◆吳帥榮

以“探究最大視覺和最佳觀測位置”為例，介紹學(xué)生如何用信息技術(shù)開展數(shù)學(xué)探究活動。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，根據(jù)操作提示，以小組為單位，動手操作計(jì)算機(jī)，親身參與到知識探究過程。學(xué)生通過自身的積極思考與同伴的合作交流等活動，達(dá)到掌握新知識、培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識。

1 問題的提出

隨著當(dāng)今社會知識信息激增和“減負(fù)提素”工作的深入開展，傳統(tǒng)教育面臨巨大的挑戰(zhàn)，教學(xué)手段和教學(xué)方法的更新勢在必行。數(shù)學(xué)作為一門中學(xué)主要學(xué)科，傳統(tǒng)的教學(xué)手段黑板加粉筆，偶爾加一些模型，同時(shí)由于數(shù)學(xué)本身不具有某些學(xué)科形象、生動、具體等特點(diǎn)，學(xué)生學(xué)起來難免有些枯燥無味，這直接影響學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。信息技術(shù)不僅有強(qiáng)大的計(jì)算功能，還有良好的交互界面，這無疑給數(shù)學(xué)教學(xué)改革帶來一片生機(jī)。教師應(yīng)利用信息技術(shù)開展數(shù)學(xué)探究活動，減少解決問題過程中的機(jī)械的、重復(fù)性的勞動，提高數(shù)據(jù)的表達(dá)效率，使學(xué)生把更多的時(shí)間用于理解數(shù)學(xué)本質(zhì)、探究數(shù)學(xué)規(guī)律上，從而提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率，發(fā)展學(xué)生思維能力。

2 數(shù)學(xué)探究與信息技術(shù)概述

新課標(biāo)要求“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，還應(yīng)該倡導(dǎo)自主探究、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方式”。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該積極開展各種不同形式的數(shù)學(xué)探究活動，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識。

“數(shù)學(xué)探究”即數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí)，是指學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題，自主探究、學(xué)習(xí)的過程。這個過程包括：觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明[1]?？梢姡瑪?shù)學(xué)探究是新課程下有效開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一種重要的學(xué)習(xí)方式。與此同時(shí)，現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)計(jì)算能力以及圖形表達(dá)能力不斷提高，數(shù)學(xué)軟件如幾何畫板、MATLAB等軟件不斷完善。信息技術(shù)對數(shù)學(xué)課程、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等方面產(chǎn)生深刻的影響。它一方面突破數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，進(jìn)而優(yōu)化教學(xué)形式、數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容、學(xué)習(xí)過程；另一方面，在進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動過程中，更能充分體現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位。利用信息技術(shù)開展數(shù)學(xué)探究性活動主要包括創(chuàng)設(shè)問題情境、展示數(shù)量關(guān)系、探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律、科學(xué)檢驗(yàn)等環(huán)節(jié)。合理使用信息技術(shù)有助于呈現(xiàn)以往數(shù)學(xué)教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系的直觀感受。它在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用對數(shù)學(xué)教學(xué)方式產(chǎn)生積極而深遠(yuǎn)的影響。

3 “探究最大視覺和最佳觀測位置”的教學(xué)過程

以下是筆者最近組織學(xué)生，以小組合作學(xué)習(xí)的方式，使用幾何畫板軟件，進(jìn)行數(shù)學(xué)探究性課題活動的教學(xué)課例，以供大家進(jìn)行討論，歡迎提出寶貴建議。

3.1 提出問題，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

1471年，德國數(shù)學(xué)家J.米勒提出如下問題：

一尊英雄塑像，高H米，塑像底座高p米，一人從遠(yuǎn)處注視塑像朝它走去，此人眼離地面h米，問此人走到哪一點(diǎn)觀看塑像時(shí)覺得塑像最大（即視角最大）？不妨設(shè)H=10米，p=13米，h=1.8米。

設(shè)計(jì)意圖：選擇有趣的問題背景，在學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”里提出有意義的數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動機(jī)，提高學(xué)習(xí)興趣。

