吳 頔，方國(guó)洪＊，滕 飛，崔欣梅

（1.國(guó)家海洋局 第一海洋研究所，山東 青島266061；2.海洋環(huán)境科學(xué)和數(shù)值模擬國(guó)家海洋局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島266061）

1920年，Taylor將等深矩形海灣里的潮波，分解為入射和反射的Kelvin波以及一族Poincaré波［1］（稱為Taylor問題［2］），此后眾多學(xué)者在此基礎(chǔ)上進(jìn)行研究和推廣。Godin［3-4］將幾個(gè)“Taylor模型”組合并考慮開邊界強(qiáng)迫。陳宗鏞［5］、方國(guó)洪和王仁樹［6］、Rienecker和 Teubner［7］以及趙進(jìn)平和侍茂崇［8］在經(jīng)典 Taylor模型的基礎(chǔ)上引入摩擦項(xiàng)，考慮了能量耗散問題。1973年，Brown［9］成功地采用了Defant的配置法［10］，克服了Kelvin波不完全反射時(shí)求解困難的問題，同時(shí)也使配置法成為拓展Taylor問題的有力工具，為后續(xù)的許多研究者沿用。但上面的研究只適用于半無(wú)限長(zhǎng)海區(qū)。1991年，F(xiàn)ang等［11］將方國(guó)洪和王仁樹的解［6］加以拓展，考慮了灣口處的強(qiáng)迫邊界條件，給出適用于有限區(qū)域、包含摩擦效應(yīng)的Taylor問題通解，進(jìn)一步推廣了 Taylor解析模型適應(yīng)的范圍。之后 Xia等［12］，Carbaijal［13］，Rizal［14-15］，Molen等［16］，Kagan等［17］，Roos和Schuttelaats［18-19］均針對(duì)不同海區(qū)采用有限區(qū)域的Taylor問題解進(jìn)行研究。夏綜萬(wàn)［20］對(duì)Taylor問題作出系統(tǒng)論述。

這些研究，除Rizal［15］外，都主要關(guān)注于中高緯度海域，所得潮波系統(tǒng)在北半球均為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的系統(tǒng)。位于9°N左右的泰國(guó)灣，其科氏參量遠(yuǎn)小于M2潮波角頻率，存在一個(gè)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的M2潮波系統(tǒng)，特別值得予以理論上的解釋。我們以Fang等［11］的模型為基礎(chǔ)，建立了一個(gè)雙矩形的海灣模型，以研究泰國(guó)灣的潮波問題。該模型不但考慮了摩擦耗散和開邊界強(qiáng)迫，其雙矩形結(jié)構(gòu)囊括泰國(guó)灣中的曼谷灣區(qū)域，使得模擬結(jié)果更接近真實(shí)。

1 模型的設(shè)置與求解

1.1 模型設(shè)置

新建立的雙矩形海灣模型由2個(gè)不等深矩形海灣組成（圖1），左右2個(gè)矩形區(qū)域分別稱為區(qū)域一和區(qū)域二。每個(gè)區(qū)域獨(dú)立滿足如下假設(shè)：1）摩擦力與流速的一次方成比例；2）科氏參量在海灣內(nèi)為一常數(shù)；3）不計(jì)作用于海水質(zhì)量上的引潮力；4）直線表示壁面，其法向速度為0；開邊界（圖1中x=0處虛線）存在外海輸入潮波強(qiáng)迫。

圖1 雙矩形海灣模型Fig.1 A sketch map of the two-rectangular-gulf model

假設(shè)區(qū)域一和區(qū)域二的水深均為常數(shù)，記為h1和h2；2個(gè)區(qū)域長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)1和L2；寬度分別為B1和B2。區(qū)域一的范圍在x方向從0到x1（x1=L1），在y方向從0到y(tǒng)3（y3=B1）；區(qū)域二的范圍在x方向從x1到x2（x2=L1+L2），在y方向從y1到y(tǒng)2（y2=y1+B2）。

