馬 靜，彭明法，王 彤，楊奇遜

（華北電力大學(xué) 新能源電力系統(tǒng)國家重點實驗室，北京 102206）

0 引言

隨著電網(wǎng)規(guī)模的不斷擴大及運行方式的靈活多變，電力系統(tǒng)的低頻振蕩問題愈加突出[1-4]。目前，低頻振蕩分析方法主要分為軌跡分析法模型分析法。后者又可分為確定性模型法和不確定性模型法。長期以來，電力部門在規(guī)劃和運行中都采用確定性模型法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，而忽略了網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?、模型、參?shù)和運行工況等不確定因素的影響，為此，不確定性模型法通過建立不確定因素與狀態(tài)變量，以及狀態(tài)變量與特征根之間的關(guān)系，利用不確定性特征根反映不確定因素對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，更符合實際情況。不確定性模型法主要包括概率模型[5-6]和區(qū)間模型[7-8]2種。與概率模型相比，區(qū)間模型所需的統(tǒng)計學(xué)參數(shù)較少且易于獲取，目前，對該方法的研究主要集中在分析單一運行參數(shù)的不確定性變化、區(qū)間限值處對應(yīng)的系統(tǒng)運行狀態(tài)、運行參數(shù)微小波動情況下評估系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性等方面[9-10]。對如何解決多運行參數(shù)波動較大情況下，連續(xù)描述區(qū)間內(nèi)及限值處對應(yīng)的系統(tǒng)運行狀態(tài)等問題亟待進(jìn)一步研究。

圍繞這些問題，本文提出了一種考慮多運行參數(shù)不確定性的低頻振蕩分析方法。首先，建立不確定信息下獲取系統(tǒng)振蕩模式分布情況的復(fù)模態(tài)二階攝動模型，在此基礎(chǔ)上，連續(xù)描述運行狀態(tài)在不確定變化區(qū)間內(nèi)振蕩模式阻尼比的變化軌跡。IEEE 16機68節(jié)點系統(tǒng)仿真結(jié)果驗證了該方法的正確性和有效性。

1 基于二階攝動理論的小干擾穩(wěn)定分析原理

考慮區(qū)間不確定性的系統(tǒng)特征解問題可描述為：

由矩陣攝動理論[12-14]，式（2）的特征解可表示為：

其中，λi、φi分別為系統(tǒng)的特征值、右特征向量；λi0、φi0分別為系統(tǒng)確定性部分的特征值、右特征向量；λi1、λi2分別為特征值的一階和二階攝動值；φi1、φi2分別為右特征向量的一階和二階攝動值。

將式（3）、式（4）代入式（2），且忽略三階及三階以上無窮小量，可得：

左特征向量ψi與右特征向量φj經(jīng)過規(guī)范化后滿足下列關(guān)系式：

當(dāng) i=j時，δij=1，當(dāng) i≠j時，δij=0。

根據(jù)二項式原理，特征向量一階攝動值φi1和二階攝動值φi2可以通過確定性部分的右特征向量φi0表示：

其中，n為狀態(tài)矩陣的階數(shù)。

將式（11）代入式（6），式（12）代入式（7），且式（6）與式（7）兩邊同時左乘ψTi0，再根據(jù)左右特征向量的正交性可得：

當(dāng)i=j時，可得特征值的一階攝動值和二階攝動值：

將式（15）和式（16）代入式（3），可計算出系統(tǒng)參數(shù)變化后的特征值二階近似值：

2 應(yīng)用算例

以IEEE 16機68節(jié)點[15]的新英格蘭—紐約互聯(lián)系統(tǒng)為例，如圖1所示，該系統(tǒng)可分為五大區(qū)域。發(fā)電機采用六階詳細(xì)模型，勵磁采用IEEE-DC1型勵磁，負(fù)荷模型采用WECC負(fù)荷模型，有功負(fù)荷中包含80%的恒有功負(fù)荷，20%的電動機負(fù)荷，無功負(fù)荷中包含80%的恒無功阻抗負(fù)荷，20%的電動機負(fù)荷。矩陣A的具體形成詳見軟件Power System Toolbox，系統(tǒng)在區(qū)間中值處的低頻振蕩主導(dǎo)模式見表1。利用MATLAB 7.6.0進(jìn)行攝動分析。

