫雅芳，王曉丹，徐俊彥，等.基于視覺(jué)認(rèn)知的全局優(yōu)化算法［J］.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，31（6）:609-612.

［7］ Marvin A，Arostegui Jr，Sukran N，et al.An empirical comparison of tabu search，simulated annealing，and genetic algorithm for facilities location problem［J］.International Journal of Production E-conomics，2006，103（2）:742-754.