1.2 控制方程和邊界條件

取潮波運(yùn)動(dòng)方程和連續(xù)方程：

其中分別為x，y方向潮流流速為從海平面算的潮位高度；f=2Ωsinφ為科氏參數(shù)，其中Ω（7.29×10-5s-1）為地轉(zhuǎn)角速率，φ為緯度；γ，h和g分別為摩擦系數(shù)、海區(qū)水深和重力加速度。將2個(gè)區(qū)域的潮位高度及流速分別表示為（j=1時(shí)，0≤x≤x1；j=2時(shí)，x1≤x≤x2），且滿足式式（1）～式（3）。邊界條件：

其中）為x=0處水位，即開邊界強(qiáng)迫。銜接條件：

式（7）保證了2個(gè)區(qū)域的潮波在連接處水位、體積輸運(yùn)及能通量的連續(xù)性。

設(shè)和eiσt成比例，即存在使得：

則式（1）～式（3）可改寫：

其中，

又由式（9）～式（11）計(jì)算得出：

其中，

kj=σ／cj為Kelvin波的波數(shù)為重力長(zhǎng)波的相速度。

相應(yīng)的邊界條件式（4）～式（6）改寫：

其中，Z0和θ0為開邊界處水位的振幅和遲角。

銜接條件：

1.3 方程解法

1.3.1 方程的通解

根據(jù)式（14）和（15）的條件，可以給出滿足方程的四族Kelvin波式（20）～式（23）和四族Poincaré波式（24）～式（27）：

其中，。sj，n取實(shí)部為正的值。將以上代入式（13）可以推出：

式（20）～式（27）中aj，bj，κj，n和λj，n為待定常數(shù)，需通過(guò)下列關(guān)系計(jì)算。將式（20）～式（27）代入式（16）～式（19），則壁面條件式（16）和（17）改寫：

開邊界條件式（18）改寫：

銜接條件式（19）改寫：

1.3.2 配置法

采用配置法求方程組的近似解。先將式（24）和（26）所示的Poincaré波族截?cái)嘀罭1階，在x=0，0≤y≤y3和x=x1，0≤y≤y3兩條線段上均勻取2 N1+2個(gè)點(diǎn)。設(shè)線段x=x1，y1≤y≤y2上取了J=N2+1個(gè)點(diǎn)，則在線段x=x2，y1≤y≤y2上對(duì)應(yīng)取N2+1個(gè)點(diǎn)。將這2 N1+N2+3個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入邊界條件式（28）～（32）中可得2 N1+2 N2+4個(gè)方程，不難解出aj，bj，kj，nj和λj，nj（nj=1，2，…，Nj；j=1，2）。

2 雙矩形模型在泰國(guó)灣中的應(yīng)用

泰國(guó)灣介于中南半島和馬來(lái)半島之間（圖2）。地理范圍為99°10′～105°00′E，6°00′～13°30′N，灣口向東南開，西北端深入的湄南河口部分稱為曼谷灣。

由于泰國(guó)灣處于低緯度地區(qū)，受弱科氏加速度的影響，其潮波系統(tǒng)相對(duì)復(fù)雜，尤其是頻率較大的半日潮。以M2分潮為例，其泰國(guó)灣灣口的順指針旋轉(zhuǎn)的無(wú)潮點(diǎn)有悖于北半球的一般規(guī)律，一直受到相關(guān)學(xué)者的關(guān)注，而其泰國(guó)灣灣頂無(wú)潮點(diǎn)的存在性及位置，直至今日各學(xué)者給出的結(jié)果仍不盡相同。

