曹利新，薛亞峰

（大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116024）

0 引言

閉式葉輪采用了軸盤、蓋盤和葉片一體化的結(jié)構(gòu)，其制造技術(shù)難度很大，主要體現(xiàn)在：結(jié)構(gòu)封閉，四面約束，流道狹長；葉型復(fù)雜，扭曲度較大；加工殘余應(yīng)力引起的變形大；葉片薄、刀具細長，容易產(chǎn)生彈性變形，加工精度難以保證；材料為難加工材料，容易產(chǎn)生粘刀和冷作硬化，對刀具切削參數(shù)的選擇要求較高.對于這類零件，約70%的余量由粗加工過程切除，大量的加工時間被消耗在粗加工過程中，而且粗加工的表面質(zhì)量也會影響精加工后的表面質(zhì)量以及精加工過程的切削工藝，因此合理地規(guī)劃閉式葉輪粗加工刀具路徑對提高生產(chǎn)效率具有積極的意義［1］.

目前葉輪的粗加工方法主要有2類：一類是采用專用的電解或電火花加工設(shè)備來加工，如數(shù)控拷貝電解加工［2］和數(shù)控電解展成加工［3］，數(shù)控拷貝電解加工的加工間隙涉及相應(yīng)的流場、電場、電化學溶解速度場等，呈現(xiàn)動態(tài)變化的特點，過程較為復(fù)雜，而數(shù)控電解展成加工本身就類似于數(shù)控銑削加工；另一類是在五坐標數(shù)控機床上，采用分層銑削［4］或插銑［5］的方法分別從流道兩端加工.對于分層銑削法，通常采用等間隔平面截取流道，進而規(guī)劃每一層的刀具路徑，確定刀軸矢量.這種分層方法適合于流道兩個端面相互平行的工件，如軸流式整體葉盤.而對于離心式通風機或鼓風機的閉式葉輪，流道進氣口與出氣口端面并不平行，采用平行平面截取流道，所得截面形狀變化較大，給刀位計算帶來不便.若采用相互之間不平行的平面截取流道，每一截平面姿態(tài)的確定沒有統(tǒng)一標準，而且與流道的求交涉及流道的4個壁，計算量較大.插銑法相對于普通銑削而言，加工效率高，刀具所受切削力主要為軸向，但主要適用于葉型為非可展直紋面葉型的開式葉盤、半開式整體葉輪，以及流道相對寬短的航空發(fā)動機閉式葉盤，而對于離心式通風機或鼓風機閉式葉輪，由于流道狹長，扭曲較大，在如何確定初始加工位置和選擇最優(yōu)刀具路徑等方面仍有許多問題未解決.

本文根據(jù)閉式葉輪的結(jié)構(gòu)特點，從葉型特征以及葉片與軸盤、蓋盤曲面的幾何關(guān)系出發(fā)，給出一種簡單的葉片與軸盤、蓋盤曲面求交算法.在充分考慮五坐標機床特點和型腔銑削走刀方式的基礎(chǔ)上，利用葉輪子午面內(nèi)的直母線繞其軸線旋轉(zhuǎn)形成的圓錐面截取葉輪流道，構(gòu)造葉輪通道的分層加工方法，并給出兩種刀具路徑規(guī)劃方法.

1 粗加工階段的預(yù)處理

在規(guī)劃葉輪的粗加工刀具路徑時，需要為流道留出一定的精加工余量.葉輪氣流通道的粗加工區(qū)域?qū)嶋H上是以留出余量后的葉片曲面、軸盤和蓋盤曲面為邊界.因此，在進行刀具路徑規(guī)劃之前要求取葉片型面、軸盤、蓋盤曲面的偏置曲面，以及曲面間的交線.設(shè)定精加工余量為η，球頭刀刀具半徑為R，則葉輪通道的粗加工邊界曲面為葉片、軸盤和蓋盤曲面沿法向偏置η＋R距離后所形成.

1.1 葉片的偏置曲面

葉片的偏置曲面的求法如圖1所示，設(shè)c1、c2為葉片曲面S的兩條準線，通常它們由n＋1個離散數(shù)據(jù)點Pi（i＝0，1，…，n）給出.利用三次B樣條插值技術(shù)可以實現(xiàn)2條準線的構(gòu)造，其方程可表示為

式中：dj為控制頂點；Nj3（u）為三次規(guī)范B 樣條基函數(shù).

