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(金華市教育局教研室 浙江金華 321000)

鋪設(shè)臺階引人入勝
——解題教學(xué)“一題一課”的實(shí)踐與思考

●傅瑞琦

(金華市教育局教研室 浙江金華 321000)

有效的例題教學(xué)，將反饋、鞏固和拓展學(xué)生對所學(xué)知識的理解與記憶，是學(xué)生掌握基本知識、基本技能、基本思想方法和積累活動經(jīng)驗(yàn)的重要途徑.通過方法的滲透和體驗(yàn)，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)思想方法解決問題，使學(xué)生在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面得到協(xié)調(diào)發(fā)展.

但是在教學(xué)調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，初三的例題教學(xué)，常常就題論題，更多關(guān)注學(xué)生求解答案的正確與否，關(guān)于難點(diǎn)的解決常以一種告訴的方式呈現(xiàn)，不能很好地體會例題中所蘊(yùn)含的思維方法和思想方法,結(jié)論的得出、方法的歸納、思想的提煉沒有充分暴露學(xué)生的思維，不能有效地喚醒學(xué)生已有的知識,學(xué)生就失去了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)展能力、體現(xiàn)個(gè)性的機(jī)會.

基于此，筆者所在教研室組織了“一題一課”主題教研活動，本文結(jié)合教師2次教學(xué)實(shí)踐的對比思考，探討如何設(shè)計(jì)對學(xué)生思維有啟發(fā)的、能引起學(xué)生思考和探索活動的問題來鋪設(shè)臺階，有效突破難點(diǎn)，使思維層層深入.

1 例題選用

圖1

(1)若含45°角的直角三角板如圖1所示放置，其中一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在BQ上，另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上．求直線BQ的函數(shù)解析式.

(2)若含30°角的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在直線BQ上，另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

(2011年浙江省紹興市數(shù)學(xué)中考試題改編)

2 教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)1

問題引導(dǎo)如圖2，將直角三角板的直角頂點(diǎn)E放在正方形ABCD的頂點(diǎn)A上，三角板的2條直角邊交CD于點(diǎn)F，交CB的延長線于點(diǎn)G，你能得到哪些結(jié)論？

生1：∠GAB=∠DAF.

生2：EG=EF，BG=DF…

師(追問)：你能說明理由嗎？

生3：證明△ADF≌△ABG,就可以得出上述結(jié)論.

圖2 圖3 圖4

變式1如圖3，如果移動三角板，使頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變,結(jié)論EG=EF是否仍然成立？請你說明理由.

生4：EG=EF仍然成立.

生5：理由是過點(diǎn)E作EP⊥BC,EQ⊥DC，有Rt△EGP≌Rt△EFQ(如圖3)，得EG=EF.

師(小結(jié))：通過圖形對比，聯(lián)想構(gòu)造全等三角形，可得出結(jié)論.

變式2如圖4，移動三角板，使頂點(diǎn)E不在正方形ABCD的對角線AC上,結(jié)論EG=EF是否仍然成立？

生6：EG與EF不相等.

師：如果過點(diǎn)E作EP⊥BC,EQ⊥DC，你可以得到什么結(jié)論？

生7：Rt△EGP與Rt△EFQ相似(如圖4).

師(小結(jié))：弱化條件“點(diǎn)E不在正方形的對角線上”，但圖形的主要特征沒有發(fā)生變化，過點(diǎn)E作2條直角邊的垂線，來構(gòu)造2個(gè)相似三角形，得出線段的比例關(guān)系.

反思感悟從上面的問題探究中，你能得到什么結(jié)論？

圖5

生8：當(dāng)2個(gè)直角對角放置時(shí)(如圖5)，通?？梢赃^一直角頂點(diǎn)作另一直角2邊的垂線，構(gòu)造2個(gè)相似(全等)三角形.

師(小結(jié))：構(gòu)造2個(gè)相似(或全等)三角形,實(shí)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化.

