徐文彬

（南京師范大學 課程與教學研究所，江蘇 南京 210097）

數(shù)學學習，在小學生們的眼里大多就是計算，即便是所謂的應用題也不過是把其中的“數(shù)量關系”轉(zhuǎn)變成計算的式子，最后給出計算的結果，并附上“必不可少的”“答：……”，即使是現(xiàn)在一年級就有的“統(tǒng)計內(nèi)容”也是少不了要“數(shù)數(shù)”，而幾何知識則更是變成了“點、線段的個數(shù)，邊長、周長和面積的計算”.在初中生們的心里，幾何學習就是要給明白無誤的“定理、性質(zhì)、公式和規(guī)則”找出各種各樣的理由，以形成所謂的“證明”，而代數(shù)學學習則是要記住一大堆原理、規(guī)則和公式，然后就是把它們應用于解決“多如牛毛、怎么也做不完”的習題當中去.而高中生的數(shù)學學習則由于“高考壓力”的存在更不待言……之所以會造成上述所描述的“普遍現(xiàn)象”，研究者認為主要是由于“數(shù)學科學教學（論）”忽視了基于“數(shù)學文化”[1～2]視域分析下數(shù)學創(chuàng)造、發(fā)明與學習中普遍存在的游戲性、流變性和融貫性.

1 數(shù)學學習的游戲性

游戲有“有待之游和無待之游.有待是有所依靠的，無待是無所依靠的”[3].但學校（數(shù)學）學習，如所周知，它必是“有待的”，至于是否游戲則需另議.另一方面，游戲“始終被理解為其自身之外沒有其它任何根據(jù)的活動”[3].而學校（數(shù)學）學習卻不僅“有所根據(jù)”，而且還有著眾多的“根據(jù)”.由此看來，要使學校數(shù)學學習成為“游戲”尤其是“無待之游”恐怕有點勉為其難.但這只是學校數(shù)學學習的一個方面的特點，而如果能夠從數(shù)學文化的內(nèi)在尺度來分析學校數(shù)學學習，那么就很可能會得出一些“相反的”看法或結論.

數(shù)學在古代中西方傳統(tǒng)中都充滿著一些游戲的味道.譬如，算術數(shù)論之中像“完全數(shù)”、“親和數(shù)”、“孿生素數(shù)”等概念的提出和對它們的研究就是“游戲中的事情”；幾何中的“三大作圖問題”更是古希臘人“茶余飯后”的游戲活動.甚至可以說，“數(shù)學只是古希臘人的一個高級玩具，而非一個有用的工具”[4].出現(xiàn)于《張丘建算經(jīng)》中的“百雞問題”（即“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一.凡百錢買雞百只，問雞翁母雛各幾何？”）可謂也是一個“數(shù)學游戲”中的上品.

愛因斯坦曾說：“許多人愛好科學，是因為科學給了他們異乎尋常的智力上的快感.對于這些人科學是一種特殊的娛樂；還有許多人之所以把他們的智力奉獻給科學祭壇，為的是純粹的功利.如果把這兩類人都趕出神圣的殿堂，那么，這里的人就會大為減少……”[4]由此可以想見，現(xiàn)代的學校數(shù)學教育存在著要把學生都趕往為“純粹的功利”而學習數(shù)學的軌道上去的危機.執(zhí)著于數(shù)學的“純粹的功利”是現(xiàn)代數(shù)學教育的一個“頑固的癥結”，必須用“游戲的精神”才有可能加以稀釋乃至根除.