圖1 葉片的偏置曲面Fig.1 The offset surface of the blade

將兩條準線上的等參數(shù)點相連，即形成直紋面的葉片型面.下面計算直紋面S的偏置曲面S′，以同一直母線上對應(yīng)兩點P、Q為例，b為直母線方向單位矢量.

求點P處的單位切矢τ和單位法矢n.

將點P沿法矢n方向偏置距離η＋R得到新的點P′，其方程為

采用同樣的方法求得Q的偏置點Q′，將P′、Q′相連，得到葉片偏置曲面的直母線，偏置曲面的方程可寫為

式中：V為直母線參數(shù).由該式即可確定閉式葉輪粗加工的側(cè)壁邊界.

1.2 軸盤、蓋盤曲線的偏置曲線

軸盤、蓋盤曲面由子午面內(nèi)的軸盤、蓋盤曲線繞葉輪軸線回轉(zhuǎn)所得，如圖2所示.其方程可以表示為

圖2 軸盤曲面表示Fig.2 Description of the hub surface

利用軸盤、蓋盤曲面是回轉(zhuǎn)面的特性，求取子午面內(nèi)軸盤、蓋盤曲線的偏置曲線便可構(gòu)造軸盤、蓋盤曲面的偏置面，所以問題轉(zhuǎn)化為求取平面二維曲線的偏置曲線，具體步驟如下：

步驟1 根據(jù)曲線形態(tài)及離散精度要求，將曲線細分，求得離散點Ki（i＝0，1，…，n）；

步驟2 根據(jù)曲線外法向量，求解所有離散點處的單位法向量ni（i＝0，1，…，n）；

步驟3 求取所有離散點處的等距點Pi（i＝0，1，…，n），Pi＝Ki＋Rni，R為偏置的距離；

步驟4 用三次B 樣條插值等距點，構(gòu)造偏置曲線.

1.3 求取葉片偏置曲面與軸盤、蓋盤偏置曲面的交線

考慮到葉輪軸盤、蓋盤均為回轉(zhuǎn)曲面，所以葉片偏置曲面與軸盤、蓋盤偏置曲面的求交，本質(zhì)上是形成葉片偏置面的一組參數(shù)線與形成軸盤、蓋盤偏置曲面的半徑和z坐標值連續(xù)變化的圓的求交.根據(jù)這些結(jié)構(gòu)特征，本文提出了一種簡單便捷的分步求交算法.

以葉片偏置曲面與軸盤偏置曲面的求交為例，根據(jù)1.2中偏置曲線的求法，求取軸盤偏置曲線的結(jié)果通常是一系列離散的等距點，將這些等距點Pi（i＝0，1，…，n）作為曲面求交的初始值，對于任意一點Pi，已知其z軸坐標值zPi，以及過點Pi與xOy面平行的半徑為的圓Oi.

從代數(shù)的角度來分析，葉片偏置面與圓Oi所在平面的交線為S1，葉片偏置面與圓Oi和z軸形成柱面的交線為S2，顯然曲線S1與S2的交點Qi為所求交線上的點，如圖3所示.

圖3 葉片偏置曲面與軸盤偏置曲面求交Fig.3 Surface interaction between the offset surfaces of blade and hub

從幾何的角度來分析，可以得出：對于任意等距點Pi＝（xPiyPizPi），葉片偏置面上沿某一給定參數(shù)方向存在且僅存在一條參數(shù)線，這條參數(shù)線上有且僅有一個點Qi＝（xQiyQizQi），同時滿足下式：

因此從幾何角度出發(fā)，求交的算法大致如下：采用二分法，在滿足一定精度的條件下，首先搜索與離散等距點Pi（i＝0，1，…，n）和圓Oi（i＝0，1，…，n）所在平面存在交點的葉片偏置面的參數(shù)線序列，進而可以得到參數(shù)線序列與平面的交點序列，這些交點均滿足式（8）中的zQi＝zPi，然后在滿足條件的交點序列中，繼續(xù)搜索滿足式（8）中的點，即為相交點Qi＝（xQiyQizQi），然后利用三次B樣條插值技術(shù)，插值后的曲線即為葉片偏置曲面與軸盤偏置曲面的交線.同理可以求得形成流道粗加工區(qū)域的4條邊界曲線，如圖4所示.