在1944年Dietrich就給出基本不反映泰國(guó)灣潮波主要結(jié)構(gòu)的同潮圖。后來(lái) Defant［10］、Ye和 Robinson［21］、俞慕耕［22］給出的同潮圖，雖結(jié)果有所改善，但相互之間的差異十分顯著。此后，丁文蘭［23］、Fang［24］、Yanagi和 Toshiyuki［25］、Fang等［26］、Zu等［27］均給出了泰國(guó)灣的同潮圖。其中 M2分潮在泰國(guó)灣灣口的無(wú)潮點(diǎn)基本確定，但灣頂無(wú)潮點(diǎn)的存在及位置依舊不盡相同。上述研究方法均局限于資料分析和數(shù)值模擬，未給出理論解釋。

此外，由于曼谷灣的存在，使得單一矩形區(qū)域的Taylor模型不足以刻畫泰國(guó)灣的潮汐分布。借助新建立的雙矩形海灣模型來(lái)模擬該區(qū)域K1和M2分潮的潮波系統(tǒng)，并針對(duì)M2分潮的影響因素，包括曼谷灣和開邊界條件，進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)研究。

圖2 泰國(guó)灣示意圖Fig.2 A sketch map of the Gulf of Thailand

2.1 模型設(shè)置

取L1=580 mm，B1=400 km，h1=40 m，L2=110 km，B2=100 km，y1=220 km，h2=13 m。這些數(shù)值使模型等效于泰國(guó)灣，其中區(qū)域一代表泰國(guó)灣主體，區(qū)域二代表曼古灣。并取N1=19，N2=5，在線段x=0，0≤y≤y3和線段x=x1，0≤y≤y3上均勻各取20個(gè)配置點(diǎn)，在線段x=x2，y1≤y≤y2，上均勻取5個(gè)點(diǎn)（圖3）。對(duì) K1和 M2分潮，σ分別取7.286 7×10-5s-1、1.405 2×10-4s-1。μj則仿照Fang等［11］中所給量級(jí)取0.1。根據(jù)泰國(guó)灣及曼谷灣所處緯度，取科氏參數(shù)f1=0.22×10-4s-1；f2=0.33×10-4s-1。開邊界條件的調(diào)和常數(shù)采用Fang等［26］數(shù)值模擬結(jié)果（采用東8時(shí)區(qū)遲角）。

采用1.3.2節(jié)中方法解出相關(guān)參數(shù)出aj，bj，kj，nj和λj，nj（nj=1，2，…，Nj；j=1，2），代入式（20）～式（27）即可解出對(duì)應(yīng)分潮的ζj，uj，vj。根據(jù)式（8）引入時(shí)間因子eiσt之后取實(shí)部可得：

圖3 配置點(diǎn)示意圖Fig.3 Setting up the Collocation points

為研究海灣模型的潮汐分布，利用式（33）導(dǎo)出相應(yīng)分潮遲角θj及振幅Zj關(guān)系式：

2.2 潮汐分布

根據(jù)上述方法得到泰國(guó)灣-曼谷灣理論解（圖4a和圖5a）；使用文獻(xiàn)［26］數(shù)據(jù)重繪同潮圖（圖5a和圖5b）。其中K1分潮結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，圖4a和圖4b中潮汐分布格局一致。在泰國(guó)灣中存在一逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無(wú)潮點(diǎn)，其位置偏向?yàn)晨冢⑾蛭靼镀?。振幅則隨著向?yàn)稠數(shù)纳钊攵粩嗉哟?，最大振幅出現(xiàn)在曼谷灣灣頂。