從總體上來說，（純粹）數(shù)學就是人類“前赴后繼的”游戲精神的創(chuàng)造物.希爾伯特的“有限數(shù)學”計劃就是想探明“數(shù)學游戲”的所有“有待的”根據(jù)，而歌德爾的“不完全性定理”則表明，數(shù)學從總體上來說，是一個猶如德里達所說的“無底棋盤上的游戲”一樣，是一個“無待之游”.也就是說，數(shù)學的絕對真理是不可企求的，而它的相對真理則是“邊界內(nèi)的游戲”或“有底棋盤上的游戲”，自由但“有待”.維特根斯坦則從“語言游戲”的角度對數(shù)學的“游戲”本性進行了分析：“數(shù)學是特殊的，但其特殊性不在于它擁有比人類其它活動更高貴的特權，而只在于它是一種特殊的語言游戲.”但“‘一個數(shù)學命題的理解不能像大多數(shù)非數(shù)學命題那樣，由它的詞語形式來保證’.也就是說，在其它許多語言游戲中，詞的理解可能有關鍵的意義，而在數(shù)學中，詞只在關系中意義才凸現(xiàn)出來，由此，‘在數(shù)學中，一般與特殊的關系與在其它地方的這種關系是不同的’.因而，證明才在古往今來的幾乎所有數(shù)學中占據(jù)決定性的位置.”因此，“數(shù)學也僅只作為諸多語言游戲、語言模式之一種而有其獨立的存在.這樣，它就不再位于生活之外或之上，而是在生活之中.”[5]

由此可見，根植于“數(shù)學文化”的（學校）數(shù)學教育就應該重視通過游戲來促進學生對數(shù)學的學習.如果說“無待之游”的數(shù)學游戲比較超然，而不易于被引進學校數(shù)學學習當中的話，那么，“有待之游”的數(shù)學游戲則必然是現(xiàn)實可行的絕好學習活動：“喚醒學生的最好的辦法是向他們提供有吸引力的數(shù)學游戲、智力題、魔術、笑話、悖論、打油詩或那些呆板的教師認為無意義而避開的其它東西.”（馬丁·加德納語）[4]

如此而來的結果可能就是，如果從“數(shù)學游戲”的角度來看待小學數(shù)學中的“計算”學習，那么，“計算”就只不過是整數(shù)運算規(guī)律下的“數(shù)字游戲”而已.而這里的運算規(guī)律則也只是“十進制下的”加法的結合律和交換律、乘法的結合律和交換律、乘法對加法的分配律——即“數(shù)字游戲”的規(guī)則.因此，在學生學會基本的自然數(shù)知識與簡單計算技能的基礎上，有關“自然數(shù)的四則混合運算”的學習就完全可以成為學生自己的“游戲活動”——類似于幼兒的“積木”游戲.而以上述“運算規(guī)律”為基礎的一系列導出規(guī)則——類似于“積木組塊”，也就必然會成為他們玩“數(shù)字游戲”的自由探索之所得.因此，還需要用原計劃的“8個課時”來“按部就班”地施教或?qū)W習嗎？研究者曾通過在一個班級的實驗發(fā)現(xiàn)，學生只需要3～4個課時的時間就可以完全獨立、自主地探索出“導出規(guī)則”，并能夠運用它們和基本運算規(guī)律一起來解決“計算問題”.而余下的4～5個課時的時間則用可來拓展二進制、八進制、十六進制等“規(guī)則”下的“整數(shù)的計算”游戲活動.通過這樣的處理之后，可以發(fā)現(xiàn)，學生們可以隱約體會到：他們所學習的整數(shù)的計算不過是“整數(shù)”在一種“規(guī)定的”特殊進制（即十進制）下的“必然結果”，而且還存在著許多這樣“規(guī)定的”特殊進制下的“運算規(guī)律”及其必然結果.所以，通常所說的“1+1=2”實際上就是省略掉了“十進制”這樣一類“規(guī)定”而得自于“文化”的“約定限制”的必然結論，并因此而被認為是理所當然的“數(shù)學事實”，無須質(zhì)疑.可以說，如果沒有這樣一類文化的約定限制，那么，人們的生活將會毫無著落，虛幻而不可捉摸.但是，發(fā)明創(chuàng)造卻要在某種程度打破這種文化的約定限制，否則，進步就將會成為“不可能事件”.眾所周知，中國的《周易》中就蘊藏著“二進制”思想，但發(fā)明二進制的人卻不是中國人，而是與牛頓一同發(fā)明微積分的德國數(shù)學家、哲學家G·W·萊布尼茨（Leibniz，1789—1857）.為什么會出現(xiàn)這種情況呢？這難道還不值得深思嗎？