圖4 閉式葉輪流道曲面Fig.4 The channel surface of closed impeller

1.4 刀具的選擇與尺寸計算

在型腔銑粗加工中，常用的刀具有平底銑刀、R 刀及球頭刀.實際生產(chǎn)中，型腔銑刀具選擇與加工特征相對應(yīng).在葉輪具體選刀實施加工時，為了防止干涉，必須綜合考慮閉式葉輪加工中可能出現(xiàn)的各種干涉問題，包括曲面間最小距離引起的干涉、葉輪通道曲面的局部曲率變化和刀軸矢量方向引起的全局干涉.考慮到葉片型面和葉輪通道的具體結(jié)構(gòu)，曲率干涉通常發(fā)生在葉片曲面與軸盤和蓋盤曲面的過渡處，要求精加工用的球頭刀刀具半徑不超過通道曲面的最小主曲率半徑.粗加工階段，刀具尺寸可以適當增大，粗加工后殘留的未切削部分通過精加工來完成；刀軸矢量引起的全局干涉是五軸數(shù)控加工中的一個難點問題，通常需要計算各個刀位下刀具軸線到約束曲面的最小距離，使該距離大于刀桿的直徑，同時還需考慮刀具整體的具體結(jié)構(gòu)，避免出現(xiàn)加工中的全局干涉.本文在選擇刀具尺寸時，主要考慮了第一個因素.將葉輪通道按照粗加工刀具半徑和精加工余量進行偏置，形成粗加工的邊界曲面，采用圓錐截面與該邊界面的交線作為構(gòu)造刀具路徑的邊界線，在該區(qū)域內(nèi)構(gòu)造合適的刀具路徑.

粗加工的原則就是盡最大可能高效率地去除多余的材料，因而希望選擇大尺寸的刀具，但刀具尺寸過大，可能導(dǎo)致未加工體積的增多，也容易發(fā)生干涉.設(shè)定精加工余量為η，對于等長葉片，求取流道吸力面與壓力面的最小距離d1［6］、軸盤和蓋盤的最小距離d2，則最大刀具半徑Rmax可由下式計算得到，為避免發(fā)生干涉，還需要一個保障系數(shù)k（1.2＜k＜1.5）：

對于長短交錯葉片的葉輪，還需分別計算短葉片上的點到兩相鄰長葉片的最短距離d3，然后用min｛d1，d2，d3｝替換式（9）中的min｛d1，d2｝，求得Rmax.

2 刀具路徑規(guī)劃

對閉式葉輪流道的粗加工也可以看作五軸型腔銑，常見的型腔銑刀具路徑生成方法主要有行切法和環(huán)切法［7］.對于行切法，刀具在折返過程中，必須要減速、停止，然后再加速，對總的切削時間影響較大，而且將交替出現(xiàn)順銑和逆銑，影響加工表面質(zhì)量和切削力的大小；對于環(huán)切法雖然減少了行切中的跳刀，但存在橫向進刀，刀具路徑是不連續(xù)的.而螺旋環(huán)切是以型腔中心或型腔特定的位置為起點開始進刀，螺旋切削至輪廓邊界或由輪廓邊界外圍開始螺旋切削至型腔中心，其橫向進刀是平滑的向外（內(nèi)）螺旋展開，沒有路徑方向上的突變，可以得到較好的加工表面，并使刀具負載相同，比較適合高速數(shù)控切削.因此本文從截面的形狀出發(fā)，首先計算了等參數(shù)環(huán)切路徑，并以螺旋刀具路徑思想為基礎(chǔ)結(jié)合等參數(shù)環(huán)切路徑，給出一種簡單的近似螺旋刀具路徑算法.

2.1 閉式葉輪流道分層方法

針對閉式葉輪這種四周封閉的通道類零件，一般采用從流道入口和出口兩端分別進刀分層加工的方式進行開粗.根據(jù)需求不同，可以采用平行平面或圓柱面等簡單曲面對流道進行分層.考慮到閉式葉輪的結(jié)構(gòu)特點和子午面內(nèi)直母線的分布情況，采用一組圓錐面對流道進行分層，該圓錐面（如圖5所示）由子午面內(nèi)的直母線繞葉輪軸線回轉(zhuǎn)形成.首先根據(jù)1.1中偏置曲面的構(gòu)造方法以及1.3中的曲面求交方法，求得葉輪通道的粗加工邊界曲面S1d、S2d、S3d和S4d（偏置距離為粗加工刀具半徑加精加工余量）；然后計算圓錐截面與粗加工邊界曲面的4條交線c1d、c2d、c3d和c4d，如圖4所示，進而在以4條交線為邊界的圓錐截面上規(guī)劃刀具路徑.

