叢廣佩，高金吉

（1.大連理工大學(xué) 化工學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.北京化工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，北京 100029）

0 引言

基于風(fēng)險的檢驗(yàn)（RBI）是一種利用風(fēng)險來確定設(shè)備定期檢驗(yàn)范圍和檢驗(yàn)手段的檢驗(yàn)優(yōu)化方法，它利用一個簡化后果計(jì)算將設(shè)備失效可能性轉(zhuǎn)換為設(shè)備損傷帶來的風(fēng)險.API581第1版中將設(shè)備失效后介質(zhì)的擴(kuò)散面積作為后果，

是傳統(tǒng)的安全后果考慮［1］，而在API581第2版中，則傾向于將設(shè)備失效后金融損失作為后果［2］，

它彌補(bǔ)了第一版中后果無法考慮經(jīng)濟(jì)損失、維修費(fèi)用和環(huán)境影響的問題.

從中可以看出，RBI風(fēng)險計(jì)算中后果只是一個常量，因此決定風(fēng)險演變規(guī)律的是與時間有關(guān)的設(shè)備失效概率.在失效概率計(jì)算方面人們做了許多探索，F(xiàn)leming開發(fā)了應(yīng)用于核電管道系統(tǒng)中的失效可能性計(jì)算模型［3］，并在改進(jìn)之后將其應(yīng)用于二十多家核電廠在役檢驗(yàn)策略的制定［4］.其中大部分方法都是基于統(tǒng)計(jì)方法的計(jì)算模型［5］.這種模型的缺點(diǎn)在于需要首先區(qū)分可能的失效機(jī)理及其關(guān)鍵參數(shù)，并將失效數(shù)據(jù)按照可能的機(jī)理和關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行分類統(tǒng)計(jì)，否則應(yīng)用該方法要么會由于數(shù)據(jù)劃分不夠而導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)結(jié)果帶有巨大的不確定性，從而使不確定性量化失去意義，要么會造成數(shù)據(jù)過于稀疏，使統(tǒng)計(jì)結(jié)果不具備統(tǒng)計(jì)規(guī)律［6］.此外，雖然通過歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出來的失效概率，可以反映之前的檢驗(yàn)和維修活動對于失效概率的影響，但當(dāng)檢驗(yàn)或維修策略發(fā)生變化時，這種基于歷史數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)估計(jì)可能將失去作用［7］.為此，人們將檢驗(yàn)前的歷史統(tǒng)計(jì)規(guī)律作為先驗(yàn)分布，而將檢驗(yàn)結(jié)果作為條件概率，然后利用前人提出的貝葉斯方法［8］解決了這個問題.但應(yīng)用這種方法的前提是損傷增量服從指數(shù)分布［9］，因此只能針對等時間間隔的檢驗(yàn)和維修.van Noortwijk等吸取擋潮閘［10］和堤壩［11］的成功經(jīng)驗(yàn)，提出了應(yīng)用Gamma隨機(jī)過程為損傷增量建模的方法［12］，但是為了簡化貝葉斯方法的計(jì)算，必須令先驗(yàn)分布服從倒Gamma分布，這限制了該模型的應(yīng)用.為了避免應(yīng)用隨機(jī)過程建模的復(fù)雜性，且要充分考慮檢驗(yàn)和維修策略變更的影響，F(xiàn)leming利用三狀態(tài)馬爾可夫模型對核電管道系統(tǒng)進(jìn)行了建模，該模型將泄漏和破裂都作為管道失效形式加以考慮.但是中國石化企業(yè)的實(shí)際情況是針對泄漏問題會采用帶壓堵漏等復(fù)雜維修技術(shù)進(jìn)行維修，這實(shí)際上是否定了泄漏作為失效模式三狀態(tài)馬爾可夫模型，鑒于此本文將試圖建立一個適合中國石化企業(yè)的四狀態(tài)管道失效模型.

1 馬爾可夫模型

1.1 通用四狀態(tài)馬爾可夫模型

通用四狀態(tài)馬爾可夫模型如圖1所示，它可以應(yīng)用于多種在材料基材上的損傷，例如流體加速腐蝕、熱疲勞等，甚至可以用于極端荷載條件下的失效，比如水擊和超壓.