其實，就是高中生的數(shù)學學習也存在著類似的問題[6].譬如，無論是在傳統(tǒng)綜合幾何思想指導中，還是在現(xiàn)行“向量幾何”思想指導下的“空間兩條直線的位置關系”的學習，都沒有擺脫“共面與異面”（所謂兩條直線“異面”就是指，無論如何，這兩條直線都不可能同在某一個平面內(nèi)；而所謂兩條直線“共面”則是指，無論如何，這兩條直線都可以同在某一個平面內(nèi)，而共面又可分為“平行”與“相交”）這一傳統(tǒng)的分類或區(qū)分.但事實上，如果能夠運用綜合的“數(shù)學文化”觀下的整體思想與“平移運動”于數(shù)學學習的指導當中，學生就很有可能發(fā)現(xiàn)另一種分類或區(qū)分：“重合與相交”.所謂“重合”就是指，在“平移運動”下能夠完全“重疊”的兩條直線，而所謂“相交”則是指，在“平移運動”下不能夠完全“重疊”的兩條直線（因而只有一個“交點”），而“相交”則又可分為“共面的相交”與“異面的相交”；更為重要的是，數(shù)學中的“轉(zhuǎn)換/轉(zhuǎn)化”思想在此體現(xiàn)無疑：不論是在綜合幾何還是在“向量幾何”當中，有關“異面”的問題解決總是要轉(zhuǎn)換/轉(zhuǎn)化為“共面的相交”來思考.由此可見，“共面的相交”與“異面的相交”之間存在著諸多共性，故，依此“共性”可以歸為一類矣！

2 數(shù)學學習的流變性

流變性主要來自數(shù)學文化的整體性和統(tǒng)一性，也來自兒童的整體性和統(tǒng)一性.“流變”可以說是世界存在的基本形式，也是世界普遍聯(lián)系和永恒發(fā)展的必由之路.

當代數(shù)學文化發(fā)展的整體特征之一便是它的整體性與統(tǒng)一性.盡管數(shù)學文化的各學科之專業(yè)化和職業(yè)化對這整體性與統(tǒng)一性潛藏著“割裂”的危害，但綜合的“數(shù)學文化”觀卻既是為克服這“割裂”而又不完全排除“專業(yè)化和職業(yè)化”所做出的努力.近年來，由于高考與就業(yè)壓力的增大和“望子成龍”或“望女成鳳”這一怎么也揮之不去的“育兒成才”或“教學成才”情節(jié)之原由，在某些高中甚至喊出了“一步到位”的主張，而在某些小學則甚至從二、三年級就開始以“奧數(shù)”為標準而把學生分成“三、六、九等”以為“因材施教”鋪平道路.不論是“一步到位”還是“因材施教”，其實都是違背兒童或?qū)W生的整體性和統(tǒng)一性之流變的“強硬”態(tài)度之反映.且不說，在“數(shù)學學習”中概念的含義只有在關系中才能顯現(xiàn)出來，就兒童學習數(shù)學時的“整體投入”而言，他們也不可能在數(shù)學課堂上只能“數(shù)學地思維”，更不用說，在算術課上只能運用“計算程序或步驟”來“算術地”思考.所以，流變性應該是數(shù)學學習的一個“天然的”特性，而不是像“數(shù)學科學教學論”所認為的那樣：這是注意力不集中的表現(xiàn).下面便是一個來自“幼兒園”的觀察，應該很能夠說明該問題之所在：

背景：一位數(shù)學教師（幼兒園阿姨）和4位5歲左右的兒童在上“5的認識與書寫”一課，其重點是“正確地”書寫“5”而不是認識“5”，因為“對5的認識”對于5歲左右的兒童來說早已不成問題.“男生”中有一位是加拿大華僑，很獨立且“自私”（記為“A”），還有兩位是中國人，其中有一位被老師認為“有點笨”（記為“B”，另一位記為“C”）；還有一位“女生”（記為“D”），來自韓國，不會說漢語.該教師還兼教小學二年級一個班的數(shù)學課，不會說韓語.上課時間為40分鐘.上課地點為兒童活動室.

