蔡莉莉,張 琳
(華北科技學(xué)院,河北 廊坊 065201)
Matlab是一套高性能的數(shù)值計(jì)算和可視化軟件,具有強(qiáng)大的數(shù)值、符號(hào)計(jì)算及繪圖、動(dòng)畫功能,能形象生動(dòng)、準(zhǔn)確和科學(xué)地反映物理學(xué)問(wèn)題[1-2],而且該軟件編程處理方便,效果形象直觀。麥克斯韋速率分布函數(shù)是大學(xué)物理熱學(xué)教學(xué)中很重要的一部分內(nèi)容,是研究氣體分子熱運(yùn)動(dòng)、氣體分子碰撞、大量分子熱運(yùn)動(dòng)服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律性等問(wèn)題的重要理論依據(jù)[3]。由于這部分內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識(shí)涉及概率、積分等復(fù)雜公式,其理論抽象、計(jì)算量大、曲線難畫,而 Matlab在數(shù)學(xué)推導(dǎo)、計(jì)算、繪圖上有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)[4],所以將Matlab軟件的繪圖和計(jì)算能力用于麥克斯韋速率分布函數(shù)的教學(xué)和研究中,通過(guò)Matlab形象地反映出復(fù)雜的物理函數(shù)式的含義及變化規(guī)律。在教學(xué)上更能生動(dòng)和形象地以可視化形式展現(xiàn)熱運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的圖像,使需經(jīng)過(guò)復(fù)雜的理論學(xué)習(xí)、抽象的思維理解才能認(rèn)識(shí)的現(xiàn)象,簡(jiǎn)單而直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前,幫助學(xué)生更深刻地理解和掌握麥克斯韋速率分布曲線的物理含義[5]。
麥克斯韋認(rèn)為:在任何方向,在單位速度間隔v~v+dv內(nèi)的分子數(shù)dN與總分子數(shù)N0的比值的分布規(guī)律為[6]
其中,k是波爾茲曼常數(shù)是熱力學(xué)溫度;m是分子的質(zhì)量;v是某方向的速度,F(xiàn)(v)就稱為麥克斯韋速度分布函數(shù)。對(duì)該函數(shù)用Matlab編程,以文件maxwellsd.m為名存盤,得到同種氣體(以氧氣為例)在不同溫度下的F(v)~v曲線圖,編程語(yǔ)句如下:
當(dāng)分子的質(zhì)量一定時(shí),溫度是參數(shù),麥克斯韋速度分布函數(shù)的曲線形狀由溫度決定[7],圖1是氧氣分子在不同溫度下的麥克斯韋速度分布曲線,從圖中可見(jiàn)不論溫度如何,分布函數(shù)的曲線都是對(duì)稱的,這說(shuō)明在相等的速度間隔內(nèi),運(yùn)動(dòng)速度方向相反的分子數(shù)是同樣多的,因而分子的平均速度為零,證實(shí)了熱運(yùn)動(dòng)中氣體分子沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的機(jī)會(huì)均等[8]。另外在F(v)~v曲線中間有一個(gè)峰值,這說(shuō)明在速度接近零的速度間隔內(nèi),分子數(shù)比較多,而速度很大的分子比較少,而且溫度升高峰值降低,而峰寬相應(yīng)增加,表明在相同的速度間隔內(nèi),隨著溫度的升高速度小的分子減少了,速度大的分子增加了,說(shuō)明溫度越高分子運(yùn)動(dòng)越劇烈。
圖1 不同溫度下麥克斯韋速度分布曲線
當(dāng)只考慮速度的大小而不考慮速度的方向時(shí),速度分布律蛻化為速率分布律。在三維速度空間中,在速度間隔vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz內(nèi),分子數(shù)占總分子數(shù)的比例為[9]
引入速度空間的球坐標(biāo)v,θ,φ以球坐標(biāo)的體積元v2sinθdvdθdφ代替直角坐標(biāo)空間的體積元dvxdvydvz,并對(duì)方位角φ從0到2π積分,對(duì)仰角θ積分,體積元變?yōu)?πv2dv,(2)式可改
寫為
令