圖1 通用四狀態(tài)馬爾可夫模型Fig.1 General four－state Markov model

根據(jù)圖1，與時間有關(guān)的四狀態(tài)微分方程組［13］為

且四種狀態(tài)的概率關(guān)系為

若破裂作為唯一的失效狀態(tài)，則根據(jù)以上方程定義了四狀態(tài)可靠率為

災(zāi)害率的微分方程［14］為

1.2 基于LBB的四狀態(tài)馬爾可夫模型

LBB模型是一種允許泄漏情況發(fā)生的失效模型.雖然原則上石化企業(yè)一般不允許泄漏，但在中國的石化企業(yè)中通常針對泄漏采取帶壓堵漏、碳纖維布加環(huán)氧樹脂等辦法，往往可以實(shí)現(xiàn)泄漏不停車，因此中國石化企業(yè)的這種維修等于將石化設(shè)備管道的失效看作LBB 模型.據(jù)此，更加適合中國石化企業(yè)的馬爾可夫模型應(yīng)為如圖2所示的四狀態(tài)馬爾可夫模型.

圖2 LBB失效四狀態(tài)馬爾可夫模型Fig.2 LBB failure four－state Markov model

根據(jù)圖2所示的模型，式（1）～（4）中的ρS、ρF為零，則式（1）～（4）變?yōu)?/p>

令X＝（SFLR）T，

則式（8）～（11）的矩陣形式為

且邊界條件為

則根據(jù)常系數(shù)微分方程的解法，式（12）的解為

其中C1、C2、C3、C4為由邊界條件確定的系數(shù)；E1、E2、E3、E4為G的特征向量，且E4＝（0 0 0 1）；x1、x2、x3、x4為G的特征值，且x4＝0；x1、x2、x3是下面特征方程的解：

式（14）所示的三次方程可用盛金公式［15］求解.

2 馬爾可夫模型的參數(shù)估計(jì)

2.1 中間參數(shù)的估計(jì)

2.1.1 在不同后果情況下，缺陷被檢驗(yàn)的平均概率 按照RBI的思想，管道在其壽命周期內(nèi)會根據(jù)其風(fēng)險的變化而經(jīng)歷不同的檢驗(yàn)策略，因此本文用這些檢驗(yàn)的均值有效率來代表該管道的缺陷檢出率.根據(jù)文獻(xiàn)［1－2］中對于失效可能性等級的定義，假設(shè)對高風(fēng)險和中高風(fēng)險進(jìn)行高有效性檢驗(yàn)，對中風(fēng)險且失效可能性等級大于等于3的進(jìn)行通常有效性檢驗(yàn)，而對低于3的進(jìn)行一般有效性檢驗(yàn)，對低風(fēng)險不進(jìn)行檢驗(yàn)，且各種檢驗(yàn)情況的檢驗(yàn)效率符合文獻(xiàn)［1－2］提供的離散概率分布數(shù)據(jù)，并得到如圖3所示的設(shè)備風(fēng)險矩陣.

從圖3可以看出不同的先天后果等級，設(shè)備在壽命周期內(nèi)所經(jīng)歷的檢驗(yàn)效率的變化也不同，因此，得到按照不同后果等級的缺陷被檢驗(yàn)出的平均概率，如表1所示.

圖3 設(shè)備的風(fēng)險矩陣Fig.3 Risk matrix of equipment

表1 在不同失效后果情況下缺陷被檢驗(yàn)出的平均概率Tab.1 Average probability of flaw inspected in different failure consequences

2.1.2 在檢驗(yàn)部位、檢驗(yàn)手段確定情況下檢出缺陷存在的概率pid令pid為缺陷可被檢驗(yàn)手段識別的概率，x（t）為在t時刻的損傷總量，且x（t）服從Gamma隨機(jī)過程：

其中

并令

在T時刻，選取的損傷總值作為隨機(jī)變量數(shù)據(jù)，計(jì)算T時刻的數(shù)學(xué)期望和偏差，并按式（16）計(jì)算平均損傷率和平均損傷率的偏差，代入下式得到在T時刻的總損傷值的Gamma隨機(jī)分布：

令ε0為檢測設(shè)備的測量精度，則當(dāng)x（t）＞ε0時，該缺陷是可以識別的，因此根據(jù)式（18）得

2.1.3 其他中間參數(shù) 令發(fā)生泄漏時管道的運(yùn)行時間為τl，在役維修所需時間為τr，從當(dāng)前管道泄漏時刻到下次預(yù)防性或預(yù)知維修時間間隔為τp，則在維修期間其他非維修部位發(fā)生泄漏的概率pis服從泊松分布：

則到預(yù)防性或預(yù)知維修時間其他非維修部位發(fā)生泄漏的概率pp服從泊松分布：

則在泄漏情況下發(fā)生一次有效在役維修的概率

其中為在役維修工藝（如帶壓堵漏）不導(dǎo)致管道失效的概率；Tld為泄漏探測的時間間隔；pld為泄漏探測有效率.