上課：每位學生面前放著一個方格本，上面記錄著“學生的數(shù)學成長痕跡”——1、2、3、4的書寫，老師講解黑板上早已在上課前“寫好”的一排方格中的“5”.講解完后，教師請同學們在自己的方格本上照著黑板上的樣子.寫一頁“5”（有近50個方格）.老師則看著“學生們”寫，并不停地“手把手地”認真地指點著學生.“老師”，A說話了：“D在地上爬，她還摳墻上的‘地板?！?”“老師”，B也說話了：“A不把橡皮給我.”“這是我的，就不給.”A說.老師對他說，同學之間要互相幫助，但沒有絲毫“作用”.A好奇地瞪著兩只大眼睛看著老師，也不說話.“還是用我的吧！”C好心也是“討好地”說.“老師，我們喝奶吧？”這時牛奶已經(jīng)送到了教室門口.正感無賴的老師聞之一驚，“機智地”抓住了這個“教育機遇”：“誰先寫完就喝奶.”于是，學生們在牛奶的誘惑下“認真地”完成了這一節(jié)課的教學任務，老師還當堂給予了同樣是“認真的”批閱.牛奶喝完后，學生們卻各自專心地玩起了自己的游戲.D在這節(jié)課上還有一個意外的收獲，那就是學會了說：“wu”……

課后：老師感嘆：“教他們還真不如教二年級的學生，B還總是忘記帶‘東西’，真苯！”“A很聰明，但很自私，他的什么東西都不讓人動.”“D不會說漢語，可費勁了！”“不這么教不行，否則到一年級他們就不會‘寫（數(shù)）’，家長和老師還會怪我們呢！”……

這里，研究者絲毫未見算術中數(shù)的整體性和統(tǒng)一性：“按照傳統(tǒng)的教學方法行事，10以內(nèi)的每一個數(shù)是單個地學習的.學習每一個數(shù)都要花費相當多的時間，而且，數(shù)是應用在各種事物上出現(xiàn)的，后一個數(shù)的學習，聯(lián)系前一個數(shù).例如，3這個數(shù)被說成是2和1兩個數(shù)組成的.以后的每一個數(shù)也都是這樣來學習.這里似乎有著后一個數(shù)和前一個數(shù)的聯(lián)系.這在某種程度上確實如此.可是，這種聯(lián)系是狹窄的和片面的，因為從1～10的整個數(shù)列，作為某種統(tǒng)一的整體，完全沒有提到.”[7]而兒童的“數(shù)學學習的”流變性倒是被注意到了，但卻被視為是“影響正常教學的不利因素”.

其實，不僅如此，就是在算術和代數(shù)之間也存在著內(nèi)在的、統(tǒng)一的整體性.盡管現(xiàn)行數(shù)學課程標準把“數(shù)與代數(shù)”合并成一個內(nèi)容標準（據(jù)說，這也是一種“國際接軌”，因為在美國和英國就都是把“數(shù)與代數(shù)”作為一個“整體”而構成其數(shù)學課程標準或教學標準的一個課程或教學目標），但是，“代數(shù)”（即“式與方程”）卻只是在第二學段（4～6年級）偶爾“以算術的形式”出現(xiàn)，而“代數(shù)思維”（即“數(shù)與式”、“方程與不等式”、“函數(shù)”等）則只有到了第三學段（7～9年級）才會大量地涌現(xiàn).應該說，這種想法有其可取之處，但現(xiàn)實的學校數(shù)學學習卻并不是這么回事.即使學生在學習算術時自發(fā)地流變出“代數(shù)思維”的創(chuàng)造，也會被視為“不正?！倍馐苣?，以至被扼殺.譬如，當一個二年級的小學生“正在”說計算“71-54=?”的過程：“70減去50得20，4減1得3，20減3得17就是答案”時，甚至在學生還沒有說完的情況下，老師就迫不及待地好心“引導”：這樣不對，還是想想別的辦法吧！

