張曉光，孫 力，陳小龍，安群濤

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電氣工程及自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001）

0 引言

永磁同步電機(jī)PMSM（Permanent Magnet Synchronous Motor）的轉(zhuǎn)子位置與速度是進(jìn)行矢量解耦控制的必要條件，通常采用位置傳感器進(jìn)行檢測(cè)，其中光電編碼器、磁編碼器以及旋轉(zhuǎn)變壓器等最常見(jiàn)。采用傳感器可以準(zhǔn)確、方便地獲得轉(zhuǎn)子位置與速度信息，是電機(jī)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的首選方案。但在航空航天等一些特殊應(yīng)用場(chǎng)合，位置傳感器的應(yīng)用將受到一定的限制，主要問(wèn)題有：在惡劣環(huán)境下，由于溫度、濕度以及機(jī)械振動(dòng)等影響，使得傳感器受到干擾，導(dǎo)致其精度降低，性能不穩(wěn)定甚至無(wú)法工作；高精度、高響應(yīng)的傳感器價(jià)格昂貴，對(duì)于低成本控制系統(tǒng)而言，增加系統(tǒng)成本；傳感器的應(yīng)用增加了電機(jī)軸向尺寸和體積，在空間受限系統(tǒng)中無(wú)法使用。

為了解決位置傳感器在一些特殊場(chǎng)合應(yīng)用受限問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量研究，一些無(wú)位置傳感器控制方法已經(jīng)被廣泛研究，包括高頻注入法、擴(kuò)展卡爾曼濾波器、滑模觀測(cè)器、全階／降階觀測(cè)器、磁鏈估計(jì)法等[1-6]。其中滑模觀測(cè)器具有魯棒性強(qiáng)、動(dòng)態(tài)響應(yīng)快、易于工程實(shí)現(xiàn)等諸多優(yōu)點(diǎn)而得到了廣泛關(guān)注[7-10]。然而滑模觀測(cè)器中抖振現(xiàn)象的存在會(huì)直接影響觀測(cè)精度，為了解決抖振問(wèn)題，文獻(xiàn)[11]在滑模邊界層內(nèi)采用連續(xù)函數(shù)取代符號(hào)函數(shù)，從而抑制了抖振現(xiàn)象，但在滑模邊界層內(nèi)觀測(cè)器的魯棒性將無(wú)法得到保證。文獻(xiàn)[12]和[13]分別設(shè)計(jì)了具有變截止頻率的低通濾波器和具有擴(kuò)展卡爾曼濾波器結(jié)構(gòu)的濾波器對(duì)觀測(cè)的電機(jī)反電動(dòng)勢(shì)進(jìn)行濾波，但在抑制抖振的同時(shí)，被觀測(cè)量也將產(chǎn)生相位滯后與幅值的減小，因此需要對(duì)估計(jì)的轉(zhuǎn)子角度進(jìn)行相位和幅值補(bǔ)償。

本文在分析傳統(tǒng)滑模觀測(cè)器的基礎(chǔ)上，提出一種基于線性滑模與混合非奇異終端滑模的新型二階滑模觀測(cè)器，并對(duì)滑?？刂坡蛇M(jìn)行了設(shè)計(jì)，抑制了滑模固有的抖振現(xiàn)象。該觀測(cè)器能夠避免常規(guī)滑模觀測(cè)器由于低通濾波所產(chǎn)生的相位滯后，提高了轉(zhuǎn)子位置與速度的估算精度。利用Lyapunov方法證明了觀測(cè)器的穩(wěn)定性，并給出了滑模控制律參數(shù)的自適應(yīng)律。最后通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該觀測(cè)器的正確性和有效性。

1 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

對(duì)于表貼式永磁同步電機(jī)，假設(shè)轉(zhuǎn)子永磁磁場(chǎng)在氣隙空間分布為正弦波，定子電樞繞組中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)也為正弦波，不計(jì)鐵芯渦流與磁滯損耗，其在靜止參考坐標(biāo)系下的電壓方程如下：

其中，R 為定子電阻；L 為定子電感；eα、eβ，iα、iβ，uα、uβ分別為αβ坐標(biāo)系下的繞組反電勢(shì)、定子電流和定子電壓。

由式（1）可得表貼式永磁同步電機(jī)在靜止αβ坐標(biāo)系下?tīng)顟B(tài)方程為：

2 二階滑模觀測(cè)器

2.1 常規(guī)滑模觀測(cè)器

由于電機(jī)轉(zhuǎn)子位置與速度信息包含在電機(jī)反電動(dòng)勢(shì)中，因此可構(gòu)建滑模觀測(cè)器對(duì)反電動(dòng)勢(shì)進(jìn)行觀測(cè)，進(jìn)而估計(jì)電機(jī)轉(zhuǎn)子位置與速度。根據(jù)式（2）所示永磁同步電機(jī)的狀態(tài)方程，構(gòu)建常規(guī)滑模觀測(cè)器如下：

