張清華，張憲民

（華南理工大學廣東省精密裝備與制造技術重點實驗室，廣東 廣州 510640）

引 言

為了節(jié)約能源，提高工業(yè)生產率，輕型、高速、高加速度、高精度柔性并聯(lián)機器人在許多領域得到廣泛地應用。柔性并聯(lián)機器人在諸如電子裝配、精密加工與測量、航空航天領域擁有巨大的市場潛力，因此開展柔性并聯(lián)機器人的研究具有十分重要的意義。

最近幾十年，各國學者廣泛開展了對并聯(lián)機器人的研究［1］。1965年，英國高級工程師Stewart提出了一種6自由度并聯(lián)機構—Stewart平臺［2］，該平臺后來被用于飛行模擬實驗。隨后出現(xiàn)了一大批并聯(lián)機器人產品，其中最具代表性的是瑞士洛桑學院的Clavel在1988年開發(fā)的Delta機器人［1］。歷經幾十年的發(fā)展，剛性并聯(lián)機器人的研究已取得了大量成果。然而柔性并聯(lián)機器人作為一種新型的、剛－柔混聯(lián)的機構，多剛體動力學的研究方法已不再適用，建立和求解柔性并聯(lián)機器人的動力學模型是非常具有挑戰(zhàn)性的工作。

近年來，一些國內外學者在柔性并聯(lián)機器人的動力學方面做了一些探索。胡俊峰、張憲民研究了一種新型兩自由度高速并聯(lián)機械手的彈性動力學特性［3］，采用簡化 KED（Kineto－Elastodynamic Analysis）方法建立了系統(tǒng)的動力學模型［4］。張憲民、劉濟科、沈允文等對連桿機構的彈性動力學建模方法進行了探索［5，6］，考慮剛體運動和彈性運動的耦合和剪切變形的影響，并具體分析了一款六桿機構。杜兆才，余躍慶等對平面3－RRR柔性并聯(lián)機器人進行了分析［7］，采用KED方法建立其動力學模型，該模型沒有考慮剛體運動和彈性運動的耦合，對系統(tǒng)約束方程考慮不夠完全。劉增善在其博士論文中系統(tǒng)地研究了空間3－RRS柔性并聯(lián)機器人［8］，用簡化KED方法建立了柔性3－RRS并聯(lián)機器人動力學模型，并對動力學特性進行了分析。多倫多大學機械與工業(yè)工程學院的非線性控制實驗室長期以來致力于并聯(lián)機器人的研究，其中 Wang Xiaoyun，Mills Jeams K等對平面3－PRR柔性并聯(lián)機器人進行了系統(tǒng)地研究［9～12］，并取得了豐碩的成果。Shabana A A系統(tǒng)地闡述了剛－柔混聯(lián)機械系統(tǒng)的動力學建模方法［13］。張策、黃永強等詳細討論了彈性連桿機構的建模和優(yōu)化設計問題［4］。

目前，國際上有關并聯(lián)機器人彈性動力學建模的研究尚處于起步階段，相關的理論還很不成熟。已有的研究結果也存在模型過于復雜難以求解、或未對模型作詳盡分析，不利于理解并聯(lián)機器人的動力學本質特性，也難以在實際應用中提出可有效改善其動態(tài)性能的具體策略或方法。

本文對平面3－RRR柔性并聯(lián)機器人的彈性動力學問題進行了研究，采用有限元法和Lagrange方程建立了系統(tǒng)剛－彈耦合非線性彈性動力學模型。在求解模型時，忽略彈性變形運動對剛體運動的影響，分析了平面3－RRR柔性并聯(lián)機器人動平臺中心的彈性位移、彈性轉角以及柔性桿件所承受的最大應力隨機器人位型的變化關系。

1 機器人結構

平面3－RRR柔性并聯(lián)機器人示意圖如圖1所示：系統(tǒng)由動平臺C1C2C3、靜平臺A1A2A3、3條連接動平臺和靜平臺的柔性支鏈A1B1C1，A2B2C2和A3B3C3組成，且3條支鏈是完全一致的，即A1B1＝A2B2＝A3B3，B1C1＝B2C2＝B3C3，主動桿與從動桿、從動桿與動平臺之間用轉動關節(jié)連接，連桿A1B1，B1C1，A2B2，B2C2，A3B3和B3C3都是柔性桿件，A1，A2和A3是驅動關節(jié)，B1，C1，B2，C2，B3和C3是被動關節(jié)，O為正三角形靜平臺A1A2A3的中心，P為正三角動平臺C1C2C3的中心，O－XY為全局固 定 坐 標 系，α1，β1，α2，β2，α3，β3分 別 為 連 桿A1B1，B1C1，A2B2，B2C2，A3B3，B3C3與X軸正方向所成的夾角，θ為正三角形C1C2C3的邊C1C2與X軸正方向所成的夾角。

