甘家梁，熊曾剛，王光偉，徐翠琴，李 驥

（湖北工程學(xué)院計算機(jī)與信息科學(xué)學(xué)院，湖北 孝感 432100）

0 引 言

開關(guān)式電源轉(zhuǎn)換器具有大負(fù)載電流范圍以及高轉(zhuǎn)換效率的優(yōu)點，但是電路中采用電感以及電容當(dāng)作能量傳遞的組件，配合功率晶體管當(dāng)作開關(guān)切換，因此輸出電壓具有紋波［1］.同時，電源的負(fù)載多數(shù)是感性負(fù)載，對電源輸出的擾動時刻存在著，因此希望尋求一個解決方式，以降低或消除輸出電壓紋波和干擾的影響.常規(guī)直流－直流（Direct current－Direct current，簡稱 DC－DC）變換控制電路采用PID （Proportional－integralderivative，簡稱PID）或者微處理器電路等經(jīng)典的控制策略，產(chǎn)生脈沖寬度調(diào)制 （Pulse width modulator，簡稱PWM）波形進(jìn)行控制，這種控制策略是一種基于小信號模型的方法.然而在實際控制系統(tǒng)中，DC－DC轉(zhuǎn)換器受到自身參數(shù)的影響，在大信號擾動下，如果負(fù)載的變化大，用小信號進(jìn)行控制的系統(tǒng)輸出結(jié)果就與系統(tǒng)響應(yīng)特性不一致，因此小信號分析方法在DC－DC轉(zhuǎn)換器的控制策略中有先天不足.由于受開關(guān)量的控制，DC－DC轉(zhuǎn)換器在工作過程中的控制量在兩個子拓?fù)渲g來回切換，具 有變結(jié)構(gòu)的特點［1－2］.滑模控制（Sliding Mode Control，簡稱SMC）技術(shù)擁有響應(yīng)快速，設(shè)計簡單，以及對系統(tǒng)的不確定性或外在干擾具有穩(wěn)健性（robustness）等優(yōu)點，是一種具穩(wěn)健性的控制設(shè)計方法，并且通過適當(dāng)?shù)剡x取控制器的參數(shù)設(shè)定，設(shè)計者可以調(diào)整系統(tǒng)輸出追蹤理想值的收斂速度，因此設(shè)計上更靈活.變結(jié)構(gòu)控制的設(shè)計思想就是利用開關(guān)信號0／1變更控制律，其設(shè)計理念非常適用于具有非線性特性的DC－DC轉(zhuǎn)換器，并具有很好的魯棒性能［1－3］.本研究針對PWM的降壓型轉(zhuǎn)換器提出以不同狀態(tài)為變量的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用比例積分微分修正滑模控制法則作為控制器的設(shè)計，仿真結(jié)果證明控制器對于系統(tǒng)輸出電壓具有不隨負(fù)載電流變動而變化的特性，同時對于系統(tǒng)參數(shù)變化亦具寬廣的魯棒性.

1 降壓型DC－DC變換器控制方法分析與建模

1.1 滑模變結(jié)構(gòu)控制策略分析

滑?？刂埔卜Q變結(jié)構(gòu)控制，其特點在于其利用不連續(xù)的控制輸入，使得閉合回路系統(tǒng)軌跡最后會被限制在一個預(yù)先設(shè)計好的滑模面（sliding surface）上，而閉合回路系統(tǒng)的動態(tài)行為可由滑模面來規(guī)范［4－5］.一般來說，滑?？刂破鋼碛许憫?yīng)速度快、容易實現(xiàn)，以及對于模型不確定性或外在干擾具有強(qiáng)健性的優(yōu)點.因此，滑?？刂撇呗詫τ诰哂凶兘Y(jié)構(gòu)特點的DC－DC變換器特別適用，并可以獲得良好的魯棒性和瞬態(tài)特性.