這種分層方法可以使每一截面上的加工區(qū)域均由4條曲線圍成，保證每一層的刀具路徑形狀相似，而且圓錐面與軸盤和蓋盤等距面的交線c1d和c3d為圓弧，這些都為相應(yīng)的刀具路徑規(guī)劃帶來方便，使得計算相對簡單.

2.2 等參數(shù)環(huán)切刀具路徑的生成

為生成圓錐面上環(huán)切法刀具路徑，需要計算圓錐截面與葉輪通道的邊界曲線在圓錐面上的等距線.曲面上兩曲線等距是指兩曲線間的測地距離相等，曲面上的測地距離計算通常涉及微分方程組的計算，相對復(fù)雜.考慮到截面的參數(shù)曲線分布較均勻，如圖6所示，可以利用雙向等參數(shù)曲線生成等參數(shù)環(huán)切路徑［8］，如圖7所示，雙向等參數(shù)曲線是單向等參數(shù)曲線的推廣.

圖5 閉式葉輪子午面Fig.5 Meridian plane of closed impeller

圖6 單向等參數(shù)曲線Fig.6 One－way iso－parametric curves

圖7 雙向等參數(shù)曲線Fig.7 Two－way iso－parametric curves

假定曲面的參數(shù)方程為S（u，v），u∈［0，1］，v∈［0，1］，給定行距h，等參數(shù)環(huán)切路徑的算法大致如下：

步驟1 以邊界曲線，即參數(shù)線S（u0，v）、S（u，v0）、S（u1，v）、S（u，v1）（u0＝v0＝0，u1＝v1＝1）為初始曲線，向內(nèi)求取相應(yīng)的偏置參數(shù)曲線，如 圖8 所示.保證 參數(shù)線S（u0，v）和和和和之間的最大距離小于等于行距h.

步驟2 對上一步得到的曲線進行簡單的裁剪，形成環(huán)狀，如圖9所示.

步驟3 重復(fù)步驟1、2，直至路徑覆蓋整張曲面，即可獲得圓錐截面上的等參數(shù)環(huán)切路徑，如圖7所示.

圖8 未裁剪的等參數(shù)環(huán)Fig.8 Untrimmed iso－parametric ring

圖9 裁剪后的等參數(shù)環(huán)Fig.9 Trimmed iso－parametric ring

2.3 螺旋刀具路徑的生成

對于單連通區(qū)域，采用螺旋刀具路徑加工，可以實現(xiàn)刀具路徑的一階或高階連續(xù)，非常適合高速加工.Lee［9］在研究曲面上曲線等距操作的基礎(chǔ)上，提出了一種曲面螺旋刀具路徑的生成方法，該方法可以在減少抬刀次數(shù)的同時使加工曲面的幾何殘留誤差高度一致，但曲面上刀具路徑并不光滑，即零階連續(xù).王玉國等［10］給出了一種平面凸多邊形的螺旋刀具軌跡生成算法.文獻［11－12］從不同角度推導(dǎo)出一種光滑路徑的生成算法，但需要通過數(shù)值離散方法逼近求解具有約束條件的大型偏微分方程，算法數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、運算量大.

本文在計算等參數(shù)環(huán)切路徑的基礎(chǔ)上，經(jīng)過簡單的變換即可實現(xiàn)閉式葉輪流道的螺旋刀具路徑的生成.具體變換過程如下：

（1）將圓錐截面的雙向等參數(shù)線沿兩個參數(shù)方向分別進行等間隔分割，并劃分為相等的間隔段數(shù)，即行與列的數(shù)據(jù)點數(shù)目相等，如圖10（a）、（b）所示.

（2）將上一步所得數(shù)據(jù)點重新編號，編號規(guī)則為從中心點開始向外沿著螺旋方向依次散開，所得數(shù)據(jù)點編號如圖10（c）所示.