其中，“^”表示觀測(cè)值；K= [-k1-k1]T為滑模增益矩陣，k1＞0；sgn（·）為符號(hào)函數(shù)。

將式（3）與式（2）相減得到觀測(cè)誤差方程：

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)達(dá)到滑模切換面以后，由等效控制理論可知滑模切換面滿足，則觀測(cè)誤差方程可簡(jiǎn)化為：

由式（6）可知，電機(jī)的反電勢(shì)信息被包含在符號(hào)函數(shù)中，但符號(hào)函數(shù)為不連續(xù)變化量，含有大量高頻干擾，因此需要對(duì)其進(jìn)行低通濾波才能得到平滑的反電勢(shì)信號(hào)，經(jīng)過(guò)濾波處理后的估算反電勢(shì)為：

其中，ωc為低通濾波器的截止頻率。通過(guò)低通濾波的反電動(dòng)勢(shì)將會(huì)產(chǎn)生相位延遲，該延遲與低通濾波器的截止頻率直接相關(guān)，截止頻率越低，對(duì)應(yīng)固定頻率的相延遲越大，實(shí)際應(yīng)用中需對(duì)其進(jìn)行相位補(bǔ)償。補(bǔ)償后的轉(zhuǎn)子位置與速度估計(jì)值為：

2.2 二階滑模觀測(cè)器的構(gòu)建與穩(wěn)定性分析

對(duì)常規(guī)滑模觀測(cè)器的分析可知，為了得到平滑的反電勢(shì)信息，采用了低通濾波器對(duì)符號(hào)函數(shù)中抖振信號(hào)進(jìn)行濾波處理，從而導(dǎo)致了估算轉(zhuǎn)子位置的相位延遲，需要進(jìn)行相位補(bǔ)償。同時(shí)由式（9）可知，估算速度由轉(zhuǎn)子位置微分計(jì)算得到，將會(huì)引入大量干擾，從而影響觀測(cè)精度。為了解決常規(guī)觀測(cè)器的上述問(wèn)題，本文提出二階混合非奇異終端滑模觀測(cè)器，該觀測(cè)器在本質(zhì)上抑制了滑模固有的抖振現(xiàn)象，省去了低通濾波器，從而避免了觀測(cè)轉(zhuǎn)子位置的相位滯后，提高了觀測(cè)精度。

構(gòu)建新型滑模觀測(cè)器如下：

其中，v=[vαvβ]T為觀測(cè)器控制律。

將式（10）與式（2）相減得到新型觀測(cè)器的觀測(cè)誤差方程：

由滑?？刂评碚摽芍?，滑模切換面的設(shè)計(jì)將直接影響系統(tǒng)狀態(tài)的收斂特性[14-15]。而對(duì)于滑模觀測(cè)器而言，滑模切換面是觀測(cè)器設(shè)計(jì)的關(guān)鍵，它將決定觀測(cè)值收斂到實(shí)際值的速度與方式。因此本文基于線性滑模與混合非奇異終端滑模設(shè)計(jì)了如式（12）所示的滑模切換面。

其中，c、γ、p、q 為滑模參數(shù)，且 c＞0，γ＞0，p／q＞1，p、q均為奇數(shù)；為定子電流觀測(cè)誤差，將其作為一階線性滑模切換面；s為二階混合非奇異終端滑模切換面。

滑模切換面確定之后，需要進(jìn)一步對(duì)新型觀測(cè)器（式（10））中的滑?？刂坡蓈進(jìn)行設(shè)計(jì)，以保證該觀測(cè)器的穩(wěn)定。本文設(shè)計(jì)滑模觀測(cè)器控制律v為：

其中，η、u、lg均為滑?？刂坡蓞?shù)，且η＞0，u＞0。

結(jié)合誤差方程式（11），可得：

進(jìn)一步根據(jù)滑?？刂坡墒剑?3），可得：

當(dāng)滑?？刂坡蓞?shù)lg取值滿足：

則式（16）可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

顯然在參數(shù)lg的選取范圍內(nèi)所設(shè)計(jì)的滑模控制律滿足滑模到達(dá)條件，能夠保證該滑模觀測(cè)器的穩(wěn)定。而根據(jù)滑?？刂坡蓞?shù)lg的選取范圍可設(shè)計(jì)參數(shù)自適應(yīng)律如式（19）所示，其中 g＞1。