解決例題有了圖5基本圖形的提煉，給出例題后學(xué)生很快就會想到添加輔助線，順利完成解題:

(1)如圖6，過點(diǎn)D作DM⊥x軸，DN⊥PQ，垂足為M,N，則

△DCM≌△DEN，

于是

DM=DN，

從而

∠DQO=45°，

可求得OQ=4，即Q(4，0)，故直線BQ的解析式為y=-x+4.

圖6 圖7

(2)當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸的右側(cè)時(shí)(如圖7)，過點(diǎn)D作DM⊥x軸，DN⊥PQ，垂足為M,N.設(shè)點(diǎn)(m，0)，則

Rt△CDM∽Rt△EDN，

得

從而

反思這節(jié)課，其教學(xué)過程是“創(chuàng)設(shè)問題情境，構(gòu)造基本圖形，尋求解題思路”，設(shè)計(jì)了問題引導(dǎo)及2個(gè)變式的臺階，降低思維坡度，學(xué)生順利添加輔助線，完成解題.

但是，從課堂觀察看，學(xué)生都千篇一律地用圖5作垂線的方法構(gòu)造全等(相似)三角形來解題，這引發(fā)教師的反思，為什么學(xué)生解題方法單一，不會尋求另外的解法？基本圖形的構(gòu)造是學(xué)生的難點(diǎn)，“臺階”的設(shè)置讓學(xué)生順利突破難點(diǎn)，是否太順利了？

于是筆者所在教研室組織了教師研討，對本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)、教學(xué)目標(biāo)、示例功能及教學(xué)效果等方面進(jìn)行探討、分析.

教學(xué)任務(wù)這2個(gè)小題的共同之處是圖形特征相同，其區(qū)別是三角板擺放位置的不同和內(nèi)角度數(shù)的不同.第(2)小題對30°角分類學(xué)生容易想到，但第(1)小題求解時(shí)需要添加輔助線，來說明∠BQO=∠CED，對數(shù)學(xué)感知能力要求較高，是本題的難點(diǎn).如何突破該難點(diǎn)，教學(xué)時(shí)需要根據(jù)圖形特點(diǎn)，設(shè)計(jì)問題引導(dǎo)，鋪設(shè)思維臺階，引導(dǎo)學(xué)生有效思考.

教學(xué)目標(biāo)理解有幾何圖形背景問題的思考方法，利用三角形相似(全等)性質(zhì)、函數(shù)基本性質(zhì)，以及應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法來解決問題；培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用動態(tài)圖形進(jìn)行分析、解決問題的能力，增強(qiáng)用分類討論、轉(zhuǎn)化歸納來分析解決問題的意識；體會提煉基本圖形，感受方程的應(yīng)用價(jià)值，提高根據(jù)題意解決問題的縝密思考的習(xí)慣.

本課例一開始就以一種告訴的形式呈現(xiàn)2個(gè)三角形全等的圖形，問題指向狹窄，學(xué)生只是進(jìn)行機(jī)械模仿，易形成思維定勢，束縛了學(xué)生的思維，沒有達(dá)到教學(xué)目標(biāo).

示例功能本題是函數(shù)背景下常見的動態(tài)綜合題型,重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法及綜合應(yīng)用能力.2個(gè)小題中均隱含著不變的因素，即∠BQO=∠CED，如何說明這2個(gè)角相等是解決該題的關(guān)鍵.通過本題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會獨(dú)立思考，根據(jù)圖形特征、符號特征等信息，來聯(lián)系相關(guān)數(shù)學(xué)知識，添加輔助線，充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動過程，訓(xùn)練學(xué)生的幾何直覺，在探究中培育思維品質(zhì)，積累解題經(jīng)驗(yàn).

教學(xué)效果通過該例的思考解決，能真正體現(xiàn)例題的思維價(jià)值，使學(xué)生能舉一反三、觸類旁通.

基于這些思考，上課教師著手修改，以教學(xué)設(shè)計(jì)2來組織教學(xué).

教學(xué)設(shè)計(jì)2

(1)創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)探究.

