吳會(huì)英，陳宏宇，周美江，慕忠成

(上海微小衛(wèi)星工程中心，上海，201203)

1 引言

隨著航天技術(shù)的發(fā)展，伴隨小衛(wèi)星協(xié)助主航天器開展完成航天任務(wù)越來(lái)越受到人們的關(guān)注。伴隨小衛(wèi)星一般搭載主航天器進(jìn)入軌道，一段時(shí)間后從主航天器釋放，通過(guò)軌道機(jī)動(dòng)形成伴隨飛行軌道［1-4］。由于伴隨衛(wèi)星攜帶燃料較少，故而希望利用其既有資源以最大效率地進(jìn)行軌道調(diào)整。在軌控量一定的情況下，控制時(shí)機(jī)和控制方向是軌控策略的核心。本文基于相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，在速度增量大小一定的前提下，對(duì)伴隨衛(wèi)星最大效率軌道調(diào)整的控制時(shí)機(jī)和控制方向進(jìn)行推導(dǎo)，并用仿真實(shí)例來(lái)驗(yàn)證理論的正確性。最后以伴隨衛(wèi)星從主星釋放后的軌道駐留為例，給出其燃料最省的軌控策略。

2 相對(duì)軌道控制理論

2.1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)理論

伴隨衛(wèi)星從主星釋放后協(xié)助主星開展航天任務(wù)，二者之間的距離相比其地心距很小(小于千分之一)，可用相對(duì)運(yùn)動(dòng)理論進(jìn)行研究。根據(jù)文獻(xiàn)［1］的推導(dǎo)結(jié)果，在主星軌道坐標(biāo)系下，相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的解為:

主星軌道坐標(biāo)系定義為:原點(diǎn)在主航天器質(zhì)心，x軸徑向朝天，y軸在軌道面內(nèi)垂直于x軸沿飛行方向，z軸符合右手法則。n為主星軌道角速度。

由相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的解可知，相對(duì)運(yùn)動(dòng)可分解為軌道面內(nèi)和垂直于軌道面兩個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)，本文只研究軌道面內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)情況?，F(xiàn)引入?yún)?shù)b和φ角，使:

則(1)式可寫成如下參數(shù)形式:

其中，

參數(shù)解的幾何意義是一軌道面內(nèi)長(zhǎng)半軸為短半軸兩倍的沿跡方向漂移橢圓:

2.2 軌控時(shí)機(jī)對(duì)控制效率的影響

由上文推導(dǎo)可知，對(duì)伴隨衛(wèi)星的軌道控制會(huì)改變相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓的大小。由于伴隨衛(wèi)星攜帶燃料有限，所以需要選擇合適的控制時(shí)機(jī)和控制方向，最大效率地改變相對(duì)橢圓的大小。當(dāng)控制量為相對(duì)小量時(shí)，對(duì)(2)式求全微分，將(4)式代入可得:

設(shè)控制量v與y軸正方向的夾角為θ，則有ΔVy=vcosθ，ΔVx=vsinθ，那么:

其中θ0為引入的參數(shù)角，其計(jì)算表達(dá)式如下:

2.2.1 Δb取最大值時(shí)的控制時(shí)機(jī)和控制角度1)控制角度約束

由相對(duì)運(yùn)動(dòng)參數(shù)方程(4)式可知相對(duì)運(yùn)動(dòng)曲線的傾斜角φ滿足:

結(jié)合上面(10)式易知 tan θ=tan φ，θ=kπ +φ，即速度增量作用方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向平行;

小結(jié):速度增量的作用方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向平行是最大效率地改變相對(duì)橢圓大小的必要條件。

2)控制時(shí)機(jī)約束

小結(jié):在速度增量平行于相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向的前提下，在相對(duì)橢圓徑向上、下點(diǎn)控制，對(duì)相對(duì)橢圓大小的改變效率最高。

小結(jié):在速度增量平行于相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向的前提下，在相對(duì)橢圓徑向中點(diǎn)進(jìn)行控制，對(duì)相對(duì)橢圓大小的改變效率最小。

3)總結(jié)

平行于相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向作用的速度增量對(duì)相對(duì)橢圓大小的改變效率最高。其中在相對(duì)橢圓上、下點(diǎn)作用的速度增量對(duì)相對(duì)橢圓大小的改變量最大，在相對(duì)橢圓徑向中點(diǎn)作用的速度增量對(duì)相對(duì)橢圓大小的改變量最小。沿相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向作用的速度增量將增大相對(duì)橢圓，反相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向作用的速度增量會(huì)減小相對(duì)橢圓。

2.2.2 Δb為零時(shí)的控制時(shí)機(jī)和控制角度

Δb=0 時(shí)，sin(θ+θ0)=0，θ+ θ0=kπ，θ0=kπ-θ，有:

tanθ0=-2tan(nt+φ)?tanθ=2tan(nt+φ)

而相對(duì)運(yùn)動(dòng)曲線傾斜角tanφ=-1/2cot(nt+φ)，那么 tanφ ×tanθ=-1，即速度增量的作用方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向垂直。

小結(jié):在相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓的任意點(diǎn)作用與相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向垂直的速度增量都不改變相對(duì)橢圓的大小。

