王名揚(yáng)，徐瀝泉，徐利治

（1.無錫市教育研究中心，江蘇 無錫 214001；2.大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116024）

20世紀(jì)60年代后心理學(xué)從行為主義研究階段發(fā)展到認(rèn)知革命時(shí)期，并開始關(guān)注數(shù)學(xué)教育革新問題.無可非議，認(rèn)知心理學(xué)的知識(shí)建構(gòu)主義等學(xué)說，對(duì)促進(jìn)數(shù)學(xué)教育研究深層次問題，已產(chǎn)生重要影響[1～3].

在方法論上，認(rèn)知心理學(xué)從近現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展中得到了重要啟示，一是主要采用了信息加工的觀點(diǎn)形成知識(shí)建構(gòu)理論，二是認(rèn)為一般正常人的大腦（簡稱“人腦”）基本上是按照計(jì)算機(jī)的模型來工作的.其實(shí)計(jì)算機(jī)模型原本都是由人腦結(jié)合實(shí)際需要按照合理的客觀邏輯規(guī)律設(shè)計(jì)出來的.因此計(jì)算機(jī)也都是人腦工作的產(chǎn)物.

說到事物的本質(zhì)，還必須返回到“科學(xué)的反映論”觀點(diǎn)[4].按照反映論，人腦是具有以概念形式反映客觀現(xiàn)象規(guī)律的能力的機(jī)制，這種機(jī)制及其功能都是有機(jī)生命體經(jīng)歷長期進(jìn)化的結(jié)果.詳言之，人腦本身是一種客觀演化過程的產(chǎn)物，很自然具有客觀地反映事物及其關(guān)系的本能，而且高層次的本能中還包含有“抽象概括能力”以及遵循客觀邏輯法則創(chuàng)建關(guān)系結(jié)構(gòu)（模式）的能力，甚至還具有預(yù)見事物關(guān)系的能力，即想象與猜想的能力.

正因?yàn)槿四X本能中顯示出層出不窮的主觀能動(dòng)性，以致曾有些心理學(xué)家與數(shù)學(xué)家們，都不自覺地特別強(qiáng)調(diào)科學(xué)創(chuàng)造性思維的人的內(nèi)部心理過程的主觀性特征，而忽視了事物的客觀性本源.事實(shí)上，無論是知識(shí)的獲取過程與創(chuàng)建過程，都是主體（人腦）與客體（事物現(xiàn)象關(guān)系及規(guī)律等）的反映與被反映的相互作用過程.從這一點(diǎn)來看，皮亞杰（J.Piaget）在發(fā)生認(rèn)識(shí)論原理中提到的“同化”與“順應(yīng)”兩個(gè)概念，還是十分正確的[5].

現(xiàn)在要來談數(shù)學(xué)的一種認(rèn)知過程，即“數(shù)學(xué)的現(xiàn)象、心象、抽象、操作”過程，或簡稱“三象一作”過程.根據(jù)反映論觀點(diǎn)，能比較清晰地闡明這種認(rèn)識(shí)過程及其在數(shù)學(xué)教育上的意義.

1 數(shù)學(xué)是探究數(shù)學(xué)現(xiàn)象的科學(xué)

這里不是要討論數(shù)學(xué)的對(duì)象及其意義的問題，只是想說明數(shù)學(xué)教學(xué)是闡述并運(yùn)用“數(shù)學(xué)現(xiàn)象規(guī)律”的科學(xué).國內(nèi)外許多數(shù)學(xué)家都是贊同“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”這一說法的.例如中國已故的杰出數(shù)學(xué)家華羅庚就曾在科普講演中，提到數(shù)學(xué)是研究數(shù)學(xué)現(xiàn)象的觀點(diǎn).德國著名數(shù)學(xué)家希爾伯特（D.Hilbert）的青年時(shí)代的同學(xué)兼好友胡塞爾（Hursserl）曾從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)科學(xué)開始，創(chuàng)始了哲學(xué)上的“現(xiàn)象學(xué)研究”.

很顯然，現(xiàn)實(shí)世界中或人為設(shè)計(jì)構(gòu)造中，凡出現(xiàn)的種種數(shù)量關(guān)系、空間形式以及一定條件下的隨機(jī)性現(xiàn)象等，都屬于數(shù)學(xué)現(xiàn)象.所以算術(shù)、代數(shù)、幾何、概率論與統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)等，都是論述“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”的學(xué)科.從哲學(xué)上看，凡事物都有“量”的側(cè)面，并能引出量的規(guī)定性，因此如果著眼于量的側(cè)面考察種種事物及其間的關(guān)系時(shí)，所能見到的種種量性現(xiàn)象都可稱之為“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”.這樣看來，近現(xiàn)代發(fā)展起來的數(shù)學(xué)諸分支，例如分形理論、小波分析、金融數(shù)學(xué)、非線性分析等等，都可以說成是探究數(shù)學(xué)現(xiàn)象的學(xué)科了.