為什么會出現(xiàn)這種“反教育”的教學現(xiàn)象呢？研究者可以負責任地說，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因不在教師方面，而在教材的體系結構和“數(shù)學科學教學論”、甚至數(shù)學學習（科學）心理學研究方面.首先，就教材的體系結構而言，已有研究表明：不同的教材體系結構影響小學生的數(shù)學認知發(fā)展[8].其次，就“數(shù)學科學教學論”研究而言，它不僅存在著自身不可克服的內(nèi)在困境，而且，在現(xiàn)實的研究當中，幼兒數(shù)學學習、小學生數(shù)學學習和初中生數(shù)學學習（就更不用說高中生數(shù)學學習了）的教學研究是一個割裂的、由不同人群各自研究、鮮有縱向聯(lián)系和合作的一個“部類”.就數(shù)學學習（科學）心理學研究而言，“由于心理學家研究數(shù)學學習時，可能由于自身數(shù)學知識結構的關系，在數(shù)學知識選材時廣度和深度就要受到限制，研究難以反映數(shù)學學習的全貌.”[9]

這位小學生的“說”當中隱藏著“代數(shù)思維”：71-54=(70-50)-(4-1)＝17，或者，更為一般地有，ab-cd=(10a-10c)-(b-d).前者在小學數(shù)學中常常被稱為“巧算或速算”，而體現(xiàn)在低年級的“奧數(shù)”當中，而后者則常常是高年級的“奧數(shù)”內(nèi)容.顯然，在小學二年級教師不可能教授后者（這是“代數(shù)”），甚至也不可能在現(xiàn)有的教材體系下傳授前者，但是，那種“未完成”的“說”卻是允許的，也是值得肯定和鼓勵的.其實，就前者而言，在改造教材體系之后也不是不可能的普遍事情.而這“說”和類似“71-54=(70-50)-(4-1)=17”這樣的式子（譬如，71-54=71-60+6=17）就是所謂的“準變量思維”和“準變量表達式”.它們的存在說明，可以在小學數(shù)學教育中進行“代數(shù)學習”.因為“算術和代數(shù)之間的人為割裂不僅剝奪了學生在小學低年級思考數(shù)學的有效圖式，而且這還給他們在后續(xù)學習代數(shù)時造成了更大的困難”[10].所以，為了理解和運用算術中的“代數(shù)思維”來促進學生的數(shù)學學習，小學數(shù)學教師尤其需要培養(yǎng)“代數(shù)的耳朵和眼睛”[11].在“代數(shù)的耳朵和眼睛”的傾聽和透視下，算術之中就會充滿著流變的“關系和變量”.由此看來，所謂小學“奧數(shù)”并不像人們通常所認為的那樣“深奧難懂”，只能為少數(shù)具有“數(shù)學天分”的學生所獨享，而且，在用“代數(shù)的耳朵和眼睛”改造后的小學數(shù)學學習當中，“奧數(shù)”就應該而且也可以成為更多學生的“家常便飯”.

3 數(shù)學學習的融貫性

融貫性是指整體和統(tǒng)一的兒童投身于同樣是整體和統(tǒng)一的數(shù)學文化（學習）當中所應該而且也能夠感悟到的數(shù)學文化的“內(nèi)在一致性”.它需要以“游戲性”和“流變性”為其存在的先決條件.如果說數(shù)學學習的“游戲性”和“流變性”是“綜合文化數(shù)學觀”下數(shù)學學習所應該具有的基本特性的話，那么，數(shù)學學習的“融貫性”則就應該是“綜合數(shù)學文化觀”所應追求的一種“超越”有限規(guī)則，并體驗“無限”規(guī)則的創(chuàng)造或自由.