2.2.3 結(jié)論

平行于相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向作用的速度增量是最大效率改變相對(duì)橢圓大小的必要條件，其中在相對(duì)橢圓徑向上、下點(diǎn)作用速度增量對(duì)相對(duì)橢圓大小的改變效率最高;垂直于相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向作用速度增量不改變相對(duì)橢圓的大小。為便于理解，用圖1～2來(lái)說(shuō)明上述理論，其中綠色箭頭為相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向，藍(lán)色箭頭為控制方向。

圖1 平行于相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向控制Fig.1 Control direction is parallel to the relative movement

圖2 垂直于相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向Fig.2 Control direction is horizontal to the relative movement

3 仿真實(shí)例

3.1 形成伴隨飛行橢圓

伴隨衛(wèi)星釋放前搭載在主星上，軌道根數(shù)如表1所示。

表1 仿真初始軌道根數(shù)Table 1 Initial elements for simulation

初始時(shí)刻對(duì)伴隨衛(wèi)星施加反沿跡方向0.2 m/s的速度增量，伴隨衛(wèi)星從主星釋放。半軌(46分20秒)后再次施加沿跡方向0.2 m/s的速度增量，形成如圖3所示的伴隨飛行橢圓。橢圓中心(1.7，0)，橢圓短半軸長(zhǎng)0.708 km。仿真采用STK的HPOP模型［5］，忽略攝動(dòng)影響。

圖3 初始伴隨飛行橢圓Fig.3 Initial company flight ellipse

選擇圖4所示的特征點(diǎn)進(jìn)行仿真驗(yàn)算，其中紅色箭頭為相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向，綠色箭頭為控制方向。

圖4 仿真控制點(diǎn)Fig.4 Controlling points of the simulation

3.2 特征點(diǎn)仿真

對(duì)控制點(diǎn)1～4施加圖4所示的速度增量，速度增量作用前后伴隨衛(wèi)星在主星軌道坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)曲線如圖5～8所示。其中紅色曲線表示原始繞飛橢圓，藍(lán)色曲線表示進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)后的繞飛橢圓。

圖5 在1點(diǎn)沿徑向控制Fig.5 Curves for controlled at point 1

圖6 在3點(diǎn)沿徑向控制Fig.6 Curves for controlled at point 3

圖7 在2點(diǎn)沿跡向控制Fig.7 Curves for controlled at point 2

表2 平行于相對(duì)飛行方向控制仿真結(jié)果與理論結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparisons between theoretical results and simulating results for the parallel control

表3 垂直于相對(duì)飛行方向控制仿真結(jié)果與理論結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparisons between theoretical results and simulating results for the horizontal control

圖8 在4點(diǎn)沿跡向控制Fig.8 Curves for controlled at point 4

仿真結(jié)果如表2所示，其結(jié)果驗(yàn)證了理論的正確性。

仿真中發(fā)現(xiàn)在控制點(diǎn)5、6垂直于飛行方向施加速度增量，相對(duì)橢圓大小的改變量不為零，但推遲或提前一定時(shí)刻，則可使改變量為零。對(duì)控制點(diǎn)1、2、3、4作用垂直于飛行方向的速度增量的仿真也出現(xiàn)這一現(xiàn)象，如表3所示。

出現(xiàn)這種情況的原因是:前面的理論是基于控制量為相對(duì)小量導(dǎo)出的，而本文仿真實(shí)例中，初始相對(duì)橢圓短半軸b=708 m，控制量引起的相對(duì)橢圓短半軸改變量Δb為10～102m量級(jí)，Δb相對(duì)b不為小量，需精確推導(dǎo)Δb的表達(dá)式。

設(shè)初始相對(duì)橢圓短半軸為b，控制量ΔVy、ΔVs使相對(duì)橢圓短半軸改變量為Δb，則有:

式(12)中的兩式相減，再代入式(4)，可得:

容易看出，當(dāng)控制量引起的相對(duì)橢圓短半軸改變量Δb相對(duì)于初始相對(duì)橢圓短半軸b為小量時(shí)，(13)式忽略小量就是(7)式。

本文的仿真實(shí)例不能忽略小量，用(7)式近似表達(dá)Δb會(huì)導(dǎo)致理論計(jì)算與仿真結(jié)果有一定的偏差。但對(duì)特征點(diǎn)的仿真發(fā)現(xiàn)，垂直于相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向控制體現(xiàn)出了這一偏差，而平行于相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向控制理論計(jì)算與仿真結(jié)果一致，沒(méi)有體現(xiàn)出這一偏差。下面以控制點(diǎn)2和控制點(diǎn)3為例，對(duì)平行于相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向控制和垂直于相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向控制兩種情況，用(7)式近似表示Δb引起的偏差進(jìn)行定量分析。

3.2.1 垂直于相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向進(jìn)行控制

1)控制點(diǎn)3:nt+φ =0°，ΔVy=0.2 m/s，ΔVx=0

由(13)式可知精確的相對(duì)橢圓短半軸改變量為，

與表3中仿真結(jié)果Δb=83.7 m一致。

2)控制點(diǎn)2:nt+φ =270°，ΔVy=0，ΔVx=0.2 m/s

由(13)式可知精確的相對(duì)橢圓短半軸改變量為:

與表3中仿真結(jié)果Δb=21.9m一致。

3)其他特征點(diǎn)垂直于相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向控制精確的相對(duì)橢圓短半軸改變量計(jì)算方法同上。

計(jì)算表明當(dāng)控制量引起的相對(duì)橢圓短半軸改變量Δb相對(duì)于初始相對(duì)橢圓短半軸不為小量時(shí)，垂直相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向的控制并非不改變相對(duì)橢圓短半軸長(zhǎng)度的控制方式，近似表達(dá)導(dǎo)致的偏差可用上面的方法計(jì)算出來(lái)。

3.2.2 平行于相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向進(jìn)行控制

1)控制點(diǎn)3:nt+φ =0°，ΔVy=0，ΔVx=0.2 m/s

由(13)式可知精確的相對(duì)橢圓短半軸改變量為:

從公式(7)可知近似的Δb表達(dá)為:

近似表達(dá)與精確表達(dá)一致。

2)控制點(diǎn)2:nt+φ =270°，ΔVy=0.2 m/s，ΔVx=0

由(13)式可知精確的相對(duì)橢圓短半軸改變量為:

從公式(7)可知近似的Δb表達(dá)為:

近似表達(dá)和精確表達(dá)一致。

3)其他特征點(diǎn)平行于相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向控制Δb的近似表達(dá)與精確表達(dá)也一致。

計(jì)算表明，即使控制量引起的相對(duì)橢圓短半軸改變量Δb相對(duì)初始相對(duì)橢圓短半軸b不為小量，但用近似表達(dá)進(jìn)行分析，仿真結(jié)果也和理論結(jié)果吻合得很好。

3.3 燃料最省的軌道駐留軌控策略

以主航天器伴隨衛(wèi)星的實(shí)際釋放為例，應(yīng)用上面理論求解伴星與主星在同一軌道上并超前主星2 km以上駐留的軌控策略。伴星相對(duì)主星的釋放速度大小為0.5 m/s，釋放方向如圖9所示。

圖9 伴星釋放示意圖Fig.9 Release sketch of company satellite

由相對(duì)運(yùn)動(dòng)理論可知，伴星釋放后會(huì)形成相對(duì)主星的沿跡方向漂移橢圓，橢圓短半軸長(zhǎng)由公式(2)計(jì)算可得b=462.20 m。

如果只做一次控制，需要在相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓上與釋放點(diǎn)相同相位的點(diǎn)處施加與釋放速度增量大小相等、方向相反的控制，再考慮伴星超前主星2 km的條件，控制效果如圖10所示。

圖10 伴星釋放后一次軌控示意圖Fig.10 One-time orbit controlling curve after the company satellite released

根據(jù)本文的理論，可知圖10的一次控制其控制時(shí)機(jī)非效率最高，現(xiàn)分解為兩次控制:

1)第一次控制在相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓徑向上點(diǎn)作用沿跡方向、大小等于Δv1=y·0的速度增量，以形成伴隨飛行橢圓，由(2)式可知此時(shí)相對(duì)橢圓短半軸減小:Δb1=153.72 m。

第一次控制效果如圖11所示，紅色曲線為從伴星釋放到第一次軌控的漂移橢圓，藍(lán)色曲線為第一次軌控后形成的伴隨飛行橢圓。

圖11 伴星釋放后兩次軌控第一次控制Fig.11 Curves of first control in two-time orbit control after the company satellite released

2)第二次控制在徑向中點(diǎn)作用沿徑向的速度增量，速度增量大小應(yīng)恰好將當(dāng)前的相對(duì)橢圓短半軸減小為零，以達(dá)到相對(duì)駐留，所以第二次控制的速度增量大小為:Δb2=0.34848 m/s。

第二次控制效果如圖12所示，綠色五角星為第二次軌控點(diǎn)，第二次軌控后伴隨衛(wèi)星相對(duì)橢圓短半軸減小為零，相對(duì)主星在這個(gè)點(diǎn)駐留。

圖12 伴隨衛(wèi)星釋放后兩次軌控第二次控制Fig.12 Curves of second control curves in two-time or bit control after the company satellite released

綜上所述，若只進(jìn)行一次軌控，所需速度增量Δv=0.5 m/s;若進(jìn)行兩次軌控，所需速度增量Δv=|Δv1|+|Δv2|=0.4553 m/s，小于一次控制所需速度增量，是燃料最省的軌控方案。

4 結(jié)論

本文通過(guò)理論推導(dǎo)和仿真結(jié)合的方法給出了伴隨衛(wèi)星控制時(shí)機(jī)對(duì)于改變相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓大小的效率的影響，證明了:平行于相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向進(jìn)行軌控是最大效率改變相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓大小的必要條件，其中在相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓徑向上、下點(diǎn)進(jìn)行軌控的效率最高。以主航天器伴隨衛(wèi)星的軌道駐留為例，應(yīng)用這個(gè)理論求解了燃料最省并滿足約束的軌控方案。

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