在役維修所需時間為τm，在發(fā)生一次有效維修情況下，發(fā)生有效停車維修的概率

令τld為檢漏時間，從可探測缺陷狀態(tài)下，進(jìn)入泄漏狀態(tài)的概率pw為

其中w為壁厚.

令設(shè)備超壓服從對數(shù)正態(tài)分布，則設(shè)備在完整條件下的超壓概率pop為

其中pl為壓力荷載.

泄漏探測有效率pld為

其中τd為一次泄漏探測所用去的時間；Pldm為某一失效后果下的均值泄漏探測有效率，各種泄漏探測手段的探測有效率如表2所示，則不同失效后果下的Pldm與其對應(yīng)的缺陷被檢驗(yàn)的平均概率一樣，如表1所示.

表2 不同泄漏檢驗(yàn)手段的探測效率Tab.2 Detecting effectiveness of different leak detection means

2.2 馬爾可夫參數(shù)

在泄漏情況下發(fā)生一次有效維修率

在缺陷條件下的維修率

其中pf為缺陷失效的概率.

從完整狀態(tài)進(jìn)入可探測缺陷狀態(tài)的轉(zhuǎn)換率

其中τins為檢驗(yàn)時間；Tins為檢驗(yàn)時間間隔.

從可探測缺陷狀態(tài)下，進(jìn)入泄漏狀態(tài)的概率

其中：τld為檢漏時間.

從可探測泄漏態(tài)下，進(jìn)入破裂狀態(tài)的概率

從完整或無可探測缺陷狀態(tài)下，進(jìn)入泄漏狀態(tài)的概率為

3 算 例

某石化管道發(fā)生穿孔，其具體情況為管道內(nèi)徑200mm，設(shè)計(jì)壁厚6mm，5a穿孔，以除泄漏點(diǎn)外，最薄點(diǎn)壁厚（1.1mm）計(jì)算，平均腐蝕速率為1mm／a，泄漏點(diǎn)附近最薄處為1.6 mm，平均腐蝕速率為0.88mm／a，彎頭厚度為4mm，原始厚度為8mm，泄漏發(fā)現(xiàn)方式為人工巡檢，巡檢周期為3h一次，每次用時1h，RBI結(jié)果為高風(fēng)險，設(shè)備后果等級為D 級，并且令μf＝0.99.

則根據(jù)式（15）～（31），本文提出的馬爾可夫模型的參數(shù)及中間參數(shù)如表3所示.

表3 LBB馬爾可夫模型參數(shù)的計(jì)算結(jié)果Tab.3 Results of case based on LBB Markov model

將表3中的馬爾可夫參數(shù)代入式（6）、（13）和（14），得出在對該管道進(jìn)行包括帶壓堵漏技術(shù)在內(nèi)的復(fù)雜維修時，該管道的可靠度為

再由式（7）得，該管道的災(zāi)害率為

40a（設(shè)備的最高使用年限）破裂所導(dǎo)致的災(zāi)害率（設(shè)備失效率）變化曲線如圖4所示.

圖4 破裂所導(dǎo)致的災(zāi)害率變化曲線Fig.4 Hazard rate curve caused by rupture

由圖4可知，基于風(fēng)險的檢驗(yàn)、檢漏，并在泄漏后對管道進(jìn)行全面測厚的基礎(chǔ)上，在設(shè)備壽命期內(nèi)，采用包含帶壓堵漏技術(shù)的復(fù)雜維修過程，可以將該管道發(fā)生破裂并導(dǎo)致嚴(yán)重?fù)p傷的概率控制得很低，結(jié)合其D 級失效后果等級，按式（1）計(jì)算，則該管道的安全風(fēng)險被控制在0.44～4.42m2.根據(jù)文獻(xiàn)［2］，屬于可以忍受的中風(fēng)險級別.同時圖4中災(zāi)害率呈逐年增加的趨勢，該趨勢反映了石化設(shè)備維修為非完全恢復(fù)性維修的特點(diǎn).