圖4 K1分潮同潮圖Fig.4 Co-tidal chart of tidal constituent K1

圖5 M2分潮同潮圖Fig.5 Co-tidal chart of tidal constituent M2

M2分潮頻率大，波長(zhǎng)僅為K1分潮的一半，故潮波結(jié)構(gòu)比K1分潮復(fù)雜的多。圖5a中顯示，M2分潮振幅在泰國(guó)灣（除曼谷灣部分）較小，最大振幅不超過(guò)0.3 m，在曼谷灣中向?yàn)稠敺较虿粩嘣龃?；遲角分布則較復(fù)雜，出現(xiàn)2個(gè)無(wú)潮點(diǎn)。其中一個(gè)無(wú)潮點(diǎn)位于泰國(guó)灣灣頂、曼谷灣口外，呈逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。另一個(gè)無(wú)潮點(diǎn)則靠近泰國(guó)灣灣口，偏向東岸，呈順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，該無(wú)潮點(diǎn)不遵循北半球潮波逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的一般規(guī)律。對(duì)比圖5a和圖5b，M2分潮振幅分布格局一致。

為分析K1和M2分潮的構(gòu)成，分別給出這2個(gè)分潮在區(qū)域一中的Kelvin波和Poincaré波分布（圖6和圖7）。由圖6中可以看出K1分潮潮波由于其頻率小、波長(zhǎng)長(zhǎng)，雖然處于較低緯度的泰國(guó)灣區(qū)域，其組成仍然以Kelvin波為主，并表現(xiàn)出明顯的Kelvin波性質(zhì)。Kelvin波受北半球向右的科氏加速度影響，入射波東岸強(qiáng)西岸弱，反射波東岸弱西岸弱。合成結(jié)果構(gòu)成了一個(gè)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的潮波系統(tǒng)。由于模型考慮了摩擦，潮波在傳播過(guò)程中產(chǎn)生能量耗散，使得反射波的能量小于入射波，總的疊加效果東岸強(qiáng)西岸弱，因此無(wú)潮點(diǎn)偏向西岸。

圖6 K1分潮在區(qū)域一中的潮波分解Fig.6 Decomposition of K1 in area I

圖7 M2分潮在區(qū)域一中的潮波分解Fig.7 Decomposition of M2 in area I

由M2分潮Kelvin波和Poincaré波的組成（圖7）可見，M2分潮由于頻率高，在低緯度區(qū)慣性頻率f比潮波頻率σ小很多，故在泰國(guó)灣區(qū)域Kelvin波較弱，且由于能量耗散，入射波遠(yuǎn)遠(yuǎn)強(qiáng)于反射波，沒有疊加形成無(wú)潮點(diǎn)。而Poincaré波在泰國(guó)灣灣口較強(qiáng)，且存在一個(gè)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無(wú)潮點(diǎn)。Kelvin波和Poincaré波疊加后在灣頂形成一逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無(wú)潮點(diǎn)，灣口形成一順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無(wú)潮點(diǎn)。

考慮到Poincaré波主要是受邊界條件和銜接條件控制，我們認(rèn)為除低科氏加速度及地形因素影響外，曼谷灣是影響泰國(guó)灣灣頂形成逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無(wú)潮點(diǎn)的重要因素；開邊界條件是泰國(guó)灣灣口形成順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無(wú)潮點(diǎn)的首要因素。

2.3 潮流分布

為了研究泰國(guó)灣的潮流分布情況，根據(jù)2.1節(jié)中結(jié)果分別計(jì)算了K1和M2分潮的潮流橢圓要素（半長(zhǎng)軸、半短軸、長(zhǎng)軸傾角及遲角），并給出相應(yīng)分潮的潮流橢圓（圖8和圖9）。

圖8 K1分潮的潮流橢圓圖（陰影表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)）Fig.8 K1 current ellipses（shaded part indicates clockwise rotation）

圖9 M2分潮的潮流橢圓圖（陰影表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)）Fig.9 M2 current ellipses（shaded part indicates clockwise rotation）

K1分潮潮流在區(qū)域一中主要呈逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在區(qū)域二中主要呈順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在2個(gè)區(qū)域內(nèi)均以往復(fù)流為主。泰國(guó)灣灣口東側(cè)和曼谷灣灣口東側(cè)出現(xiàn)較大流速。在泰國(guó)灣腹部，長(zhǎng)軸平行于x軸，在灣頂則逐漸垂直于x軸，在與Taylor［1］給出的等深矩形海灣十分相似。

