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講清數(shù)學(xué)道理 揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)
——提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率的教學(xué)策略

2013-10-25 11:40:09
關(guān)鍵詞:投影面道理拋物線

(蕭山中學(xué) 浙江蕭山 311201)

講清數(shù)學(xué)道理揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)
——提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率的教學(xué)策略

●李金興

(蕭山中學(xué) 浙江蕭山 311201)

高三學(xué)生學(xué)得辛苦,但由于缺乏對(duì)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí),常常事倍功半,在重復(fù)與茫然的訓(xùn)練中效率不高.因此,教師的指導(dǎo)作用應(yīng)該體現(xiàn)在“講清數(shù)學(xué)道理,揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)”上.通過教師自身或集體研究,幫助學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)背景,從數(shù)學(xué)知識(shí)的根源開始,沿著習(xí)題變式的途徑理清每一類問題的來龍去脈,使得數(shù)學(xué)知識(shí)“拎起來成一串、撒下去鋪一片”,這樣才能讓學(xué)生舉一反三,實(shí)現(xiàn)教學(xué)輕負(fù)高質(zhì)的目的.

本文就高三復(fù)習(xí)階段如何講道理、揭本質(zhì)例舉幾個(gè)典型問題,以期拋磚引玉.

1 新授課講不清的道理,到復(fù)習(xí)課來講

用斜二測畫法畫幾何體的直觀圖,操作步驟十分簡單:畫軸后,使平行于x軸或z軸的線段長不變,平行于y軸的線段長減半.但按上述方法畫的直觀圖是幾何體的“平行投影”嗎?如果是,投影面和投影線方向如何確定呢?如何描述投影線方向?

文獻(xiàn)[1]對(duì)此作了闡述,得到結(jié)果:此時(shí)投影線與投影面成arctan2角.但這一結(jié)果并不能完全確定投影線的方向,可進(jìn)一步作如下探究:

將水平放置的長方體ABCD-A′B′C′D′的直觀圖(如圖1)看作一個(gè)平面圖形(投影),考慮到平面四邊形ABB′A′、平面四邊形DCC′D′與原圖形全等,因此投影面與長方體側(cè)面ABB′A′平行.特別地,不妨以長方體側(cè)面DCC′D′所在平面為投影面.

圖1 圖2

圖3

設(shè)M(2,0,0),則

從而投影線與投影面成arctan2角(文獻(xiàn)[1]的結(jié)論).同理,設(shè)j=(0,1,0),k=(0,0,1),可求得

反思斜二測畫法新授課學(xué)習(xí)時(shí)還沒有引入空間向量,因此可以在高三復(fù)習(xí)課階段補(bǔ)充該知識(shí).

2 學(xué)生一錯(cuò)再錯(cuò)的道理,將錯(cuò)就錯(cuò)地講

2.1 從反例來辨別

先仿照此類錯(cuò)誤解法,舉例“對(duì)于函數(shù)y=x2+1(x>0),因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),x2+1≥2x,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立,所以當(dāng)x=1時(shí),ymin=2”,這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的(明確指出這種解法是錯(cuò)誤的).

2.2 分析反例錯(cuò)因

讓學(xué)生在同一坐標(biāo)系中比較y=x2+1和y=2x的圖像,便知“x2+1≥2x”只說明y=x2+1的圖像始終在y=2x圖像的上方,“當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立”只說明2個(gè)圖像相切于點(diǎn)x=1處,切點(diǎn)并非圖像的最低點(diǎn)(如圖4),y=2也并非函數(shù)y=x2+1(x>0)的最小值.

圖4 圖5

2.3 反思錯(cuò)解成因

3 解題方法巧妙的道理,辯證透徹地講

數(shù)學(xué)題經(jīng)常能一題多解,除了常規(guī)解法,教師應(yīng)對(duì)“巧思妙解”作辯證分析:有些巧解很難想到,實(shí)用性不強(qiáng);有些巧解變換情景后可能成為錯(cuò)解,應(yīng)謹(jǐn)慎采用.

3.1 這樣的巧解對(duì)不對(duì)

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考試題)

巧解(錯(cuò)解) 兩邊求導(dǎo),得

-sinα+2cosα=0,

從而

tanα=2.

3.2 為何有這樣的“巧思妙解”

例2已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+bx(a≤0).

(1)若2a+b+1=0,討論函數(shù)的單調(diào)性;

參考答案簡述如下:

(2)證明取a=-1,b=1,則

f(x)=lnx-x2+x.

當(dāng)k取遍1,2,3,…,n并相加,即得

分析對(duì)于第(2)小題的答案,學(xué)生普遍感到取a=-1,b=1來構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx-x2+x,非常巧妙但很難想到.事實(shí)上,若嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證明第(2)小題,則由假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立推證n=k+1時(shí)結(jié)論也成立的過程中,只要證明不等式

因此只要證當(dāng)x>1時(shí),lnx

反思對(duì)于一些難度較大的問題,若答案過于“巧妙”,則學(xué)生容易對(duì)這類問題產(chǎn)生“敬畏”之心,不利于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng).教師應(yīng)該讓“巧解”自然呈現(xiàn)其真面目,讓學(xué)生有信心去創(chuàng)造“巧妙”解法.