對一個控制系統(tǒng)要實現(xiàn)滑?？刂疲到y(tǒng)的設(shè)計必須滿足存在條件、到達(dá)條件和穩(wěn)定性.本文通過分析二階相變量控制系統(tǒng)，來說明這三個基本條件的含義［2－3，5］.假設(shè)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

f（·）是一個n維矢量函數(shù)，x為系統(tǒng)的狀態(tài)矢量，u為系統(tǒng)的輸入控制信號.發(fā)生結(jié)構(gòu)狀態(tài)轉(zhuǎn)換定義在切換面s（x，t）＝0處，即

要使系統(tǒng)狀態(tài)軌跡在滑模面s（x，t）＝0上作來回切換運(yùn)動，必須保證系統(tǒng)的控制矢量f＋和f－在s（x，t）＝0的兩側(cè)處的方向指向切換面s（x，t）＝0.

在控制輸入信號為u＋和u－時，如果系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)時對應(yīng)的工作點x＋和x－分別處于u－和u＋的作用空間，則可以保證工作系統(tǒng)在控制量u的作用下，不論初始狀態(tài)如何都可到達(dá)控制滑模面，并沿滑模面滑動至原點.

DC－DC轉(zhuǎn)換器是一個分段線性系統(tǒng)，即雙線性開關(guān)網(wǎng)絡(luò)，它的狀態(tài)方程為

式（3）中，xT＝［U0，iL］，Uo為電容電壓，iL為電感電流，A為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，B為控制矩陣.

選取滑?？刂频那袚Q函數(shù)為

式（4）中，α＞0為滑模系數(shù)，e＝Uref－γU0為系統(tǒng)的輸出誤差電壓，Uref是系統(tǒng)所期望的參考輸出電壓.

采用直接法（開關(guān)控制信號是根據(jù)切換函數(shù)的符號直接產(chǎn)生），選取控制律為

則滑模狀態(tài)的存在條件和能達(dá)條件是

當(dāng)DC－DC轉(zhuǎn)換器選取的切換函數(shù)式（2）滿足存在條件和能達(dá)條件式（4）時，采用控制律式（3）可以實現(xiàn)方程式（1）的滑模變結(jié)構(gòu)控制，即閉環(huán)控制轉(zhuǎn)換系統(tǒng)不論始于何種初始狀態(tài)，其運(yùn)行狀態(tài)軌跡總可以在有限時間內(nèi)到達(dá)滑模面，并沿滑模面運(yùn)動，最終逐漸穩(wěn)定于相平面原點（閉環(huán)系統(tǒng)平衡點）.

1.2 不確定性負(fù)載的PWM降壓型DC－DC轉(zhuǎn)換

器電路動態(tài)數(shù)學(xué)模型的建立

降壓型DC－DC轉(zhuǎn)換器采用的滑模電壓控制器，系統(tǒng)工作在電流連續(xù)導(dǎo)通模式下的線性平均等效電路模型可用圖1表示.

圖1 PWM降壓型DC－DC轉(zhuǎn)換器等效電路Fig.1 Equivalent circuit of PWM Step－Down DC－DC converter

為了保留積分環(huán)節(jié)來消除誤差，狀態(tài)變量可以取反饋輸出電壓的誤差，反饋輸出電壓誤差的變化率即反饋電壓誤差的微分和反饋電壓誤差的積分.其數(shù)學(xué)模型狀態(tài)方程式如下［4－6］：

式（7）與式（8）中：iM是流經(jīng)等效固定負(fù)載電阻的電流，E為直流輸入電壓，iN為等效不確定負(fù)載電流，包括參數(shù)變動、負(fù)載變動及噪聲等所引起的不確定電流，d為工作周期（0≤d≤1，可通過由硬件電路設(shè)置限制器加以限制），U0為轉(zhuǎn)換器輸出電壓，R為等效固定負(fù)載電阻，r為電感的等效串聯(lián)電阻，rC為電容的等效串聯(lián)電阻.