考慮系統(tǒng)運行方式和結(jié)構(gòu)參數(shù)的區(qū)間不確定性，其中系統(tǒng)運行方式的不確定性以16機機端電壓UG16和有功功率PG16，以及37節(jié)點負(fù)荷的有功功率PL為例進(jìn)行分析；而系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性則采用15機的慣性時間常數(shù)M15和暫態(tài)電抗x′d15進(jìn)行考察。不確定性區(qū)間分布均為其中值的±20%。計算結(jié)果表明，平均每次攝動所需的時間為0.03s，而利用QR計算方法的時間為0.04s，并且隨著矩陣維數(shù)的上升，利用攝動方法計算特征值的效率越高。

圖1 IEEE 16機68節(jié)點系統(tǒng)接線圖Fig.1 Connection diagram of IEEE 16-generator 68-bus system

表1 低頻振蕩主導(dǎo)模式Tab.1 Dominant mode of low-frequency oscillation

2.1 考慮系統(tǒng)運行方式不確定性的阻尼比區(qū)間分布

系統(tǒng)運行方式在區(qū)間范圍內(nèi)變化時，相應(yīng)的區(qū)間振蕩模式阻尼比區(qū)間如表2所示，表中UG16、PG16、PL取值范圍分別為 0.8～1.2 p.u.、32～46MW、48～72MW。由表2可知，不確定參數(shù)UG16和PG16對模式1阻尼比的影響程度最大；對模式2阻尼比的影響程度次之；對模式3和模式4阻尼比的影響較小。PL對模式3阻尼比的影響程度最大，而對模式1、模式2以及模式4的阻尼比幾乎沒有影響。

表2 系統(tǒng)運行方式不確定時阻尼比區(qū)間分布Tab.2 Interval of damping ratio under uncertainty of operation mode

考慮到模式1參與振蕩的機組最多，是典型的區(qū)間振蕩模式，因此本文以模式1為例，分析不同運行方式在不確定區(qū)間內(nèi)變化時，其阻尼比的變化趨勢，如圖2—4所示，圖2中UG16為標(biāo)幺值，后同。

圖2 模式1阻尼比隨UG16變化曲線Fig.2 Damping ratio of mode 1 vs.UG16

圖3 模式1阻尼比隨PG16變化曲線Fig.3 Damping ratio of mode 1 vs.PG16

圖4 模式1阻尼比隨PL變化曲線Fig.4 Damping ratio of mode 1 vs.PL

由圖2—4可知，16機機端電壓升高時，模式1阻尼比急劇減小，當(dāng)減至最小值后又緩慢增加；16機有功增大時，模式1的阻尼比緩慢減小，在減至最小值后又迅速增加；37節(jié)點負(fù)荷有功增加時，模式1的阻尼比單調(diào)遞減，逐漸由正阻尼模式變?yōu)樨?fù)阻尼模式。

圖5 區(qū)間模式阻尼比隨UG16變化軌跡Fig.5 Damping ratio of inter-area mode vs.UG16

由上面分析可知，不同運行參數(shù)在區(qū)間范圍內(nèi)變化時，對振蕩模式的阻尼比影響程度不同。為了更全面地描述不同模式阻尼比與系統(tǒng)運行狀態(tài)的對應(yīng)關(guān)系，以UG16在不確定區(qū)間內(nèi)變化為例，分析各模式的阻尼比隨其變化規(guī)律。如圖5所示，模式1的阻尼比隨UG16的增大而迅速減小，當(dāng)減小至最小值后，又隨UG16的增大而逐漸增加；模式2的阻尼比與模式1變化規(guī)律相同；模式3的阻尼比隨UG16的增大而逐漸增加，但達(dá)到最大值后，又隨UG16的增加而逐漸減??；模式4的阻尼比則隨著UG16的增大呈單調(diào)遞增的趨勢。同理，也可分析當(dāng)PG16、PL在不確定區(qū)間內(nèi)變化時，各模式的阻尼比隨其變化的曲線，本文不再贅述。