4 學(xué)生會(huì)而不全的道理,放大細(xì)致地講

“細(xì)節(jié)決定成敗”很多時(shí)候能解釋學(xué)生“會(huì)而不全”的道理,教師講授時(shí)要將這些細(xì)節(jié)放大后細(xì)致地講.

圖6

(1)求橢圓C的方程;

(2)求△ABP面積取最大值時(shí)直線l的方程.

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為M(2t,t),由點(diǎn)差法易得直線AB方程為

代入橢圓方程,整理得

3x2-12tx+16t2-3=0,

設(shè)f(t)=(3-4t2)(1-t)2,則

f(t)=-4t4+8t3-t2-6t+3,

從而

f′(t)=-16t3+24t2-2t-6.

至此,不少學(xué)生因?yàn)椴荒軐?duì)f′(t)的表達(dá)式進(jìn)一步因式分解,導(dǎo)致解題不全.事實(shí)上,由f(t)=(3-4t2)(1-t2)得

f′(t)= -8t(1-t)2-2(3-4t2)(1-t)=

-2(t-1)(8t2-4t-3),

反思將f(t)=(3-4t2)(1-t)2的表達(dá)式先展開再求導(dǎo)這一細(xì)節(jié)是導(dǎo)致解題失敗的關(guān)鍵因素,教師也可在復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用時(shí)專門對(duì)此進(jìn)行針對(duì)性復(fù)習(xí).

又如2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(一試)第7題:

例4直線x-2y-1=0與拋物線y2=4x交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)C為拋物線上的一點(diǎn),∠ACB=90°,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______.

分析聯(lián)立方程,消去x得

y2-8y-4=0,

因此以AB為直徑的圓,其圓心為(9,4),半徑為

聯(lián)立

即可求得點(diǎn)C坐標(biāo).該方程組消去x,整理得

y4-56y2-128y-48=0.

至此,不少學(xué)生因?yàn)椴粫?huì)解四次方程而無法完成解題.事實(shí)上,因?yàn)辄c(diǎn)A,B的坐標(biāo)也是方程組的解,所以上述四次方程必有因式y(tǒng)2-8y-4,從而由

y4-56y2-128y-48=

(y2-8y-4)(y2+8y+12)=0,

解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,-2)或(9,-6).

反思不能利用“A,B的坐標(biāo)都是方程組的解”這一細(xì)節(jié)是導(dǎo)致解題失敗的關(guān)鍵因素,類似問題在高考題中也有出現(xiàn),教師應(yīng)將這種細(xì)節(jié)放大,培養(yǎng)學(xué)生閱讀題意、挖掘隱含條件的意識(shí).

5 類比探究的道理,深入本質(zhì)地講

從而

即點(diǎn)M與短軸頂點(diǎn)B1,B2的連線的斜率之積為定值.設(shè)MB1,MB2與長軸分別交于點(diǎn)P,Q,則

因此

xP·xQ=a2,

而這恰恰就是|OP|·|OQ|=a2的數(shù)學(xué)本質(zhì).

從而同樣有定值|OP|·|OQ|=b2.

利用坐標(biāo)和線段長的對(duì)應(yīng)關(guān)系這一數(shù)學(xué)本質(zhì),同樣可研究拋物線相關(guān)問題.例如,拋物線y2=2px(p>0),點(diǎn)A,B,C在拋物線上,BC⊥x軸,AC,AB與x軸交于點(diǎn)D,E,則xD+xE=0,即|OD|=|OE|.

反思典型例題之所以典型在于它反映了數(shù)學(xué)知識(shí)間的一種本質(zhì)聯(lián)系,使解題者能通過一道習(xí)題的研究掌握一類問題的解法,使教師能以此為例清晰地剖析出數(shù)學(xué)知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系,不僅在內(nèi)容上還能在方法上有利于進(jìn)一步探究新知.

高中數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)的道理遠(yuǎn)不止本文例舉的幾類.通過教學(xué),教師向?qū)W生展示各種數(shù)學(xué)概念、公式、法則、性質(zhì)、結(jié)論,其目的是讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)“知其然”;引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論進(jìn)行推理論證、應(yīng)用推廣是讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)“知其所以然”;而向?qū)W生講清數(shù)學(xué)道理、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)是讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)“知其所以所以然”.

“數(shù)學(xué)要講推理,更要講道理”,如果在教學(xué)中只講推理不講道理,那么教師教給學(xué)生的僅僅是數(shù)學(xué)解題的方法和技術(shù),缺乏數(shù)學(xué)思想的滲透,從而難以提高教學(xué)質(zhì)量.

[1] 沈建剛.斜二測畫法的一次“尋根”之旅[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2010(1/2):26.

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