4 結(jié)語

在以往的石化管道馬爾可夫模型中通常采用三狀態(tài)馬爾可夫模型，即將泄漏和破裂統(tǒng)統(tǒng)作為失效來看待，但是在中國石化企業(yè)中通常會采用包含帶壓堵漏等技術(shù)的復(fù)雜維修過程，這種維修過程并不承認(rèn)泄漏是設(shè)備失效的表現(xiàn)形式，反而更加符合允許泄漏發(fā)生的LBB失效模型，因此本文建立了基于LBB 的馬爾可夫模型用以綜合考慮泄漏非停車維修過程的影響，模型中認(rèn)為存在一個維修過程在泄漏發(fā)生時將設(shè)備或管道維修回完好狀態(tài)，更加適合中國石化企業(yè)管道的維修定量評估.從算例中可以看出在對管道進(jìn)行全面測厚的基礎(chǔ)上，復(fù)雜維修過程可以有效避免管道的破裂發(fā)生，而且馬爾可夫模型的計(jì)算是一個設(shè)備失效概率隨時間變化逐年增加的函數(shù)，正確地反映了石化設(shè)備維修為非完全恢復(fù)性維修的特點(diǎn).從而證明本文提出的基于LBB 的四狀態(tài)馬爾可夫模型不但可以定量估算中國石化企業(yè)維修過程的風(fēng)險控制效果，而且還能從時間上推演出非完全恢復(fù)性維修過程對設(shè)備失效概率的影響.

［1］American Petroleum Institute.API 581Risk－Based Inspection Base Resource Document ［S］.Washington D C：API，2000.

［2］American Petroleum Institute.API 581Risk－Based Inspection Technology［S］.Washington D C：API，2008.

［3］Fleming K N.Piping system reliability and failure rate estimation models for use in risk informed inservice inspection applications ［R］／／EPRI TR－110161.Palo Alto：EPRI，1998.

［4］Fleming K N，Hutchinson J J.Risk informed inservice inspection of the ComEd nuclear plants［C］／／Proceedings of PSAM 5.Osaka：PSAM，1999：98－104.

［5］Gosselin S R，F(xiàn)leming K N.Evaluation of pipe failure potential via degradation mechanism assessment［C］／／Proceedings of ICONE 5.Nice：ICONE，1997：26－30.

［6］Chapman O J V，F(xiàn)abbri L.Discussion Document on Risk Informed In－service Inspection of Nuclear Power Plants in Europe ［M］.Petten：European Commission，2000.

［7］Fleming K N，Lydell B O Y.Database development and uncertainty treatment for estimating pipe failure rates and rupture frequencies ［J］.Reliability Engineering ＆ System Safety，2004，86（3）：227－246.

［8］van Noortwijk J M，Cooke R M，Matthijs K.A Bayesian failure model based on isotropic deterioration［J］.European Journal of Operational Research，1995，82（2）：270－282.

［9］van Noortwijk J M，van der Weide J A M，Kallen M J，etal.Gamma processes and peaks－overthreshold distributions for time－dependent reliability［J］.Reliability Engineering ＆System Safety，2007，92（12）：1651－1658.

［10］van Noortwijk J M，Klatter H E.Optimal inspection decisions for the block mats of the Eastern－Scheldt barrier［J］.Reliability Engineering＆System Safety，1999，65（3）：203－211.

［11］Speijker L J P，van Noortwijk J M，Kok M，etal.Optimal maintenance decisions for dikes ［J］.Probability Engineering Information Science，2000，14（1）：101－121.

［12］Kallen M J，van Noortwijk J M.Optimal maintenance decisions under imperfect inspection［J］.Reliability Engineering ＆System Safety，2005，90（2－3）：177－185.

［13］Fleming K N.Markov models for evaluating riskinformed in－service inspection strategies for nuclear power plant piping systems ［J］.Reliability Engineering and System Safety，2004，83（1）：27－45.

［14］Shooman M L.Probabilistic Reliability：An Engineering Approach ［M］.2nd ed.Malabar：Krieger Publishing Company，1990.

［15］范盛金.一元三次方程的新求根公式與新判別法［J］.海南師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，1989，2（2）：91－98.FAN Sheng－jin.A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation［J］.Journal of Hainan Teachers College：Natural Science，1989，2（2）：91－98.（in Chinese）