在直角坐標(biāo)系中，將直角三角板OPE如圖8所示放置，45°角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，過點(diǎn)E作EQ⊥x軸，Q為垂足，聯(lián)結(jié)QP交y軸于點(diǎn)D,你能夠得出什么結(jié)論？并能說明理由.

學(xué)生思考5分鐘后,教師要求進(jìn)行小組交流，并呈現(xiàn)問題串:

問題1如果你還沒有得出滿意的結(jié)論，是否可以把三角板放到特殊位置再思考？

問題2你可以畫出哪些特殊位置，結(jié)論是什么？

問題3你猜測的結(jié)論，在一般情況下是否還成立？試旋轉(zhuǎn)三角板，判斷你的結(jié)論.

問題4如果成立，你能夠說明理由嗎？

圖8 圖9

各小組經(jīng)探究歸納得出結(jié)論:如OD=OQ;△ODQ是等腰直角三角形；DQ平分∠OQE；DQ與x軸的夾角為45°;△DOQ與△OPE相似；……

在思維受阻時(shí)，鋪設(shè)臺階，引導(dǎo)學(xué)生將圖形特殊化，如將三角形的一邊固定在y軸上(如圖9)，或者將邊OE固定在x軸上，得出結(jié)論后，再旋轉(zhuǎn)三角板進(jìn)行操作驗(yàn)證，這實(shí)際上給出了引導(dǎo)學(xué)生探究問題的一種方法——特殊與一般的轉(zhuǎn)化.

教師繼續(xù)呈現(xiàn)如下問題串，隨后組織小組匯報(bào)研究成果,教學(xué)片斷如下:

問題6從得出的結(jié)論看，其本質(zhì)是“DQ與x軸的夾角45°”，根據(jù)圖形特征你可以聯(lián)想到什么數(shù)學(xué)知識？

生1：由“DP是∠OQE的角平分線”聯(lián)想到角平分線定理.

師：既然聯(lián)想到角平分線定理，能否把圖畫出來，說說你的發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生動手畫圖，1分鐘后回答問題.

生2：過點(diǎn)P作∠OQE兩邊的垂線(如圖10)，這樣就構(gòu)造了△PMO≌△PNE，從而PM=PN,可得∠PQO=45°.

師：剛才構(gòu)造全等三角形時(shí)充分利用了等腰△OPE的性質(zhì)，還有其他構(gòu)造方法嗎？

圖10 圖11 圖12

生3：過點(diǎn)P作x軸的平行線，構(gòu)造△PMO≌△PNE,得PN=QN,從而∠PQO=45°(如圖11).

生4：也可以過點(diǎn)P作PM⊥x軸，過點(diǎn)E作EN⊥PM，構(gòu)造△PMO≌△PNE來說明PM=MQ,有∠PQO=45°(如圖12).

生5:過點(diǎn)O作OM⊥DQ，過點(diǎn)E作EN⊥DQ(如圖13)，可以構(gòu)造△OPM≌△PNE,只要說明OM=QM或者EN=QN就可以得到∠PQO=45°.

師：剛才這2種構(gòu)造的方法，可以看成是由“∠PQE=45°或∠PQO=45°”聯(lián)想此角為等腰直角三角形一內(nèi)角,如圖12，作PM⊥x軸，即可構(gòu)造等腰Rt△PMQ，我們還可以如何構(gòu)造等腰直角三角形？

生6：過點(diǎn)P作PM⊥DQ(如圖14)，可以構(gòu)造△MOP≌△PEQ.

生7：由∠1+∠3=∠2+∠3=90°，得∠1=∠2，又∠MOP+∠POQ=∠PEQ+∠POQ=180°,則∠MOP=∠PEQ，而OP=PE,因此△MOP≌△PEQ,從而PM=PQ,即△PMQ為等腰直角三角形，得∠PQM=∠PMQ=45°.

圖13 圖14 圖15

生8:我發(fā)現(xiàn)過點(diǎn)P作PN⊥DQ(如圖15),也可以構(gòu)造△NPQ≌△OPQ.