值得注意的是，自然界、人世間存在著大量數(shù)學(xué)現(xiàn)象，而且數(shù)學(xué)現(xiàn)象也可以人為地創(chuàng)設(shè)出來.例如，各種棋類游戲都是人類設(shè)計(jì)出來的，但一經(jīng)設(shè)計(jì)出來后，各種棋譜所蘊(yùn)涵的量性關(guān)系，便成為客觀的數(shù)學(xué)現(xiàn)象了，人們就只能遵循邏輯法則對(duì)其進(jìn)行客觀地分析研究.

2 從現(xiàn)象和心象到抽象

人們從兒童、少年、青年到成年，在生活實(shí)踐與學(xué)習(xí)過程中，會(huì)不斷地接觸種種數(shù)學(xué)現(xiàn)象，這就會(huì)通過耳目等器官的感知在頭腦中形成種種帶有直觀性的圖像，即心智圖像，簡稱“心象”（mental picture）.這在現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)與教育心理學(xué)里已有許多論述.

簡單說來，數(shù)學(xué)心象就是數(shù)學(xué)現(xiàn)象在人們心目中呈現(xiàn)的一類未經(jīng)理性分析的直覺形象.例如，少年兒童看到紙上畫的一個(gè)圓周后，就會(huì)在頭腦中留有該圓周的心象，當(dāng)眼見許多具體的圓形事物后，腦海中就會(huì)有一種帶有共性的圓的印象，這就初步走向抽象階段了.

正因?yàn)槿四X是具有抽象本能的，因此當(dāng)青少年學(xué)習(xí)平面幾何時(shí)，很自然就會(huì)自動(dòng)完成圓的概念，即幾何上圓的概念——那是一種絕對(duì)完美的由一個(gè)幾何點(diǎn)圍繞一個(gè)中心形成的理想化軌跡.古代哲學(xué)家柏拉圖（Plato）甚至把這種抽象化的圓視之為超越經(jīng)驗(yàn)的屬于“理念世界”的東西.

經(jīng)歷許多萬年的進(jìn)化和遺傳，固然人類的大腦都具有抽象概括的本能，但人在成長過程中，卻是需要通過生活實(shí)踐和學(xué)習(xí)訓(xùn)練才能不斷喚醒和增長這種抽象能力的.事實(shí)上，由于人們的生活實(shí)踐經(jīng)歷以及學(xué)習(xí)與工作生涯是各不相同的，所以人們之間的屬于高層次的抽象能力還是頗有差別的.但是，最基本的抽象本能，確實(shí)是人人具備的.否則，人們就不可能適應(yīng)通常的社會(huì)生活了.

一般說來，如果沒有耳聞目睹或接觸過具體的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，就不可能產(chǎn)生直觀性的數(shù)學(xué)心象，而不通過心象的積累、變化、組合及相互聯(lián)結(jié)與綜合等過程，也就不可能形成概括性的抽象概念.人們想獲得高度總結(jié)性的科學(xué)知識(shí)，總是要經(jīng)歷這樣的認(rèn)知過程.但認(rèn)知過程中還包含一個(gè)重要的“操作階段”，那就是對(duì)知識(shí)的不斷運(yùn)用和不斷再認(rèn)識(shí)再提升的階段.所以“三象一作”過程才是一種較完整的認(rèn)知過程.

3 “三象一作”認(rèn)知過程的進(jìn)一步說明

以上只是按照科學(xué)反映論觀點(diǎn)簡要地解釋了“三象一作”過程的含義.現(xiàn)代人使用計(jì)算機(jī)工具還可以有目的地去匯集和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象，為完成認(rèn)知過程做準(zhǔn)備.例如，研究“實(shí)驗(yàn)數(shù)論”的學(xué)者，就是有意識(shí)地利用計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)手段去羅致數(shù)學(xué)現(xiàn)象的.第二階段就是依靠頭腦的想象和默思去形成數(shù)學(xué)心象.這種心象就是數(shù)學(xué)現(xiàn)象在人腦中形成的映像，其間存在著“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，但這種映像往往是變動(dòng)不定的，有時(shí)還是十分模糊的.第三階段就是通過諸多心象的變動(dòng)、累積、歸納和綜合，使得具有提取“共性”本能的人腦形成數(shù)學(xué)概念.這樣就達(dá)到了認(rèn)知的“抽象階段”.到了這一階段，人腦還能很自然地按照事物關(guān)系的“對(duì)應(yīng)原理”創(chuàng)制出表征數(shù)學(xué)概念實(shí)體的數(shù)學(xué)符號(hào)以及符號(hào)邏輯語法的數(shù)學(xué)名詞及專用語言.最后，第四階段就是在合乎邏輯法則的條件上操作運(yùn)用抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法（包括數(shù)學(xué)符號(hào)及語言的運(yùn)用）去處理數(shù)學(xué)問題并進(jìn)一步去發(fā)展數(shù)學(xué)理論知識(shí).

