馬安慶，陸 競(jìng)，谷 峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

關(guān)于一類特殊隨機(jī)變量的切比雪夫大數(shù)定律推論

馬安慶，陸 競(jìng)，谷 峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

針對(duì)可能取值有無(wú)限個(gè)的離散型隨機(jī)變量，以數(shù)學(xué)分析中的級(jí)數(shù)為工具推演切比雪夫大數(shù)定律，研究了期望、方差及相關(guān)的序列，得到了關(guān)于離散型隨機(jī)變量有針對(duì)性的推論.

級(jí)數(shù)；與級(jí)數(shù)相關(guān)的序列；斂散性；期望；方差；與期望方差相關(guān)的序列

切比雪夫大數(shù)定律是概率論中的重要內(nèi)容,適用于各種概型，具有一般性，將它在離散型隨機(jī)變量(以下簡(jiǎn)稱特殊隨機(jī)變量)環(huán)境中具體化可得出更有針對(duì)性的推論.由于該定律與期望、方差及相關(guān)序列有關(guān)，而特殊隨機(jī)變量的期望、方差及相關(guān)的序列又與級(jí)數(shù)、與級(jí)數(shù)相關(guān)的序列存在聯(lián)系.因此本文通過(guò)切比雪夫大數(shù)定律中的問(wèn)題來(lái)尋找研究方向，以級(jí)數(shù)為問(wèn)題的解決提供理論依據(jù)，最終達(dá)到推演該定律的目的.

1 相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)

切比雪夫大數(shù)定律[1]設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列X1,X2,…,Xi,…的數(shù)學(xué)期望E(X1),E(X2),…,E(Xi),…與方差D(X1),D(X2),…,D(Xi),…都存在,并且方差都是一致有上界的, 即存在某一常數(shù)K，使得D(Xi)

(1)

2 研究對(duì)象的引入

下文用到的階的估計(jì)的基本知識(shí)參見(jiàn)文獻(xiàn)[2].

以下為級(jí)數(shù)及與級(jí)數(shù)相關(guān)序列的結(jié)論.

3 相關(guān)結(jié)論

為了使結(jié)論便于推演切比雪夫大數(shù)定律，在此以E(Xi),i=1,2,3,…存在為前提來(lái)討論問(wèn)題.

由ε的任意性可知，

經(jīng)進(jìn)一步觀察歸納猜想證明得以下結(jié)論.

4 相關(guān)推論

現(xiàn)將相關(guān)的基礎(chǔ)結(jié)論與切比雪夫大數(shù)定律及切比雪夫不等式相結(jié)合，得出具有特殊隨機(jī)變量特色的推論.

相比于辛欽大數(shù)定律，推論1不要求隨機(jī)變量服從同一分布，不要求數(shù)學(xué)期望相同.

由例題可知該推論相比于切比雪夫大數(shù)定律不要求方差有界.

由上述結(jié)論可得出的推論不止兩個(gè)，限于篇幅不能一一列舉，遇到具體問(wèn)題時(shí)可根據(jù)期望、方差及相關(guān)序列的特點(diǎn)選取以上的結(jié)論來(lái)解決問(wèn)題.

[1] 沈恒范.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].5版.北京：高等教育出版社，2011:159.

[2] 沈忠華，虞旦盛，于秀源.數(shù)學(xué)分析問(wèn)題講析[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2010:1.

[3] 盛驟,謝式千,潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].4版.北京：高等教育出版社,2008:119.

ChebyshevLawofLargeNumbersforaClassofSpecialRandomVariables

MA Anqing, LU Jing, GU Feng

(College of Science,Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

Possible values have infinite number of discrete random variables, so that this paper deduced Chebyshev law of large numbers with series, studied expectation, variance and relevant sequences, and obtained the inference that special random variables had pertinence.

series; sequences correlative with series; convergence and divergence; expectation; variance; sequences correlative with expectation and variance

2013-05-23

陸 競(jìng)(1958—)，男，副教授，主要從事函數(shù)論研究.E-mail:wllujing@sina.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2013.06.006

O211.4MSC201060F99

A

1674-232X(2013)06-0507-06