師：很好，剛才都是從其中一個(gè)45°角來尋求解題思路，另外從圖形特點(diǎn)角度考慮還能聯(lián)系什么知識？

生9：由“四邊形OPEQ有2個(gè)直角”可以聯(lián)想到補(bǔ)全直角三角形.

師：好，大家試試，并說說你的發(fā)現(xiàn).

學(xué)生思考，動手在圖上畫，尋求思路.

圖16 圖17 圖18

生11：延長OP交x軸于點(diǎn)F,也可以補(bǔ)全Rt△OPF(如圖17)，同樣可求解.

師：剛才有同學(xué)注意到“四邊形OPEQ有2個(gè)直角”，這個(gè)圖形還可以看成什么，可以聯(lián)想到什么數(shù)學(xué)知識？

生12：2個(gè)直角三角形Rt△OPE與Rt△OQE有共同斜邊OE.

生13：以O(shè)E為直徑作圓.由∠OPE=∠OQE=90°,可知點(diǎn)P,Q都在該圓上，這樣有圓周角∠PEO=∠OQP,從而得結(jié)論∠PQO=45°(如圖18).

在這一教學(xué)過程中，教師通過問題引導(dǎo)，鋪設(shè)思維臺階，從圖形特征、符號信息中聯(lián)想其他知識，為添加輔助線提供思考角度，不僅讓學(xué)生自己解決了問題，降低了例題難度，更重要的是加強(qiáng)了知識間的聯(lián)系，增強(qiáng)了學(xué)生探究問題的興趣和思維的發(fā)散.

(2)反思解題思路，暴露思維.

在讓各充分小組說出解題思路后，教師引導(dǎo)學(xué)生反思解題時(shí)的思考，在反思中小結(jié).前6種方法(圖10～圖15)都是由一個(gè)45°角聯(lián)系到等腰直角三角形的一個(gè)內(nèi)角構(gòu)造全等三角形，但構(gòu)造時(shí)思考的角度是不一樣的，添加輔助線，實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)化；圖16、圖17的方法是基于四邊形OPEQ有2個(gè)直角的圖形特點(diǎn)，延長線段補(bǔ)全直角三角形，轉(zhuǎn)化為三角形相似問題;圖18的方法是基于2個(gè)直角三角形有公共斜邊，與圓的知識相聯(lián)系，補(bǔ)全圓后，就轉(zhuǎn)化為圓周角問題；圖10、圖14與圖15的方法，也可以從圖形的旋轉(zhuǎn)角度去總結(jié).

在解題時(shí)，學(xué)生往往只關(guān)注自己解題時(shí)的探究，不理會他人的思考，通過對所有解題分析的反思，分享同伴的解題思路，繼續(xù)暴露數(shù)學(xué)解題的思維.這不是簡單的一題多解，而是從數(shù)學(xué)思想方法上進(jìn)行歸納、提煉，使數(shù)學(xué)解題與智力發(fā)展同行.

(3)構(gòu)造基本圖形，學(xué)以致用.

完成例題，要求選用上課沒想到的方法.

(4)適當(dāng)變式練習(xí)，拓展提高.

作業(yè)若直角邊之比為2∶3的直角三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在直線BQ(點(diǎn)D不與點(diǎn)Q重合)上，另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

3 教學(xué)思考

3.1 鋪設(shè)臺階，有效突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)

學(xué)習(xí)難點(diǎn)的突破，需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)優(yōu)化的學(xué)習(xí)環(huán)境，用“問題情境”幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)“意義建構(gòu)”，2種設(shè)計(jì)都是在分析例題背景后提煉出幾何模型，幫助學(xué)生理解例題所反映的本質(zhì).由于三角板是學(xué)生熟悉的，起到了“腳手架”的作用，使學(xué)生的探究活動得以有效展開，解題時(shí)順利添加輔助線，突破難點(diǎn).