M2分潮潮流在泰國(guó)灣和曼谷灣的灣口附近都呈順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在2個(gè)海灣的灣頂附近則都呈現(xiàn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與Fang等的理論分析［11］一致。

2.4 潮能通量

潮能通量強(qiáng)度又叫做能通量密度，表示單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位寬度的垂直斷面的潮波能量，其計(jì)算公式：

式中（Φx，Φy）為能通量密度在（x，y）方向的分量；T 為潮波周期；ρ為海水密度，取1 025 kg／m3；Z 和θ分別為潮汐的振幅和遲角；（U，V）為（x，y）方向潮流分量的振幅，（ξ，η）為相應(yīng)的遲角。

圖10 K1分潮能通量密度分布圖Fig.10 The tidal energy flux density vectors of constituent K1

圖11 M2分潮能通量密度分布圖Fig.11 The tidal energy flux density vectors of constituent M2

根據(jù)式（37）及前文結(jié)果，計(jì)算了K1和M2分潮的潮能通量密度，并繪制潮能通量密度分布圖以刻畫K1和M2分潮能通量流向（圖10和圖11）。圖10中K1分潮能量從東岸輸入，并沿東岸向?yàn)稠攤鬏敚詵|向西掃過(guò)灣頂，并沿西岸輸出，在傳輸過(guò)程中，能量逐漸減弱。這體現(xiàn)出Kelvin波在北半球傳播的一般規(guī)律。圖11中M2分潮能量較小，正如2.2節(jié)所述，受開邊界及弱科氏加速度影響，其能量從東岸輸入，但直接流向西岸，且沿西岸傳輸，緩慢右轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)向東岸后，沿東岸傳輸直至灣頂，后沿灣頂邊界自東向西傳輸，在曼谷灣處分為2支，一部分流入曼谷灣，另一部分繼續(xù)沿灣頂傳輸。

3 敏感性實(shí)驗(yàn)

曼谷灣對(duì)M2分潮在泰國(guó)灣灣頂形成逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無(wú)潮點(diǎn)起重要作用；開邊界條件是M2分潮在泰國(guó)灣灣口形成順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無(wú)潮點(diǎn)的必要條件。為了驗(yàn)證上述觀點(diǎn)，我們?cè)O(shè)計(jì)了如下2組實(shí)驗(yàn)：1）曼谷灣實(shí)驗(yàn)：刪除代表曼谷灣的區(qū)域二，其他條件同2.1節(jié)；改變區(qū)域二位置，其他條件同2.1節(jié)。2）開邊界實(shí)驗(yàn)：開邊界條件采用等振幅邊界，其他條件同2.1節(jié)；開邊界條件采用等遲角邊界，其他條件同2.1節(jié)。

3.1 曼谷灣存在和位置的敏感性實(shí)驗(yàn)

針對(duì)M2分潮，改變曼谷灣的存在及位置，控制其他條件與2.1節(jié)中一致，以探討曼谷灣對(duì)泰國(guó)灣M2分潮的影響。

方案1 只保留區(qū)域一，即建立一個(gè)單一矩形海灣模型（圖12），其他條件保持與2.1節(jié)相同，以此排除曼谷灣的影響。實(shí)際計(jì)算中在模型兩端均勻各取20個(gè)配置點(diǎn)（圖12a），沿用Fang等的解法［11］，計(jì)算該矩形海灣模型的潮汐分布，得到M2分潮的同潮圖如圖12b所示。

圖12 泰國(guó)灣的矩形海灣模型Fig.12 A single-rectangular-gulf model for the Gulf of Thailand

對(duì)比圖12b與圖5a結(jié)果可見，M2分潮在泰國(guó)灣仍然存在一順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無(wú)潮點(diǎn)，但其位置向?yàn)硟?nèi)深入，而灣頂逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無(wú)潮點(diǎn)完全消失。