3.2 動手操作，創(chuàng)設(shè)探究情景

師：請同學(xué)們按下列提示的操作步驟，以小組為單位，合力完成下列探究活動。

操作提示：

1）啟動幾何畫板5.03；

2）點(diǎn)擊【繪圖】|【定義坐標(biāo)系】菜單，建立平面直角坐標(biāo)系，可以把x軸看作地平線；

3）新建參數(shù)H、p、h，并設(shè)置初始值為10、13、5；

4）計(jì)算H+p，并分別繪制點(diǎn)A(H+p,0)，B(p,0)，則線段BA就是塑像的位置，OB就是塑像的座高；

5）在x軸上任意取一點(diǎn)C，測量點(diǎn)C橫坐標(biāo)xC，并繪制點(diǎn)D(xC,h)，則點(diǎn)D就是人眼的位置；

6）連接線段CD、AD、BD，為了方便觀察，可以把線段AD、BD改為虛線，于是∠ADB可以看作人的視角（如圖1所示）。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在幾何畫板上根據(jù)操作步驟，模擬實(shí)際的觀察情況，為學(xué)生進(jìn)行科學(xué)的探究活動做好準(zhǔn)備。

圖1

3.3 觀察現(xiàn)象，探究數(shù)量關(guān)系

探究活動一：利用幾何畫板的動態(tài)演示功能，初次感受最大視角的位置

1）測量∠ADB的大小，并繪制點(diǎn)P(xC,∠ADB)，并選擇點(diǎn)P，同時(shí)，按“Ctrl+T”組合鍵，追蹤點(diǎn)P移動軌跡。請你拖動點(diǎn)C，看∠ADB的大小有何變化？

2）依次選擇點(diǎn)C、點(diǎn)P，點(diǎn)擊菜單【構(gòu)造】|【軌跡】，觀察點(diǎn)P的軌跡是什么？有何變化？

3）請你拖動點(diǎn)C的位置，結(jié)合∠ADB大小變化，探究視角最大時(shí)，點(diǎn)C所在位置。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過動手操作，親身感受觀察視角∠ADB隨OC的距離變化而變化（如圖2所示），得出最佳觀察點(diǎn)的大概位置

圖2

3.4 深入探究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律

探究活動二：探究最近觀察點(diǎn)的位置

師：請同學(xué)們認(rèn)真思考，相互交流，看看最佳觀察位置在哪里？

有些學(xué)生動手操作，有些學(xué)生開始交流

生：過點(diǎn)D作直線l1，它與y軸相交于點(diǎn)E；作過點(diǎn)A、點(diǎn)B與直線l1相切的圓，其切點(diǎn)Q就是人觀察AB的視角最大的地方（如圖3所示）。

師：你能說說你的理由嗎？

生：如圖4所示，人眼在水平線l1上，除點(diǎn)Q外，直線l1上任意一點(diǎn)都在圓外，如果眼在Q點(diǎn)的右側(cè)D點(diǎn)，不妨BD與圓相交于點(diǎn)F，連接AQ、BQ、AF，則∠AFB=∠AQB，而∠AFB是△AFD的外角，于是∠AFB＞∠ADB，所以∠AQB＞∠ADB。若眼在點(diǎn)Q的左側(cè)，同理可證視角小于∠AQB。所以∠AQB是最大視角，Q點(diǎn)是最優(yōu)觀察點(diǎn)。

圖3

圖4

探究活動三：求出最佳觀察點(diǎn)的位置大小

師：回答得非常棒，既然點(diǎn)Q是最優(yōu)觀察點(diǎn)，也就是說EQ就是距離觀察點(diǎn)觀察的最優(yōu)距離，請問如何求出EQ的長度呢？

生：我有一種方法：

∵l1是圓N的切線

∴∠BQE=∠QAE

∴Rt△BEQ∽Rt△QEA

∴EQ2=BE·AE

∵AE=H+p-h，BE=p-h

師：還有其他方法嗎？

圖5

生：構(gòu)造直角三角形（如圖5所示），利用勾股定理：

作AB的中點(diǎn)M，連接BN、MN，則△BNM為直角三角形。由條件得：

3.5 科學(xué)驗(yàn)證，完美解答

師：利用上式，當(dāng)H=10米，p=13米，h=5米時(shí)，大家計(jì)算最佳觀察點(diǎn)在哪里？

學(xué)生進(jìn)行計(jì)算，很快就得出：

所以，最佳觀察點(diǎn)在距離底座12米處。

師：我們再一次利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行驗(yàn)算，看看這個關(guān)鍵點(diǎn)是不是落在12米處。