（3）在圖10（c）中，以過水平中心點的參數(shù)線將數(shù)據(jù)點分為上下兩側(cè)，將數(shù)據(jù)點1－2－3－4、4－5－6－7－8、8－9－10－11－12－13－14…等分別 作為控制點，構(gòu)造相應(yīng)的Bezier曲線，其方程為

式 中：bi（i＝1，2，…，n）為控制頂點；為Bernstein基函數(shù)；t為曲線參數(shù).每段曲線的次數(shù)隨著控制點數(shù)的增多而提高，相鄰的曲線段在連接處雖然只有零階連續(xù)，但只要控制多邊形在此處的連續(xù)性好，仍然可以獲得光滑的刀具路徑，如圖10（d）所示.

（4）為了使螺旋刀具路徑的結(jié)束段與前面的路徑光滑連接，在最后增加一段Bezier曲線，相應(yīng)的控制點選擇圖10（c）中的46－47－48－49－26－27－28－29－30－31－32－33－34.至此，對于每一截面上行列相等的數(shù)據(jù)點，構(gòu)造出了連續(xù)的螺旋刀具路徑，如圖10（e）所示.

為了進一步減少抬刀次數(shù)，對于各層螺旋刀具路徑的連接可以按照如下方法確定：若當前層的刀具路徑是從中心向外按照螺旋方式生成，下一層則從輪廓邊界向中心按螺旋方式加工，這樣可以實現(xiàn)整個通道的連續(xù)加工而不需要抬刀.此外，由于螺旋刀具路徑的最后一個切削循環(huán)與圓錐截面的加工區(qū)域邊界并不一致，在螺旋刀具路徑最后一個切削循環(huán)之后，需要調(diào)用環(huán)切法中的最后一個切削循環(huán).

圖10 螺旋刀具路徑控制點轉(zhuǎn)換Fig.10 Conversion of the control points on spiral tool path

3 數(shù)值算例與分析

應(yīng)用前面提出的分層方法和刀具路徑規(guī)劃方法，對一直徑為410 mm、葉片數(shù)為17、葉型為直紋面的離心通風機閉式葉輪進行計算分析.由于圓錐截面從進氣口到出氣口曲率逐漸增大，最后變?yōu)閳A柱面，選取進氣口處和出氣口處這兩個有代表性的截面進行計算，如圖11、12所示，圖中的加號表示圓錐截面上的等間隔數(shù)據(jù)點，每個截面取17×17個數(shù)據(jù)點，計算所得到的連續(xù)曲線即為螺旋刀具路徑.表1給出了兩個截面上刀具運動軌跡在零階連續(xù)點處的切矢變化角θ1、θ2，其中θ1（θ2）為圓錐截面的水平中線上中心點右（左）側(cè)零階連續(xù)點處的切矢變化角.表2給出了最后一段路徑上離散參數(shù)點與截面之間的距離.

圖11 進氣口螺旋刀具路徑Fig.11 Spiral tool path on air inlet side

圖12 出氣口螺旋刀具路徑Fig.12 Spiral tool path on air outlet side

表1 螺旋刀軌零階連續(xù)點處切矢變化角Tab.1 Angular variation of tangent vector at 0 order continuous points of spiral tool path

表2 螺旋刀軌離散參數(shù)點與截面之間的距離Tab.2 The distance between discrete parameters points and section surface of spiral tool path

本文給出的路徑是一種近似光滑的螺旋刀具路徑，各段路徑在圓錐截面的水平中線處零階連續(xù)，并且螺旋刀具路徑并不嚴格在圓錐截面上，存在一定偏差.由于圓錐截面的曲率半徑從流道的入口向出口逐漸增大，變得越來越平坦，各螺旋刀具路徑在零階連續(xù)處的切矢變化角逐漸減小.由于每一截面的各段路徑從中心向四周逐漸變長，且靠近葉輪蓋盤側(cè)長于靠近軸盤一側(cè)，所以螺旋刀具路徑的最大誤差點基本位于水平中心上側(cè)曲線的中點處，即靠近葉輪蓋盤一側(cè).

4 結(jié)論

（1）以子午面內(nèi)直母線為母線，以葉輪軸線為回轉(zhuǎn)軸形成圓錐面，對閉式葉輪流道進行分層.這種分層方法可以使每一圓錐截面上的加工區(qū)域均由4條曲線圍成，保證每一層的刀具路徑形狀相似，此外圓錐面與軸盤、蓋盤曲面的交線為圓弧，使得計算相對簡單.