方案2 令y1=160 km；其他條件同2.1節(jié)。

方案3 令y1=100 km；其他條件同2.1節(jié)。

方案2和3的結(jié)果分別示于圖13。對(duì)比圖13與圖5a結(jié)果可知，隨著曼谷灣向東平移，M2分潮在泰國(guó)灣灣口順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無(wú)潮點(diǎn)位置變化不大，灣頂?shù)臒o(wú)潮點(diǎn)向?yàn)稠敺较虬l(fā)生退化，但可以看出這個(gè)無(wú)潮點(diǎn)隨曼谷灣位置東移向東北移動(dòng)。

綜合上述3個(gè)方案，可以看出曼谷灣是影響M2分潮在泰國(guó)灣灣頂形成逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無(wú)潮點(diǎn)的重要因素，其存在促使M2分潮在泰國(guó)灣灣頂形成無(wú)潮點(diǎn)，且曼谷灣的位置決定了該無(wú)潮點(diǎn)的位置。

圖13 曼谷灣實(shí)驗(yàn)的M2分潮同潮圖Fig.13 The co-tidal chart of M 2 resulted from the sensitive experiments in the Gulf of Bangkok

3.2 開邊界條件的敏感性實(shí)驗(yàn)

著眼于研究泰國(guó)灣M2分潮對(duì)開邊界的響應(yīng)，具體方案：

方案1 開邊界振幅均取0.2 m，其他條件同2.1節(jié)；

方案2 開邊界遲角均取0°，其他條件同2.1節(jié)。

依舊采用2.1節(jié)中的方法，分別計(jì)算方案1、方案2模型的潮汐分布，并給出相應(yīng)同潮圖（圖14）。

圖14 開邊界實(shí)驗(yàn)的M2分潮同潮圖Fig.14 The co-tidal chart of M2 resulted from the sensitive experiments under the open boundary condition

與圖5a結(jié)果比較可見，當(dāng)開邊界振幅為常數(shù)時(shí)，其振幅結(jié)構(gòu)變化不大，灣口的無(wú)潮點(diǎn)退化至東岸，但依然保持順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的結(jié)構(gòu)。當(dāng)開邊界遲角給定均勻值時(shí)，灣口順時(shí)針的無(wú)潮點(diǎn)完全消失，潮波進(jìn)入海灣后差不多以前進(jìn)波的形式向?yàn)稠斖七M(jìn)，并在曼谷灣灣口外形成一個(gè)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無(wú)潮點(diǎn)。對(duì)比2組實(shí)驗(yàn)結(jié)果，不難看出，改變開邊界條件不影響灣頂形成逆時(shí)針的無(wú)潮點(diǎn)；而M2分潮在泰國(guó)灣灣口順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無(wú)潮點(diǎn)，主要依賴于開邊界遲角自東向西增加的梯度條件，即潮波傳入泰國(guó)灣的方向；而灣口的振幅變化對(duì)該無(wú)潮點(diǎn)形成僅起到加強(qiáng)作用。遲角自東向西的增加則是南海M2分潮潮波自東北向西南傳播的結(jié)果。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文利用雙矩形海灣模型研究了泰國(guó)灣的潮波問題。研究表明：

1）K1分潮潮波在泰國(guó)灣中主要表現(xiàn)Kelvin波的性質(zhì)；

2）M2分潮在泰國(guó)灣中Kelvin波的性質(zhì)較弱，灣口和灣頂主要受Poincaré波控制；

3）曼谷灣的存在是M2分潮在泰國(guó)灣灣頂形成逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)無(wú)潮點(diǎn)的主要原因，其位置決定了該無(wú)潮點(diǎn)的位置；

4）開邊界遲角自東向西增加的梯度條件是M2分潮在泰國(guó)灣灣口順時(shí)針無(wú)潮點(diǎn)形成的必要條件。

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