周昱 周青春 馬曉棟

1)(江蘇科技大學數(shù)理學院,鎮(zhèn)江 212003)

2)(新疆師范大學物理與電子工程學院,烏魯木齊 830054)

(2013年3月12日收到;2013年3月20日收到修改稿)

1 引言

得益于實驗技術的進步和測量精度的提高,冷原子體系作為一種新穎的可操控宏觀量子系統(tǒng),近來受到廣泛關注和重視,已成為物理學重要交叉研究領域.這不僅是由于對該系統(tǒng)本身理論研究的重要性,而且由于冷原子體系,特別是費米原子體系被認為是可從實驗角度研究從傳統(tǒng)BCS超流到玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)(BEC)轉變的一個重要載體.除已有的分別對BEC和BCS超流這兩種體系的研究外,從BCS超流到BEC的轉變已被公認為是在實驗室條件可控范圍內對許多現(xiàn)實物理體系模擬的良好平臺[1],例如凝聚態(tài)物理中的一些強相互作用問題和天體物理中的一些以往無法通過實驗模擬的問題[2].由于冷原子體系的主要研究對象是稀薄原子(分子)體系,相比于普通凝聚態(tài)物質具有更好的純凈性和可操控性,且一個重要方面是在這個體系中,原子間相互作用(粒子間散射長度)可以通過外加磁場調節(jié)[3],進而使得體系在不同相互作用條件下處于不同超流態(tài).理論和實驗針對這一系統(tǒng)進行了大量研究并且仍在繼續(xù)[2].實驗上,利用激光冷卻和囚禁技術,可以使得體系的溫度低至nK數(shù)量級[3].

超流體與普通流體的最大區(qū)別除了其通過毛細管的無黏滯性外,是其中可出現(xiàn)量子化渦旋[4],這種量子行為沒有經(jīng)典對應.盡管已有大量有關費米氣體的集體激發(fā)、自由膨脹、干涉、孤子等方面的結果可以從不同角度揭示體系的超流態(tài)性質[5-14],但最有力的說明體系處于超流態(tài)的證據(jù)卻是在該系統(tǒng)中能夠產(chǎn)生量子化渦旋[15].已有一些文獻利用諸如博戈留波夫-德熱納(BdG)方程來研究體系的不含時性質或靜態(tài)渦旋[16],但研究體系渦旋的含時演化卻更為重要和具有現(xiàn)實意義.本文利用含時密度泛函理論研究零溫超流費米氣體在幺正極限附近的渦旋行為,給出具有負頻率的反常激發(fā)模式,這導致了在外勢旋轉速度小于某一臨界值時渦旋的進動.

2 模型

考慮配對的費米氣體的基態(tài),其密度ns=n/2(n是原子密度),定義無量綱的相互作用參數(shù)η=1/(kFas),其中kF和as分別是費米波數(shù)kF=(6π2ns)1/3和s-波散射長度.可以通過如上無量綱相互作用參數(shù)η區(qū)分不同的超流區(qū)域,分別是 BCS(η＜-1),BEC(η＞1)和 BCS-BEC交叉(-1＜η＜1)區(qū)域;當η→±∞時系統(tǒng)處于BCS(η→-∞)或 BEC(η→+∞)極限;η=0處稱為幺正極限,此時對應于粒子間的散射長度發(fā)散(as→±∞),幺正極限附近的費米氣體由于處于強相互作用區(qū)域且相互作用可調,故而性質尤為引人注意[3].諸多理論和實驗研究都顯示從BCS到BEC的相變是連續(xù)且光滑的,這就表明可以用統(tǒng)一的理論框架描述處于不同超流區(qū)域的費米氣體.