生：通過移動點(diǎn)C，并跟蹤∠ADB的大?。ㄈ鐖D6所示），在距離原點(diǎn)12處，∠ADB達(dá)到最大值，所以最佳觀察點(diǎn)在距離底座12米處。

圖6

3.6 暢談體會，共同提高

各組選一名代表談?wù)勆线@節(jié)課的體會，教師小結(jié)本課，提出希望。

4 幾點(diǎn)體會

4.1 合理設(shè)問、巧選課題

維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”，認(rèn)為學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，另一種是學(xué)生潛在的發(fā)展水平。兩者之間的差距就是“最近發(fā)展區(qū)”。教師要通過教學(xué)指導(dǎo)學(xué)生的思維實(shí)現(xiàn)從現(xiàn)有的發(fā)展水平到潛在發(fā)展水平過渡，以完成發(fā)展過程[2]。因此，教師必須了解和把握學(xué)生對某個知識點(diǎn)的現(xiàn)有發(fā)展水平，然后把學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)劃分為幾個發(fā)展層次，最后設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維最近發(fā)展區(qū)“思維躍遷”的教學(xué)策略。所以恰當(dāng)選擇合適的探究課題，就成為提高學(xué)生“思維躍遷”的關(guān)鍵。課題的選擇一般來說具有幾個特點(diǎn)：要有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究過程，有助于學(xué)生形成發(fā)現(xiàn)問題、探究問題的意識，有助于鼓勵學(xué)生發(fā)揮自己的想象力和創(chuàng)造性。課題應(yīng)具有一定的開放性，課題的預(yù)備知識最好不超過學(xué)生現(xiàn)有的知識范圍。

4.2 處理“主導(dǎo)”與“主體”的關(guān)系

在開展數(shù)學(xué)探究活動的過程中，要充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用。課堂的教學(xué)活動不應(yīng)都是教師的講授，而更多地體現(xiàn)學(xué)生的自學(xué)、討論、調(diào)查、探索、解決問題等環(huán)節(jié)。教師的主導(dǎo)作用體現(xiàn)在創(chuàng)設(shè)好的問題環(huán)境，激發(fā)學(xué)生自主地探究解決問題的積極性和創(chuàng)造性上；學(xué)生的主體作用體現(xiàn)在對問題的探索發(fā)現(xiàn)解決的深度和方式盡量由學(xué)生自主控制和完成。實(shí)現(xiàn)以教為主到以學(xué)為主的重心轉(zhuǎn)移。

4.3 恰當(dāng)使用信息技術(shù)，充分利用信息技術(shù)的優(yōu)勢

現(xiàn)代信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正對數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等方面產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。它在教學(xué)中的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在快捷的計(jì)算功能、豐富的圖象呈現(xiàn)、大量數(shù)據(jù)的處理能力，以及提供交互式的學(xué)習(xí)和研究環(huán)境等方面。因此，教師在教學(xué)中，一方面應(yīng)重視現(xiàn)代信息技術(shù)與教材的有機(jī)結(jié)合，充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)的優(yōu)勢，幫助學(xué)生更好地認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提高教學(xué)質(zhì)量[3]；另一方面，特別要注意信息技術(shù)手段的作用是“輔助”，必須擺正位置，尤其警惕不能讓多媒體教學(xué)手段喧賓奪主。評價(jià)一節(jié)課的好壞，并不是看教育手段使用的多少，而要看是否開發(fā)了學(xué)生的智力，挖掘了學(xué)生的潛力，培養(yǎng)了學(xué)生的能力[4]。

[1]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》解讀[M].南京:江蘇教育出版社,2004.

[2]周春荔,張燕勤,等.數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識培養(yǎng)與智力開發(fā)[M].北京:首都師范大學(xué)出版社,2000.

[3]曹才翰,章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論[M].2版.北京:北京師范大學(xué)出版社,2008.

[4]邱學(xué)華,張良.嘗試教學(xué)策略[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2010.