圖1 并聯(lián)機器人示意圖Fig．1 Diagram of the parallel robot

2 單元動力學方程

圖2 單元動力學模型Fig．2 Dynamic model of beam element

將支鏈中的柔性連桿視為由梁單元組成，梁單元如圖2所示，O－XY為全局固定坐標系，A－xy為固連于單元端點A處的局部坐標系，且x軸沿著未變形梁單元的中性線。A，B為單元的兩個端點，C為單元中軸線上的任意一點，經彈性變形后到達C′處，假設單元兩端點在局部坐標系中的廣義彈性坐標用向量ef＝［e1，e2，e3，e4，e5，e6，e7，e8］T表示，式中e1，e5為端點A，B的軸向變形位移，e2，e6為其橫向變形位移，e3，e7為其彈性轉角，e4，e8為兩端點處的曲率。那么點C′在局部坐標系下的位移可以表示為

式中N（x）表示型函數(shù)。

由圖2可知，點C′在固定坐標系O－XY中的位移為

在使用Lagrange方程導出單元動力學方程之前，首先計算單元的動能和彈性應變能。

2．1 單元動能

1）平動動能

在求得單元上任意一點相對于固定坐標系的速度后，單元的平動動能可以表示為

式中mm（q）為廣義坐標向量q的函數(shù)。

2）梁單元截面轉動動能［4］

式中θ（x，t）是寬為dx的微段在真實運動中的絕對轉角，dJc＝ρIdx是微段dx繞其自身質心的轉動慣量，且

假設單元兩端點處的集中質量分別為mA，mB；集中轉動慣量分別為JA，JB。

3）集中質量的平動動能［4］

集中質量的平動動能可按如下方法計算：

則單元端點集中質量的平動動能為

4）集中質量轉動動能［4］

類似于梁單元截面轉動動能，可求得集中質量的轉動動能為

因此總的動能

式中m＝mm＋mcm＋mr＋mcr。

2．2 單元應變能

忽略剪切和屈曲應變能，根據(jù)材料力學，單元應變能可以表示為

2．3 單元動力學方程

根據(jù)拉格朗日方程，可以導出單元的動力學方程

式中pe為單元所受廣義外力，pv為單元的的二次速度向量，包括運動單元的科氏力和離心力且是廣義坐標q和˙q的函數(shù)。

利用虛功原理可以導出單元的廣義外力，設F為作用在單元上任意一點C′處的外力或外力矩，那么在外力F作用下的虛功可以表示為

根據(jù)式（2）有

把式（14）代入式（13）得

又有

比較式（15）和（16），可得點C′處的廣義外力為

因此整個單元的廣義外力為

為了形成系統(tǒng)動力學方程，必須把在局部坐標系下描述的單元動力學方程轉移到固定坐標系上來。首先，定義8×8階的固定坐標系到局部坐標系的轉移矩陣B，則

式中Ef為單元在固定坐標系下的廣義坐標向量。

式（19）對時間t求1和2階導數(shù)

把式（19）和（20）代入式（12），并左乘矩陣

可得

3 約束方程

分析平面3－RRR柔性并聯(lián)機器人，動平臺在XY平面內自由運動。3條柔性支鏈通過剛性動平臺相連，使得各支鏈的彈性位移存在非線性耦合關系。因為系統(tǒng)是完全對稱的，僅對其中一條支鏈Ai－Bi－Ci－P進行分析。如圖 3 所示，L1，L2，L3，L4分別為向量AiBi，BiCi，CiP，OAi的長度。

3．1 剛體運動約束

把式（22）寫成沿X，Y軸的分量形式，可得如下6個約束方程

圖3 支鏈Fig．3 The kinematic chain

式中XAi，YAi分別表示點Ai在固定坐標系O－XY中沿X，Y軸的坐標分量。

3．2 彈性坐標約束

可得

式中 I表示2階單位矩陣。

同時動平臺彈性轉角與動平臺相連的柔性桿末端點的彈性轉角有如下的關系

4 系統(tǒng)動力學方程

設U是系統(tǒng)的廣義坐標向量，考慮約束方程式（23）～（25），組裝單元動力學方程式（21），可得系統(tǒng)動力學方程為

上兩式中α＝［α1，α2，α3］T，U＝［U11，U12，…，U1n，…，U3n，ΔXP，ΔYP，Δε］T。

5 仿真計算

假設動平臺的運動軌跡為

所有柔性桿件和動平臺的材料都是硬鋁合金，彈性模量為E＝0．7×105MPa，泊松比μ＝0．3，密度ρ＝2 712kg／m3，彈性桿件的橫截面寬d＝0．04 m，高h＝0．01m，動平臺厚c＝0．017 1m，L1＝AiBi＝0．245m，L2＝BiCi＝0．242m，L3＝CiP＝0．108m，L4＝AiP＝0．4m，i＝1，2，3，關節(jié)處的集中質量和集中轉動慣量分別為0．15kg和0．000 5 kg·m2，假設系統(tǒng)的結構阻尼ζ＝0．003，每根柔性桿件被劃分為3個梁單元，單元劃分和節(jié)點坐標編號如圖3所示。