許多理論研究是利用推廣的BCS平均場理論求解體系的渦旋性質,但這些利用不含時BdG方程來研究渦旋的做法無法應用到對含時演化等問題的研究上.考慮到超冷情況下,低能集體激發(fā)不可能由于形成單粒子激發(fā)而衰減(熱激發(fā)效應的影響很小),故該體系可以認為是處于超流態(tài).利用含時密度泛函理論,作∫用泛函可寫為[7,14]

其中Ψ是超流體序參量,這里的拉格朗日密度為

H?0=-hˉ2/2M+Vs為 單[個 費 米 子對 的]哈 密 頓量,諧振子勢Vs=Mω⊥2(x2+y2)+λ2z2/2,各向異性參數(shù)λ=ωz/ω⊥,費米子對質量 M=2m.(2)式中額外的能量項-ΩL?z計入考慮是因為假定外勢以角速度Ω繞軸轉動,角動量算符L?z=-ihˉ(x?y-y?x);μs0,ns0分別為參考化學勢和粒子對密度,ns0通常取為費米氣體在諧振子中心的密度.μs0= εF0[σ(η0)-η0σ(′(η0)/5)],其中εF0=hˉk2F0/2m,η0=1/kF0as,kF0=6π2ns01/3.將不同大小的不同|η0|內插關于σ(η0)的一些理論漸進表達式,代入可以得到普遍公式σ(η0)=α1-α2arctan[α3η0(β1+|η0|)/(β2+|η0|)],內插參數(shù)αi(i=1,2,3)和βj(j=1,2)已由文獻[14]給出,有效多方指數(shù)也隨之可寫為 γ=(2σ/3-2η0σ′/5+η02σ′′/15)/(σ-η0σ′/5).

描述Ψ的歐拉-拉格朗日方程可以通過對作用泛函(1)式取極小得到,這樣得到描述超流費米氣體的序參量Ψ(r,t)所滿足的推廣的Gross-Pitaevskii(GP)方程這里μs(ns)=μs0(ns/ns0)γ是系統(tǒng)的態(tài)方程(化學勢),不同的超流區(qū)域可以由不同的μs刻畫.利用多方近似可在不同超流區(qū)得到渦旋激發(fā)模式的本征頻率和本征值的表達式.實際上,γ隨η0的慢變性質使得所研究的相關問題可以得到與實驗結果相當符合的解析表達[7-10].

3 渦旋態(tài)反常模的動力學及其解

現(xiàn)在考慮在幺正極限附近單個渦旋的動力學演化.為方便起見,引入無量綱變量√ (x′,y′)=(x,y)/R⊥,z′=z/Rz,t′√= ω⊥t,Ψ′=Ψ√/ns0,Ω′=Ω/ω⊥,其中R⊥=hˉ/Mω⊥,Rz=hˉ/Mωz,如此,將撇號去掉后,拉格朗日密度可以∫重寫為

其中

這里 μ?=μs0/[2π(γ+1)hˉω⊥],Vtr(r)=(x2+y2+λ2z2)/2,? =(?/?x,?/?y,λ?/?z).

假定系統(tǒng)中產(chǎn)生近軸的單個渦旋線,則選取形如[17,18]

的試探波函數(shù)描述渦旋的含時演化,系數(shù)A(t)滿足歸一化條件;函數(shù)f(r)代表了勢阱內遠離渦旋核心的渦線,其近似形式為 f(r)=eiφ;函數(shù)F(r)描述體系的密度分布;渦旋線和體系的中心位置分別由矢量rv(t)=(xv(t),yv(t),0)和rf(t)=(xf(t),yf(t),0)表示,考慮渦旋的動力學,這里也必須包括凝聚體的速度αx(t)和αy(t).

考慮渦旋和系統(tǒng)整體的運動,假設體系形狀較小,也就是系統(tǒng)處于弱耦合極限,于是試探波函數(shù)可以取為形如

對展開做近似,取有限項得到

而

至此,得到了在幺正極限附近含單個渦旋的旋轉超流費米氣體

這里令d=rf-rv及s=2rf-rv,且利用近似C2γ+2≈1-(γ+1)d2.當 γ=1 時 (8)式可以褪化到BEC極限的情形[17,18].從Leff的表達式可得由六個參數(shù)表示的六個耦合一階微分方程,用來描述速度場和體系及渦旋中心的位置.利用消去αx(t)和αy(t)得到兩個分別描述位置d和s的方程組如下：

其中頻率

上述微分方程描述了系統(tǒng)的運動,所以下面將看到d和s分別與不同的描述渦旋運動的激發(fā)模式相聯(lián)系.我們所關注的是反常模式d的激發(fā).