與當代數(shù)學文化發(fā)展的整體性和統(tǒng)一性特征相伴而生的是數(shù)學各學科研究的專門化趨勢.而這種“專門化趨勢”的發(fā)展卻也存在著可能的危害，即，在這個崇尚制作，人人都忙于自己的制作，以致于制作產(chǎn)品是否有意義或是否隱藏著謬誤卻已是無人問津了的“后現(xiàn)代”“社會—文化”氛圍當中.數(shù)學家和數(shù)學工作者的數(shù)學研究也存在著“制作的表現(xiàn)”：空洞性——為獲得特定結論而有意設置條件以致形成條件堆砌下的一具空殼；雕砌性——隨意對一種數(shù)學理論進行改造，精雕細琢以構建新理論，即“無聊和無關緊要的理論的形式發(fā)展”；批量性——在如同社會上廣為流行的“寫作秘訣”、“作文大全”、“談判技巧”和“人生指南”一樣的“數(shù)學作文法”指導下批量生產(chǎn)或復制“數(shù)學研究”論文[12].數(shù)學研究中的這種“制作風尚”顯而易見是數(shù)學教學（研究）所不能解決的一個“大問題”.但是，“綜合數(shù)學文化觀”在數(shù)學教學（研究）中的貫徹卻要求研究者應以“超越的眼光”來過濾這“有限規(guī)則的游戲”，以尋求“無限規(guī)則的自由”.

譬如，在智商測試和“探索規(guī)律”數(shù)學學習中經(jīng)常出現(xiàn)的“按規(guī)律填數(shù)字”就既能夠說明這“規(guī)律”的“制作性”，又能夠表明這“規(guī)律”也可以成為“無待之游”中的“待”——從游戲的角度來看；也可以成為一切“變化規(guī)律”中的“總規(guī)律”——從“流變性”角度來看.下面看兩個具體的“按規(guī)律填數(shù)字”的例子.

在一本專講“創(chuàng)造性”的書[13]中是這樣分析的：就第一小題而言，“大家都知道括號內(nèi)應該填6，即按照減2加1的規(guī)律.”——你知道“減2加1”是什么規(guī)律嗎？就第二小題而言，“如果僅僅從抽象的數(shù)字符號想下去很難有結果，但只要跳出去，越過它的一般屬性去聯(lián)想，就豁然開朗，答案是2.”——知道了“答案是2”，可還是不知道這“規(guī)律”是什么？“生活中我們都見過掛鐘，它在整點時幾點打幾下，半點時都是只響一下.原來是從11點半到下午2點的排列.”——“性質(zhì)躍遷”式的創(chuàng)造性思維的重要形式之一.

其實，如果研究者對“規(guī)律”做一簡單的分析，就會知道，所謂“規(guī)律”它必定是時間的函數(shù)，是變化中的“不變”，是歷史、過程、經(jīng)歷的“痕跡”，它還是未來時間里的“變化趨勢”.因此，就可以就“未來”來“制作”規(guī)律.

就第一小題來說，“減2加1”可能是指：……，?=(7-2)+1，而5=6-2+1、7=8-2+1、6=7-2+1、8=(9-2)+1，至于前面的兩個數(shù)7和9，如果它們前面還有數(shù)字的話，就可以把這“減2加1”的規(guī)律向前續(xù)下去——7＝(8?-2)+1、9=(10?-2)+1、……于是，就得到了一個符合“減2加1”規(guī)律的“無窮數(shù)列”：

……，10，8，9，7，8，6，7，5，6，……

就第一題而言，“減2加1”還可能是指：……，7=9-2，8=7+1，6=8-2，7=6+1，5=7-2，?=5+1，至于前面9，如果它前面還有數(shù)字的話，就可以把這“減2加1”的規(guī)律向前續(xù)下去——9=8?+1、8=(10?-2)、……于是，就得到了一個符合“減2加1”規(guī)律的“無窮數(shù)列”：

……，10，8，9，7，8，6，7，5，6，……

……

如此而言，難道下面的“無窮數(shù)列”不也是“一系列規(guī)律”嗎？而且還很“優(yōu)美”——周期性變化，猶如一年四季——“春有百花秋有月，夏有涼風冬有雪.”