圖4 動平臺中心X方向彈性位移Fig．4 Xdirection elastic displacement of center of the moving platform

圖5 動平臺中心Y方向彈性位移Fig．5 Y direction elastic displacement of center of the moving platform

圖6 動平臺彈性轉角Fig．6 Angle of deflection of the moving platform

圖7 彈性連桿的最大應力Fig．7 Maximal stress of the flexible links

采用KED假設，忽略機器人彈性變形運動對剛體運動的影響。用MATLAB軟件進行仿真計算，并和簡化KED方法的計算結果進行比較［4］。動平臺按式（29）給定的圓軌跡運動一周后停止。仿真結果如圖4～7所示，圖中0～0．2s時間段的曲線分別表示系統(tǒng)運動時動平臺中心沿X軸彈性振動位移、Y軸的彈性振動位移、動平臺的彈性轉角以及柔性連桿的最大應力變化，0．2～0．8s時間段的曲線是系統(tǒng)運行一周后動平臺的殘余振動情況和柔性連桿的最大殘余應力變化情況。其中虛線表示簡化KED方法的計算結果，實線表示本文方法的計算結果。從圖4～7可知：采用本文的建模方法，在X方向，動平臺中心的最大、最小彈性位移分別是0．916 4和－1．016mm；在Y方向，其最大、最小彈性位移分別是0．738 3和－0．797 8mm；動平臺的最大、最小彈性轉角分別是0．000 894 1和－0．001 087 rad；柔性連桿的最大應力為75．05MPa。而采用簡化KED方法，在X方向，動平臺中心的最大和最小彈性位移分別是2．464和－2．316mm；在Y方向，其最大、最小彈性位移分別是1．943和－2．027mm；動平臺的最大、最小彈性轉角分別是0．000 924 6和－0．002 071rad；柔性連桿的最大應力是167MPa。

分析圖4～6，可知兩種建模方法計算的彈性變形位移和柔性連桿的最大應力相差很大，主要原因是本文的建模方法考慮了科氏加速度和牽連加速度中的剛體運動對彈性運動的影響，同時由于坐標變換矩陣的時變性，從而引起系統(tǒng)的阻尼和剛度發(fā)生變化。同時還發(fā)現(xiàn)用本文的建模方法計算的彈性位移要小于簡化KED方法計算得到的結果，那是因為本文建模方法考慮了變換矩陣的時變性以及計入了剛體運動的科式力和離心力，導致廣義質量、阻尼、剛度以及廣義外力矩陣發(fā)生變化，進而使得彈性位移減少。因此在建立平面3－RRR柔性并聯(lián)機器人動力學模型時，不能過分地簡化，科氏加速度等因素對系統(tǒng)彈性動力學特性的影響是至關重要的。比較發(fā)現(xiàn)，兩曲線的變換趨勢具有一致性，因此從定性分析層面講，簡化KED法具有一定的理論意義。

6 結束語

本文基于浮動坐標系法、有限元方法以及拉格朗日方程和虛功原理建立了平面3－RRR柔性并聯(lián)機器人的彈性動力學模型，該模型考慮了剛體運動和彈性變形運動的耦合，詳細考慮了剛體運動約束和彈性坐標約束關系，所建立的模型是二階時變非線性耦合微分方程。結合具體實例，在給定動平臺運動軌跡的情況下，運用Matlab軟件求解了本文所建立的彈性動力學模型。在求解過程中，忽略了彈性變形運動對剛體運動的影響，計算了動平臺的彈性位移和彈性轉角和柔性連桿在不同位姿下的最大應力。通過比較本文的建模方法與簡化KED方法，結果表明：剛體運動的科氏力和離心力以及坐標變換矩陣的時變性對系統(tǒng)動力學特性有至關重要的影響。實驗平臺正在搭建之中，今后將結合實驗對平面3－RRR柔性并聯(lián)機器人的彈性動力學建模作進一步地研究。對系統(tǒng)的耦合特性作更深入地分析。

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