4 渦旋進動的反常激發(fā)模式

反常激發(fā)模式對應于渦旋核心繞勢阱中心的進動,由當s=0時的d來表示,這首先在BEC中在對博格留波夫方程的研究中被發(fā)現(xiàn)[4].(11)式中頻率為ωan的模式具有2rf=rv的性質,亦即渦旋距阱中心的位置是凝聚體中心位置的兩倍,這同樣也對可從限制條件xfyv=xvyf看出.對應的運動方程和方程(10a)形式類似,是一組二維線性微分方程,其通解形如

從上面的解可以看出渦旋核心和體系本身處于進動,小振幅運動rv的大小為rf的兩倍.這表明一種動力學不穩(wěn)定性,這種系統(tǒng)除了在有外加角動量的情況下本性地具有不穩(wěn)定性.在這種系統(tǒng)中,甚至可以出現(xiàn)具有負頻率的模式,使得渦旋在沿外勢軸的繞行中不穩(wěn)定.

圖1 外勢臨界轉動頻率在不同徑向囚禁頻率時隨粒子間相互作用的變化關系

反常模式的性質與原子間相互作用密切相關,因為由(11)式知其表達式ωan中含有γ(η0),當ωan=0時的臨界頻率Ωc刻畫了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性,此時渦旋不再進動.考慮配對的40K原子,粒子數(shù)目為N=1.3×104,徑向囚禁頻分別為ω⊥=60,130,270,520×2πHz.圖1中顯示臨界頻率Ωc隨著系統(tǒng)從BCS往BEC區(qū)域過渡的過程中越來越大,最終在BEC區(qū)域趨向于定值1.并且,在幺正極限附近,尤其是左側(BCS區(qū)域)隨著ω⊥的增加Ωc迅速減小;但是如果考慮BEC端,則可以發(fā)現(xiàn)Ωc將逐漸趨向于一個常數(shù)值.當η0＞1,這些不同頻率的ω⊥對應的曲線最終將重合.還可以發(fā)現(xiàn),BCS區(qū)的臨界頻率比在BEC區(qū)的小,而這也和在集體激發(fā)的計算和實驗中所得到的結果一致.所有的Ωc曲線都趨于同一個值的行為與在BEC情況下得到的結論一致,表明了在BEC中這種反常模式發(fā)生的臨界頻率與ω⊥無關.

如果沒有外加角動量(即Ω=0),則ωan=-Ωc,得到逆時針旋轉的渦旋解,其負頻率由(11)式給出,周期為 T0=2π/|ωan|(在圖 2 中給出).這個周期當系統(tǒng)從BCS到BEC轉化的過程中逐漸變小,最終在BEC區(qū)域趨向于一個定值;并且,當徑向囚禁頻率增強時,這個周期在BCS區(qū)域迅速增加;而在BEC區(qū),當η0＞1時隨著不同的徑向囚禁頻率則很難區(qū)分不同曲線的值.當增加外勢旋轉頻率Ω,負的反常模頻率逐漸增加并趨向于零,最終在Ω=Ωc處消失.當Ω＞Ωc時,顯然運動開始反向,變?yōu)轫槙r針方向.反常模式的頻率(周期)在BCS區(qū)域比在BEC區(qū)域更小(大),這也和已有的集體激發(fā)的結果符合.

圖2 渦旋周期在不同徑向囚禁外勢下隨粒子間相互作用的關系

5 結論

通過選取適當?shù)脑囂讲ê瘮?shù),本文利用變分法研究了處于幺正極限附近的超流費米氣體的單個渦旋隨時間的演化行為,得到了反常激發(fā)模式的解及其進動,討論了幺正極限附近反常模式產(chǎn)生的條件.給出了系統(tǒng)囚禁外勢的臨界轉動頻率隨不同徑向囚禁勢阱頻率的關系,并給出渦旋周期隨不同徑向囚禁外勢下隨粒子間相互作用的變化.發(fā)現(xiàn)當系統(tǒng)從BCS端過渡到BEC端時,外勢的臨界轉動頻率越來越大,并且徑向囚禁越大,臨界轉動頻率越小;而渦旋運動的周期則隨不同徑向囚禁頻率在從BCS到BEC轉變過程中越來越小.外勢的臨界轉動頻率和渦旋的運動周期在BEC端都趨于一個常數(shù).本文給出的費米氣體的相關結論在BEC端的結果和已有的BEC結論符合.

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