但是，同樣的內(nèi)容教學(xué)，不同的問題創(chuàng)設(shè)，達(dá)到的教學(xué)效果不同.教學(xué)設(shè)計(jì)1解題看似順暢，其實(shí)是定性思維，表現(xiàn)為解題思路單一，影響學(xué)生思維的展開.教學(xué)設(shè)計(jì)2先讓學(xué)生嘗試解決，思考5分鐘無明顯思路,開始呈現(xiàn)問題串，問題串的引領(lǐng)將多個(gè)知識點(diǎn)包含在一起，讓學(xué)生變換觀察圖形的視角，把自己的注意力集中在問題的引導(dǎo)上，根據(jù)圖形特點(diǎn)從不同角度、不同知識產(chǎn)生聯(lián)想，使學(xué)生的思維可視化，促使學(xué)生多角度參與，來提升思考深度,產(chǎn)生不同的解題思路，達(dá)到“一題多解”的效果.教師在學(xué)生的困難處、受挫時(shí)進(jìn)行引導(dǎo)，受挫后的成功體驗(yàn)更能激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探究的的欲望,激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī).

3.2 問題驅(qū)動，加強(qiáng)知識之間聯(lián)系

解題教學(xué)的目的是以典型例題為載體，通過例題的解答，為學(xué)生搭建知識框架，建立知識之間的聯(lián)系，使知識系統(tǒng)化，促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展.如何在知識之間建立起合理的、實(shí)質(zhì)的聯(lián)系？這就需要問題驅(qū)動.2種設(shè)計(jì)都關(guān)注了創(chuàng)設(shè)問題情境，來幫助學(xué)生對知識的遷移，教學(xué)設(shè)計(jì)1通過問題及其2個(gè)變式的引導(dǎo)，從一個(gè)基本圖形聯(lián)系相似或全等知識.教學(xué)設(shè)計(jì)2圍繞著問題串的思考，從45°角聯(lián)想到等腰直角三角形，從一個(gè)四邊形2個(gè)內(nèi)角為直角聯(lián)想到直角三角形和圓，從等腰直角三角形聯(lián)想到圖形的旋轉(zhuǎn)，并靈活應(yīng)用相關(guān)知識，添加輔助線.設(shè)置這類蘊(yùn)含研究思考過程的問題，學(xué)生從中學(xué)會聯(lián)系、學(xué)會轉(zhuǎn)化，達(dá)到鋪設(shè)思維臺階的目的.

3.3 關(guān)注過程，內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法

掌握數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，形成解題策略及思維品質(zhì)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo).這就要求例題教學(xué)不能就題論題，而是要把分析探究過程作為一種方法來引導(dǎo).在依據(jù)幾何圖形來解決問題的同時(shí)，要設(shè)計(jì)合理的問題，引導(dǎo)觀察，鼓勵(lì)直覺判斷，讓學(xué)生參與分析題意、尋求解題思路的過程，體現(xiàn)過程意識.如在教學(xué)設(shè)計(jì)2中，引導(dǎo)學(xué)生通過三角板位置的特殊化，來探究結(jié)論，根據(jù)圖5的圖形特點(diǎn)，以問題串的形式，從不同角度產(chǎn)生對數(shù)學(xué)知識的聯(lián)想，逐步引導(dǎo)學(xué)生思考，有效提煉基本圖形，為尋求解題思路提供了可能，歸納出解題的一般方法與特殊方法，讓學(xué)生在不同的情境下有多種機(jī)會去應(yīng)用他們所學(xué)的知識(將知識“外化”)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動過程，使思維層次不斷提高，從中體會、感悟所蘊(yùn)涵的思想方法,積累解題經(jīng)驗(yàn).

[1] 羅增儒.怎么樣學(xué)會解題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:初中版，2009(3):7-9.

[2] 顧繼玲.讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:初中版，2011(7):2-4.

[3] 羅增儒.分析解題過程的操作[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:初中版，2009(5):9-14.

[4] 烏美娜.教學(xué)設(shè)計(jì)[M].北京：高等教育出版社,1994.