（2）給出了一種近似光滑的螺旋刀具路徑生成方法.螺旋刀具路徑的控制頂點為圓錐截面上等間隔的坐標點，由于圓錐截面上螺旋刀具路徑的零階連續(xù)點處的切矢與圓錐面直母線的方向接近，刀具路徑的切矢方向在此處變化緩慢，因此該路徑適合高速加工；螺旋刀具路徑與圓錐截面間的小量誤差并不會對加工表面產(chǎn)生多大的影響，因為這一偏離并非在加工表面的法線方向，即非誤差敏感方向.該算法簡單，可以滿足閉式葉輪流道的粗加工要求.

［1］曹利新，馬曉嘉.五坐標加工整體葉輪粗加工刀位規(guī)劃［J］.大連理工大學學報，2008，48（1）：68－73.CAO Li－xin，MA Xiao－jia.Tool－path planning for rough machining of impeller in 5－axis machine tools［J］.Journal of Dalian University of Technology，2008，48（1）：68－73.（in Chinese）

［2］徐家文，朱永偉，胡平旺，等.數(shù)控電解加工整體葉輪的關(guān)鍵技術(shù)［J］.宇航材料工藝，2003（2）：48－52.XU Jia－wen，ZHU Yong－wei，HU Ping－wang，etal.Key techniques of numerically controlled electrochemical machining of integrated impellers［J］.Aerospace Materials ＆ Technology，2003（2）：48－52.（in Chinese）

［3］吳建民，徐家文.整體葉輪數(shù)控展成電解加工運動軌跡及速度研究［J］.機械科學與技術(shù)，2008，27（8）：1089－1096.WU Jian－min，XU Jia－wen.On movement path and velocity of NC electrochemical contour evolution machining of an integral impeller［J］.Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering，2008，27（8）：1089－1096.（in Chinese）

［4］任學軍，張定華，王增強，等.整體葉盤數(shù)控加工技術(shù)研究［J］.航空學報，2004，25（2）：205－208.REN Xue－jun，ZHANG Ding－h(huán)ua，WANG Zengqiang，etal.Research on the NC machining technique of blisk ［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2004，25（2）：205－208.（in Chinese）

［5］孫 晶，蔡永林.基于插銑加工的非等參數(shù)刀具軌跡生成方法［J］.裝備制造技術(shù)，2009（7）：5－7.SUN Jing，CAI Yong－lin.Non－isoparametric toolpath planning based on plunge milling ［J］.Equipment Manufacturing Technology，2009（7）：5－7.（in Chinese）

［6］于 源，贠 敏，王小椿.整體葉輪五軸粗加工多級刀位規(guī)劃的計算方法［J］.西安交通大學學報，2002，36（1）：39－42.YU Yuan，YUN Min，WANG Xiao－chun.Severalstage tool－path scheduling in 5－axis roughing of impeller［J］.Journal of Xi′an Jiaotong University，2002，36（1）：39－42.（in Chinese）

［7］劉雄偉.數(shù)控加工理論與編程技術(shù)［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2002.LIU Xiong－wei.CNC Machining Theory and Programming Techniques［M］.Beijing：Mechanical Industry Press，2002.（in Chinese）

［8］徐金亭，劉偉軍，邱曉杰，等.自由曲面加工中的等參數(shù)螺旋軌跡生成方法［J］.機械工程學報，2010，46（3）：148－157.XU Jin－ting，LIU Wei－jun，QIU Xiao－jie，etal.Isoparametric and spiral toolpath for free－form surfaces machining ［J］.Journal of Mechanical Engineering，2010，46（3）：148－157.（in Chinese）

［9］Lee E K.Counter offset approach to spiral toolpath generation with constant scallop height ［J］.Computer－Aided Design，2003，35（6）：511－518.

［10］王玉國，周水來，安魯陵，等.型腔銑削加工光滑螺旋刀軌生成算法［J］.航空學報，2008，29（1）：216－220.WANG Yu－guo，ZHOU Shui－lai，AN Lu－ling，etal.Smooth spiral tool path generation for pocket milling［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2008，29（1）：216－220.（in Chinese）

［11］Bieterman M B，Sandstrom D R.A curvilinear toolpath method for pocket machining［J］.Journal of Manufacturing Science and Engineering，2003，125（11）：709－715.

［12］SUN Yu－wen，GUO Dong－ming，JIA Zhen－yuan.Spiral cutting operation strategy for machining of sculptured surfaces by conformal map approach［J］.Journal of Materials Processing Technology，2006，180（5）：74－82.