(3)式就是麥克斯韋速率分布函數(shù),以溫度為參數(shù)對(duì)(3)式進(jìn)行編程,編程語(yǔ)句只需將文件maxwellsd.m中的速度分布函數(shù)改為速率分布函數(shù),將速率分布范圍設(shè)置為(0~1 600)m以文件maxwellsl.m為名存盤,運(yùn)行該程序后得到不同溫度下的速率分布函數(shù),見(jiàn)圖2。圖2中清晰地顯示,隨著溫度的升高,速率分布曲線變得平緩,峰值右移,向高速區(qū)域擴(kuò)展,其最概然速率增大,說(shuō)明溫度越高,分布在高速率區(qū)間的分子數(shù)所占百分比就越大,這就是通常所說(shuō)的溫度越高,分子運(yùn)動(dòng)越劇烈的真正含義。由于歸一化條件的約束,其速率分布函數(shù)(峰值)減小,因此分布曲線在寬度增大的同時(shí),高度降低,分布也就越趨均勻,整個(gè)曲線將變得“較平坦”。對(duì)于溫度為300K對(duì)應(yīng)的曲線速率超過(guò)1 200m/s的分子數(shù)趨于0,而對(duì)于溫度為600K對(duì)應(yīng)的曲線速率要大于1 600m/s才趨于0。
圖2 不同溫度下麥克斯韋速率分布曲線
以質(zhì)量為參數(shù)對(duì)(3)式進(jìn)行編程時(shí),只需修改文件maxwellsl.m中的溫度和氣體分子質(zhì)量即可。在溫度一定的情況下,不同分子的質(zhì)量是參數(shù),麥克斯韋速率分布的函數(shù)曲線會(huì)隨質(zhì)量這個(gè)參數(shù)的改變而有所改變。圖3中分別是氖氣、氮?dú)?、氧氣和氟氣在同一溫度?00K)下處于平衡態(tài)時(shí)的速率分布曲線,由圖清晰地看到隨著氣體分子質(zhì)量的增加,其最概然速率減小,但其速率分布函數(shù)的峰值增大,說(shuō)明在相同速率間隔內(nèi),向著各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的速率大的分子數(shù)量比較多,速率小的分子數(shù)量比較少,也就是說(shuō):在相同溫度下,質(zhì)量較大的分子運(yùn)動(dòng)的劇烈程度較小。平均平動(dòng)動(dòng)能僅與平衡態(tài)下的溫度有關(guān)[10],因此,分子質(zhì)量越小,其運(yùn)動(dòng)就越劇烈,最概然速率也越大,分布在高速率區(qū)間的分子數(shù)百分比就越大,分布也越趨均勻。
圖3 同一溫度不同氣體的麥克斯韋速率分布曲線
根據(jù)麥克斯韋速率分布可求任何一個(gè)速率段的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例,設(shè)總分子數(shù)為N0,分子速率在區(qū)間0~v的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比可表示為[11]
(5)代入(4),得
利用Matlab中的梯形累積函數(shù)cumtrapz可計(jì)算(6)式積分值,編程語(yǔ)句如下:
將Matlab數(shù)值計(jì)算結(jié)果作圖得到圖4,從圖中看到,分子速率在0~v之間的分子數(shù)占分子總數(shù)的比例隨著v單調(diào)增加,這是因?yàn)関越大,0~v之間的分子數(shù)就越多。圖4給出了三種典型速率處的分子百分率,當(dāng)x=v/vp=l即v=vp時(shí),分子數(shù)占分子總數(shù)的比例是42.8%,分子數(shù)小于總分子數(shù)的一半,而分子速率大于最概然速率vp的分子占總數(shù)的比例是57.2%,超過(guò)總分子分子速率小于平均速率的分子數(shù)占分子總數(shù)的比例是53.31%,分子數(shù)超過(guò)總分子數(shù)的一半;當(dāng)x方均根速率的分子數(shù)占分子總數(shù)的比例是60.84%;當(dāng)x=2.5即v=2.5vp時(shí),分子速率從0到v的分子數(shù)就占了全部分子數(shù)的絕大部分。
圖4 0~u之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例
通過(guò)Matlab軟件在大學(xué)物理熱學(xué)部分的麥克斯韋分布律的教學(xué)中的實(shí)例應(yīng)用,可見(jiàn)該軟件在大學(xué)物理教學(xué)中有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì):第一,由Matlab繪制的分布曲線具有精確的位置關(guān)系、描述準(zhǔn)確的數(shù)據(jù),引入課堂帶來(lái)生動(dòng)感、真實(shí)感,起到非常好的教學(xué)輔助作用;第二,利用Matlab可以很方便地將數(shù)值計(jì)算的結(jié)果可視化,可以利用Matlab解物理方程及微積分問(wèn)題,從而擺脫枯燥乏味的數(shù)學(xué)運(yùn)算;第三,可以利用Matlab強(qiáng)大的繪圖功能把復(fù)雜物理公式中的規(guī)律直觀地展現(xiàn)出來(lái),從而更深入地理解其中的物理奧秘。總之,通過(guò)Matlab軟件的使用可以有效地提高教學(xué)效率,讓學(xué)生更直觀地理解物理原理,可以降低實(shí)驗(yàn)教學(xué)的成本,提高教學(xué)效果。
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