2.3 轉(zhuǎn)子位置與速度信息獲取

根據(jù)滑?？刂评碚摽芍?，在控制律式（13）作用下，二階滑模切換面s將會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)收斂于平衡點(diǎn)，此時(shí)滑模切換面方程式（12）為：

式（21）表明電機(jī)的反電動(dòng)勢(shì)信息可通過(guò)滑模控制律進(jìn)行觀測(cè)。同時(shí)與式（6）進(jìn)行對(duì)比可知，常規(guī)滑模觀測(cè)器的反電動(dòng)勢(shì)信息包含在引起抖振現(xiàn)象的符號(hào)函數(shù)中，而新型滑模觀測(cè)器的反電動(dòng)勢(shì)信息包含在滑模控制律式（13）中，雖然滑?？刂坡芍型瑯影?hào)函數(shù)，但該符號(hào)函數(shù)經(jīng)過(guò)了積分器的濾波環(huán)節(jié)，使得抖振現(xiàn)象得到有效抑制，因此，轉(zhuǎn)子位置可以直接由觀測(cè)的反電動(dòng)勢(shì)信息計(jì)算得到，不需要再進(jìn)行低通濾波處理，避免了常規(guī)滑模觀測(cè)器的相位滯后問(wèn)題。

常規(guī)滑模觀測(cè)器計(jì)算轉(zhuǎn)子位置與轉(zhuǎn)速的方法通常采用如式（8）和（9）所示的反正切與微分計(jì)算方法，這種方法精度不高且微分運(yùn)算容易引入干擾。為了克服上述缺點(diǎn)提高觀測(cè)精度，本文采用如圖1所示的轉(zhuǎn)子位置與速度跟蹤算法從觀測(cè)的反電動(dòng)勢(shì)中解調(diào)出轉(zhuǎn)子位置和速度。圖中，分別為估算轉(zhuǎn)子位置與速度。

圖1 轉(zhuǎn)子位置與速度跟蹤算法Fig.1 Rotor position and speed tracking algorithm

對(duì)圖1算法進(jìn)行分析可知：

其中，θ*re為觀測(cè)反電勢(shì)的相位角，k為反電勢(shì)系數(shù)。

此時(shí)圖1所示的跟蹤算法結(jié)構(gòu)等效于圖2所示的鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)。轉(zhuǎn)子位置誤差Δθre經(jīng)過(guò)PI調(diào)節(jié)后得到估算轉(zhuǎn)速，而估算轉(zhuǎn)速經(jīng)過(guò)積分環(huán)節(jié)得到估算轉(zhuǎn)子位置。某一時(shí)刻，若估算轉(zhuǎn)子位置小于實(shí)際轉(zhuǎn)子位置，則位置誤差增大，經(jīng)PI調(diào)節(jié)輸出后的估算轉(zhuǎn)速增大，進(jìn)而調(diào)節(jié)估算轉(zhuǎn)子位置逐漸增大，最終使其與實(shí)際轉(zhuǎn)子位置相接近；若估算轉(zhuǎn)子位置大于實(shí)際轉(zhuǎn)子位置，分析類(lèi)似。

圖2 鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 Structure of PLL

圖3為二階混合非奇異終端滑模觀測(cè)器結(jié)構(gòu)框圖。由式（10）所構(gòu)建的滑模觀測(cè)器估算出電機(jī)電流，并與檢測(cè)的實(shí)際電流相減得到電流誤差，利用該電流誤差構(gòu)建滑模面，從而通過(guò)滑模控制律估計(jì)出電機(jī)反電動(dòng)勢(shì)，最后利用跟蹤算法得到轉(zhuǎn)子位置與速度信息。

圖3 新型滑模觀測(cè)器系統(tǒng)框圖Fig.3 Block diagram of novel sliding mode observer system

3 仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

建立了基于Simulink的系統(tǒng)仿真模型，并以TI公司TMS320F2812為控制芯片搭建了實(shí)物系統(tǒng)，控制系統(tǒng)整體結(jié)構(gòu)如圖4所示，電機(jī)參數(shù)為R=3.5 Ω；Ld=Lq=11.5 mH；ψa=0.107 Wb；J=4.4×10-4kg·m2；粘滯摩擦系數(shù) B=0.000 1 N·m·s；極對(duì)數(shù) p1=3；額定轉(zhuǎn)速為2 000 r／min；逆變器開(kāi)關(guān)頻率為15 kHz。