解式（7）與式（8）可得：

控制系統(tǒng)為使輸出電壓能穩(wěn)壓于電壓值Uref，因此設(shè)誤差電壓為Ue＝U0－Uref，所以Ue＝U0.

為了使得控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差電壓Ue為零，系統(tǒng)的狀態(tài)變量用如下數(shù)學(xué)公式描述：

則誤差狀態(tài)方程如下式表示：

是對圖1電路的求解，為了求解的方便對非線性電路進(jìn)行線性化處理，通過建模得到一系列線性方程公式：

對電路方程建立系數(shù)系數(shù)矩陣A，施行初等行變換變?yōu)樾凶詈喰尉仃?，為了下面對電路進(jìn)行穩(wěn)定性分析，對系數(shù)矩陣A在等效不確定負(fù)載電流iN情況下進(jìn)行微分變換，就得到方程：

1.3 滑模型PID控制器的設(shè)計

在設(shè)計滑模PID控制器時，通過選取合適的切換函數(shù)s，使PID調(diào)節(jié)器輸出的三個參數(shù)kP、kI、kD最優(yōu)化，從而使轉(zhuǎn)換器輸出的電壓誤差收斂并穩(wěn)定在零值附近［4－7］.降壓型 DC－DC 轉(zhuǎn)換器的數(shù)學(xué)模型以狀態(tài)方程式（11）為基礎(chǔ)，以工作周期d為控制輸入信號，運(yùn)用滑?？刂品▌t來改善PID控制法則.選擇控制滑面方程如下［6－9］：

式（12）中kp、ki、kd為比例積分微分控制器三個系數(shù).

將式（11）代入式（12）得：

控制系統(tǒng)輸入信號d定義分為兩部分：

其中deq為等效控制輸入信號，dn為非線性開關(guān)控制輸入信號.

因此，由式（13）得到控制信號d表示如下：

控制信號d介于0與1之間.可由硬件電路設(shè)置限幅器加以限制.

綜合上述公式可得：

設(shè)dn＝－δsgn（S）并代入式（16）中得：

將滑模PID控制面S與式（17）相乘得：

則SS＝－δ′｜S｜＜0符合滑?？刂品▌t中的迫近滑模條件，若取李雅普諾夫（Lyapunov）函數(shù)U＝，則由左式微分可得U＝SS＝－δ｜S｜＜0［7］，可推論本控制系統(tǒng)在全域是漸近穩(wěn)定的［9－10］.

2 電路仿真與討論

單相電源轉(zhuǎn)換器與控制電路如圖2所示，電路元件參數(shù)設(shè)計如下：等效固定負(fù)載電阻R為10Ω，電感L＝1mH，電感的等效串聯(lián)電阻rL是0.2Ω，電容C＝10μF，電容的等效串聯(lián)電阻rC為0.003Ω，直流輸入電壓E為20V，滑?？刂菩拚齈ID參數(shù)設(shè)計為kp＝0.063 2，ki＝100，kd＝1。

圖2 單相電源轉(zhuǎn)換器控制電路框圖Fig.2 A circuit block diagram of Single－phase power converter

實驗中經(jīng)調(diào)整控制器滑模平面S參數(shù)后的輸出電壓瞬時響應(yīng)圖如圖3所示，滑模面S參數(shù)調(diào)整為臨界阻尼時，穩(wěn)定時間約3ms；過阻尼時，穩(wěn)定時間約5ms；欠阻尼時，穩(wěn)定時間約3ms.仿真顯示無滑模修正PID控制器時輸出電壓約有0.8V的穩(wěn)態(tài)誤差.滑模修正后的PID控制器的仿真結(jié)果如圖4～7所示.由圖4觀察得知，當(dāng)在t＝0.02s時，負(fù)載電流由1A增加至3A，t＝0.03s時再由3A恢復(fù)至1A時，輸出電壓的變動約0.01V.由圖5及圖6可知，當(dāng)輸入電壓E變動時，輸出電壓的變動量約0.01V.圖7為轉(zhuǎn)換器輸出電壓的跟蹤響應(yīng)圖，當(dāng)t＝0.02s時參考電壓由10V調(diào)至15V，t＝0.03s時參考電壓再由15V調(diào)回10V，其間輸出電壓約有0.8V的超越量.