4 “三象一作”認(rèn)知過程在數(shù)學(xué)教育上的意義

在數(shù)學(xué)教育上主要有如下3點(diǎn)意義.

（1）強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的本源是具有客觀性的“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”，這樣就有利于使那些接受現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的青年學(xué)子，不容易受到種種唯心論思想的誘惑.

（2）對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)者而言，如能懂得或遵循“三象一作”認(rèn)知過程，就能理解數(shù)學(xué)科學(xué)中的抽象知識(shí)與普遍方法的來源，實(shí)際是以數(shù)學(xué)現(xiàn)象為基礎(chǔ)的.這就能啟發(fā)學(xué)習(xí)者懂得創(chuàng)造知識(shí)的途徑，就是要重視數(shù)學(xué)現(xiàn)象的匯集、整理和分析，從而就能樂于去處理生活中以及應(yīng)用學(xué)科中出現(xiàn)的眾多數(shù)學(xué)題材并研究實(shí)際應(yīng)用問題.

（3）從教學(xué)過程來看，教師的重要職責(zé)，就是要有意識(shí)地設(shè)計(jì)一種學(xué)習(xí)情景，能促使學(xué)習(xí)者有興趣地去發(fā)掘數(shù)學(xué)現(xiàn)象，主動(dòng)觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象，并能從中形成可以作為抽象背景的種種數(shù)學(xué)心象，最后還要鼓勵(lì)學(xué)習(xí)者能從抽象過渡到操作階段.

當(dāng)然，從心象、抽象到數(shù)學(xué)操作，這其間有許多事情要做，按照知識(shí)“建構(gòu)主義者”的觀點(diǎn)，整個(gè)過程是要依靠學(xué)習(xí)者本身的自覺主動(dòng)性來進(jìn)行的.杰出的教師應(yīng)是良好的指導(dǎo)者和顧問，也是討論問題的主要設(shè)計(jì)者和參與者.

5 幾個(gè)典型例子

很明顯，中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的許多題材內(nèi)容，都是和廣泛而豐富的“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”相關(guān)聯(lián)的，但是這里并不贊成把生活中的煩瑣實(shí)例作為數(shù)學(xué)應(yīng)用例子，寫進(jìn)教材中去.因?yàn)檫@會(huì)損傷學(xué)習(xí)者的興趣，并不利于學(xué)習(xí)者按“三象一作”的認(rèn)知過程學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)技藝.只有那些富于啟發(fā)性的，或能引發(fā)好奇心的，或具有歷史興趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象題材，才有助于培育青少年的數(shù)學(xué)智能，從而才能考慮選入教材中去.

為了讓初中學(xué)生也能理解“三象一作”的認(rèn)知過程，不妨選擇3個(gè)最簡單而熟知的例子.一個(gè)是從商高的“勾股定理”說起，另外就是對(duì)歐拉（L.Euler）解答七橋問題的重新回顧和關(guān)于質(zhì)數(shù)（“素?cái)?shù)”——prime numbers）無窮多的論證過程.

（1）中國《周髀算經(jīng)》上提到“商高答周公問”的故事，說到“勾三股四弦五”的數(shù)學(xué)現(xiàn)象（圖1）.直角三角形之高稱為“勾”，底邊稱為“股”，斜邊為“弦”.

后人可能會(huì)問：已知勾為3、股為4，為什么弦長一定是5？為了從理性上肯定這一現(xiàn)象，當(dāng)然是需要證明的.研究者相信，商高一定是從觀察中看到了這一現(xiàn)象的，很可能他已察知下述特殊事實(shí)（圖2）.

圖1 勾股定理圖示（一）

圖2 勾股定理圖示（二）

假設(shè)勾為3 m、股為4 m，則直角三角形之面積為6 m2.將這樣4個(gè)三角形可拼合成如圖2的正方形，易見中央的小正方形的面積為(4-3)2=12=1 m2.于是可知大正方形為4×6+1=25 m2，其邊長（弦）當(dāng)然是=5 m了.