圖4 控制系統(tǒng)框圖Fig.4 Block diagram of control system

圖5—7為常規(guī)滑模觀測(cè)器及新型滑模觀測(cè)器仿真結(jié)果對(duì)比，圖中虛線為實(shí)際值，實(shí)線代表觀測(cè)器估計(jì)值。其中圖5為α軸電流估計(jì)仿真，圖6為轉(zhuǎn)子位置估計(jì)仿真，圖7為電機(jī)轉(zhuǎn)速估計(jì)仿真。圖8為電機(jī)給定轉(zhuǎn)速?gòu)?00 r／min增加至500 r／min時(shí)2種滑模觀測(cè)器電機(jī)轉(zhuǎn)速估計(jì)值與實(shí)際測(cè)量值對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果，其中電機(jī)實(shí)際速度是由2500線的光電編碼器經(jīng)過(guò) DSP 4 倍頻后測(cè)量得到；圖 9（a）、（b）分別為電機(jī)給定轉(zhuǎn)速500 r／min穩(wěn)態(tài)運(yùn)行過(guò)程中，2種滑模觀測(cè)器轉(zhuǎn)子位置估計(jì)值與實(shí)際轉(zhuǎn)子位置對(duì)比曲線，而實(shí)際轉(zhuǎn)子位置同樣由編碼器測(cè)量得到。

從以上仿真與實(shí)驗(yàn)可得結(jié)論如下。

a.常規(guī)滑模觀測(cè)器電流估計(jì)值存在高頻抖振，估計(jì)精度不高；而新型滑模觀測(cè)器有效抑制了滑模固有的抖振現(xiàn)象，估計(jì)電流能夠快速收斂于實(shí)際電流，且估計(jì)精度高。

b.常規(guī)滑模觀測(cè)器估計(jì)的轉(zhuǎn)子位置滯后于實(shí)際轉(zhuǎn)子位置，存在一定誤差；而新型滑模觀測(cè)器避免了低通濾波器的引入，能夠快速跟蹤實(shí)際轉(zhuǎn)子位置，穩(wěn)態(tài)誤差小。

c.常規(guī)滑模觀測(cè)器轉(zhuǎn)速估計(jì)波動(dòng)較大，精度低；而新型觀測(cè)器由于引入二階滑模與鎖相環(huán)跟蹤算法提高了觀測(cè)精度，估計(jì)轉(zhuǎn)速波動(dòng)小，穩(wěn)態(tài)性能較好。

另外，與常規(guī)觀測(cè)器相比，新型觀測(cè)器速度估計(jì)的動(dòng)態(tài)性能改善不顯著，而通過(guò)對(duì)鎖相環(huán)中PI參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)，可實(shí)現(xiàn)速度估計(jì)的動(dòng)態(tài)性能調(diào)節(jié)，增大比例系數(shù)可提高動(dòng)態(tài)性能，但比例系數(shù)過(guò)大會(huì)導(dǎo)致估計(jì)速度出現(xiàn)振蕩，影響穩(wěn)態(tài)性能。因此本文為了提高速度估計(jì)的穩(wěn)態(tài)性能同時(shí)不影響其動(dòng)態(tài)性能，選取 PI參數(shù)為 kp=20、ki=1。

圖5 常規(guī)觀測(cè)器與新型觀測(cè)器電流估計(jì)值仿真對(duì)比Fig.5 Simulative comparison of estimated current between traditional and novel observers

圖6 常規(guī)觀測(cè)器與新型觀測(cè)器估計(jì)的轉(zhuǎn)子位置仿真對(duì)比Fig.6 Simulative comparison of rotor position between traditional and novel observers

圖7 常規(guī)觀測(cè)器與新型觀測(cè)器電機(jī)速度估計(jì)仿真對(duì)比Fig.7 Simulative comparison of motor speed between traditional and novel observers

圖8 常規(guī)觀測(cè)器與新型觀測(cè)器電機(jī)速度估計(jì)實(shí)驗(yàn)波形Fig.8 Experimental waveforms of motor speed estimated by traditional and novel observers

圖9 常規(guī)觀測(cè)器與新型觀測(cè)器轉(zhuǎn)子位置估計(jì)實(shí)驗(yàn)波形Fig.9 Experimental waveforms of rotor position estimated by traditional and novel observers

4 結(jié)論

本文在傳統(tǒng)滑模觀測(cè)器基礎(chǔ)上，提出了一種二階滑模觀測(cè)器。該觀測(cè)器通過(guò)在線性滑模面基礎(chǔ)上引入混合非奇異終端滑模面，并設(shè)計(jì)合適的滑模控制律，可以有效抑制常規(guī)滑模觀測(cè)器中的抖振現(xiàn)象，提高電機(jī)轉(zhuǎn)子位置與速度的觀測(cè)精度，并消除了低通濾波器所帶來(lái)的幅值與相位影響。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的二階滑模觀測(cè)器能有效提高觀測(cè)精度，為永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的無(wú)位置傳感器運(yùn)行提供了一種有效的方法。