從仿真結(jié)果分析可知，滑模PID控制器是通過滑模面S修正PID的參數(shù).轉(zhuǎn)換器經(jīng)由選擇狀態(tài)變量所設(shè)計的控制器運(yùn)行后，可以獲得最適當(dāng)?shù)妮敵鲭妷簞討B(tài)響應(yīng).當(dāng)滑模面S調(diào)整在過阻尼時系統(tǒng)有較大的輸出電壓超越量，但相對的穩(wěn)定時間也愈長.控制延遲量δ調(diào)整越大，滑模面S越趨近零，對系統(tǒng)的魯棒性愈有利，輸出的穩(wěn)度誤差值越小，但使S的切換速度相對的變快，將會使計算量增大.如選擇滑模面為欠阻尼的控制器，則系統(tǒng)的上升時間變快，但超越量加大，并有振蕩的情況發(fā)生.雖然滑?？刂浦?，由于切換的關(guān)系軌跡并不會完全落在滑模平面上，相對的就無法到達(dá)平衡點，但亦可通過由PID滑模控制中積分器的關(guān)系，減少穩(wěn)態(tài)誤差.而無積分器時，雖然上升時間變快，且無超越量的出現(xiàn)，卻使系統(tǒng)輸出電壓誤差增加.轉(zhuǎn)換器經(jīng)兩種不同模型下（數(shù)學(xué)模型中考慮iL和不考慮iL兩種條件）所設(shè)計的控制器控制后，均有良好的性能表現(xiàn)，但電感電流傳感器的增加，使成本相對的提高，因此在做單相降壓型DCDC控制器的設(shè)計與實踐上應(yīng)選擇狀態(tài)變量較少的模型.

圖3 滑?？刂破矫鍿阻尼輸出電壓響應(yīng)圖Fig.3 Output voltage response diagram for Sliding mode control plane Sdamped

圖4 t＝0.02s時負(fù)載電流輸出電流響應(yīng)圖Fig.4 The output current response diagram when the load current is increased from the 1Ato 3Aat t＝0.02s

圖5 t＝20ms時E變化時的輸出電壓響應(yīng)圖Fig.5 The output voltage response for E is given by at t＝20ms and at＝30ms

圖6 t＝20ms和t＝30ms時E變化的輸出響應(yīng)圖Fig.6 The output voltage response for Eis given at t＝20ms and at＝30ms

圖7 t＝20ms和t＝30ms時參考電壓輸出響應(yīng)圖Fig.7 The output voltage response for Reference voltage is given at t＝20ms and at＝30ms

3 結(jié) 語

以上討論單相降壓型DC－DC轉(zhuǎn)換器的滑模PID控制器的設(shè)計.經(jīng)仿真分析可得所提出的滑模PID控制器均能通過調(diào)整滑模中滑面參數(shù)S來調(diào)整優(yōu)化PID控制器的控制參數(shù)，提高PWM調(diào)制器的效果，使電源轉(zhuǎn)換器獲得最佳的輸出電壓動態(tài)響應(yīng)，對于輸入電壓與負(fù)載電流變動時，電源轉(zhuǎn)換器都有優(yōu)越的魯棒性，而輸出電壓對于參考電壓的跟蹤，也能有良好的性能表現(xiàn)，但考慮控制器的計算復(fù)雜度與測量設(shè)備的成本，設(shè)計狀態(tài)變量較少的控制器，是較佳的選擇［11］.滑模PID控制器不但可以提高系統(tǒng)對不確定負(fù)載的適應(yīng)性，而且增強(qiáng)了系統(tǒng)在大信號擾動時的魯棒性，將其應(yīng)用于開關(guān)電源轉(zhuǎn)換器中具有特殊的優(yōu)勢.

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