……，a/x，9，7，8，6，7，5，a/x，9，7，8，6，7，5，a/x，……

由此可見，“減2加1”規(guī)律的“制作性”，以及“a/x”的“制作性”和“超越性”的統(tǒng)一.如果認為僅此（即“9，7，8，6，7，5，6”）而已，“前無古人，后無來者”，那么，暫且不說這“規(guī)律”無以成為規(guī)律——因為“規(guī)律”來自人們對無窮或無法把握的世界的人類“心靈的”、“共同的”“約定”或“認定”或“信仰”——“僅此而已”無須“規(guī)律”就已一覽無余，倒是這“僅此而已”反而更說明了這“減2加1”規(guī)律的“制作性”特點或特征.

就第二個小題而言，完全可以模仿第一小題來制作“周期性規(guī)律”.當然，前面的“答案規(guī)律”跳出了“抽象的數(shù)字符號”而獲得了某種“生活的意義”.但是，那周期性規(guī)律難道還不能成為“最大的”生活意義嗎？——誰又能逃脫這“周而復始”的“周期性循環(huán)”呢？

不僅如上所言，而且，那括號內(nèi)的數(shù)字可以填下你所能想象得到或無法想象得到、或者你所喜歡或不喜歡的任何“數(shù)”.只要你填上了，就可以從“抽象的數(shù)字符號”的角度來“制作”“合身的”規(guī)律——這難道不也是一種“生活的意義”嗎？——數(shù)學學習為什么不能進入這無窮的創(chuàng)造天地呢？

其實，在數(shù)學各科的學習當中都存在著這片“無窮的創(chuàng)造天地”，而這各學科的“無窮創(chuàng)造天地”之間的“溝通”所形成的“無窮創(chuàng)造天地”將是無法用語言來描述的“無待之游”.由此看來，制作并不是什么可怕的東西或活動，重要的是要以“一以貫之”的精神去制作，并以“一以貫之”的精神去研究這制成品，以形成……

譬如，在初中平面幾何的學習當中，就“四邊形”這一單元而言，學生們不僅在此前學習了三角形等，而且在此中還要學習各種“規(guī)整”四邊形：正方形（正四邊形）、長方形（矩形）、菱形、鳶形（針形）、梯形、直角梯形、等腰梯形、平行四邊形、……、一般四邊形.一般的教材都是從平行四邊形入手來組織學生的學習，然后再把從幼兒園就開始學習的正方形和長方形納入到這里的體系當中，接著就是其它四邊形的逐個學習，在這個過程結束后，學生們幾乎完全忘記了最開始所被給予的“一般四邊形的定義”：請他們畫出一個四邊形時，幾乎都是已學過的某一種特殊的四邊形.其實，在這里，為了追求數(shù)學學習的融貫性，完全可以讓學生們從任何一個“特殊的四邊形”甚至三角形“出發(fā)”，來展開自己的“四邊形學習”.不僅如此，而且還可以在此基礎上把三角形、四邊形和其它多邊形甚至“圓周”和“空間圖形”等統(tǒng)一起來，在圖形、性質(zhì)、公式等幾個方面形成更大范圍的統(tǒng)一的融貫性.

當然，以上所描述的數(shù)學文化視域中的數(shù)學學習首先需要數(shù)學教師們自己去這樣來學習數(shù)學或看待數(shù)學學習，以體會其游戲性、流變性和融貫性.否則，沒有“一以貫之”的身體力行就不可能帶來同樣是“一以貫之”的數(shù)學文化的學習.正所謂“要想教他人學習，就得首先自己學會學習”.

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