由圖2—5還可以看出，在運行方式變化區(qū)間比較大的情況下，利用二階攝動理論得到的阻尼比變化曲線與真實阻尼比變化曲線極為接近，由此驗證了本方法的準(zhǔn)確性和有效性。

2.2 考慮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性的阻尼比區(qū)間分布

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)在區(qū)間范圍內(nèi)變化時，相應(yīng)的區(qū)間振蕩模式阻尼比區(qū)間如表3所示，表中M15、x′d15取值范圍分別為 240～360 s、0.00228～0.00342 p.u.。由表3可知，不確定參數(shù)M15對模式4的阻尼比影響程度最大，對模式1的阻尼比影響程度次之，對模式2和模式3的阻尼比幾乎無影響。同時，不確定參數(shù)x′d15對各模式的阻尼比幾乎無影響。

表3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定時區(qū)間阻尼比區(qū)間Tab.3 Interval of damping ratio of inter-area mode under uncertainty of system structural parameters

考慮到結(jié)構(gòu)參數(shù)M15和x′d15變化時，對模式4阻尼比的影響程度最大，因此本文以模式4為例，分析結(jié)構(gòu)參數(shù)在不確定區(qū)間內(nèi)變化時，其阻尼比的變化趨勢，如圖6、7所示，圖7中x′d15為標(biāo)幺值。由這2幅圖可知，當(dāng)M15增大時，模式4的阻尼比單調(diào)增加；但x′d15增大時，模式4的阻尼比雖然有增加的趨勢，但其增加程度甚小，幾乎可以忽略不計。

由以上分析可知，不同結(jié)構(gòu)參數(shù)在區(qū)間范圍內(nèi)變化時，對振蕩模式的阻尼比影響程度各異。為了更全面地揭示不同模式阻尼比與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)間的關(guān)系，以M15在不確定區(qū)間內(nèi)變化為例，分析各模式的阻尼比隨其變化規(guī)律。如圖8所示，模式1的阻尼比隨M15的增加而逐漸減小，模式2、3的阻尼比隨M15的增大幾乎不變化，而模式4的阻尼比則隨M15的增大而增大。同理，還可分析當(dāng)x′d15在不確定區(qū)間內(nèi)變化時，各模式的阻尼比隨其變化的曲線，在此不再詳述。

圖6 模式4阻尼比隨M15變化曲線Fig.6 Damping ratio of mode 4 vs.M15

圖7 模式4阻尼比隨x′d15變化曲線Fig.7 Damping ratio of mode 4 vs.x′d15

圖8 區(qū)間模式阻尼比隨M15變化軌跡Fig.8 Damping ratio of inter-area mode vs.M15

由圖6—8還可以看出，在結(jié)構(gòu)參數(shù)變化明顯的情況下，利用二階攝動理論得到的阻尼比變化曲線準(zhǔn)確度極高，符合真實情況，由此進(jìn)一步驗證了本方法的有效性和可行性。

3 結(jié)論

本文提出一種基于二階攝動理論和區(qū)間模型分析低頻振蕩模式及其阻尼比的方法。首先，建立了不確定信息下獲取系統(tǒng)振蕩模式分布情況的復(fù)模態(tài)二階攝動模型。然后，連續(xù)描述運行狀態(tài)在不確定變化區(qū)間內(nèi)，振蕩模式阻尼比的變化軌跡。IEEE 16機68節(jié)點系統(tǒng)的仿真結(jié)果表明：一方面不同運行參數(shù)在區(qū)間范圍內(nèi)變化時，對振蕩模式的阻尼比影響程度不同；另一方面，同一運行參數(shù)在區(qū)間范圍內(nèi)變化時，對不同振蕩模式的阻尼比影響各異。同時，當(dāng)系統(tǒng)中不確定參數(shù)發(fā)生較大變化時，該方法仍能較準(zhǔn)確地評估系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定情況，并可為運行人員提供更加全面的信息，以改善關(guān)鍵振蕩模式的阻尼。