紙上畫出的如上圖形，實(shí)際上已成為心目中的“幾何現(xiàn)象”.而在幾何圖形中，線段有長度而無粗細(xì)，所以面積的計(jì)算是絕對(duì)精確的，這里已包含初步的數(shù)學(xué)抽象.事實(shí)上，古代歐幾里得創(chuàng)著“幾何原本”時(shí)已完成了這些數(shù)學(xué)上的初步抽象，事實(shí)上可將4個(gè)同樣的直角三角形拼合成大正方形，從而可證明一般形式的“勾股定理”，又稱畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）定理，這一技巧已被中國三國時(shí)期的學(xué)者趙爽所創(chuàng)用[6].

數(shù)學(xué)抽象的重要方式之一就是由特殊形式推廣到一般（普遍）形式，很自然，按照趙爽的作法，可將4個(gè)同樣的一般形式的直角三角形拼合成圖3.

假設(shè)直角三角形的勾、股、弦長度分別為a，b，c，不妨說b>a.從圖3易見小正方形面積為(b-a)2，而4個(gè)三角形的面積之和為2ab.因此總的面積為c2=(b-a)2+2ab=a2+b2.

這就是一般形式的勾股定理.它表示為3個(gè)線段長度數(shù)量間的關(guān)系，數(shù)學(xué)史上又稱它為“數(shù)的勾股定理”，它比“形的勾股定理”（即以勾與股為邊的兩個(gè)正方形等于弦為邊的大正方形面積的命題）在意義上更為寬廣.

圖3 勾股定理圖示（三）

在數(shù)量乘法操作上，有mc2=ma2+mb2(m>0)，于是“形的勾股定理”就不必再局限于正方形面積間的關(guān)系了.例如可以有圖4和圖5的變形：

圖4 勾股定理變形（一）

圖5 勾股定理變形（二）

在這些圖形面積關(guān)系中，正方形已換成正三角形與半圓，當(dāng)然它們間仍保持有“兩個(gè)小圖形面積之和等于大圖形面積”的數(shù)量關(guān)系.

上述例子說明，從特別的具體例子所顯示的數(shù)學(xué)現(xiàn)象出發(fā)，經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)關(guān)系，再經(jīng)過抽象（推廣）獲得普遍定理，從而由操作還可得出一些異于原先命題陳述形式的新推論.

（2）在數(shù)學(xué)文獻(xiàn)或刊物上常被引用的另一例子是18世紀(jì)出現(xiàn)在歐洲普魯士哥尼斯堡（Koenigsberg）的一個(gè)故事，那就是關(guān)于“七橋問題”的故事.已有些科普文章討論了這一數(shù)學(xué)歷史故事在數(shù)學(xué)文化教育上的意義.但在這里研究者卻要將它作為“三象一作”認(rèn)識(shí)過程的一個(gè)例子來討論.

據(jù)史料記載，1735年旅居俄羅斯圣彼得堡（St.Petersberg）的數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler）曾接到哥尼斯堡大學(xué)的學(xué)生寫給他的一封信，要求解答“一次走過7座橋的事情”總是辦不到的原因.

7座橋如圖6所示.

圖6 哥尼斯堡七橋示意

這是涉及線路拓樸的圖論問題，所以是一個(gè)屬于數(shù)學(xué)現(xiàn)象方面的問題.當(dāng)年哥尼斯堡大學(xué)的學(xué)生們雖未能解決這一問題，卻知道求教于數(shù)學(xué)家，這說明他們還是高明的[7].

果然，歐拉通過抽象和操作，解決了這一問題，將“不可能性”的數(shù)學(xué)證明回信作答，使大學(xué)生們非常滿意.

面對(duì)上述數(shù)學(xué)現(xiàn)象問題，可以想到歐拉采取的一個(gè)重要步驟，就是設(shè)法將該問題，基于“對(duì)應(yīng)原則”，抽象成為一個(gè)“數(shù)學(xué)模型”問題.

不愧為杰出的數(shù)學(xué)家，歐拉立即將“橋”抽象成為“線”，將通過的地點(diǎn)“島”及“半島”及“兩岸”抽象成為“點(diǎn)”，于是一次走過7橋的問題便對(duì)應(yīng)地成為一筆畫，如圖7的問題.

圖7 哥尼斯堡七橋問題抽象轉(zhuǎn)化示意圖

只須證明上述圖形不能一筆畫出來，就能解決“七橋問題”，接下來的數(shù)學(xué)操作就是分析一筆畫的特征.凡一筆畫中通過的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，一進(jìn)一走，總是通過偶數(shù)條線，故可簡稱之為“偶點(diǎn)”，只有畫中的起點(diǎn)和終點(diǎn)可能是“奇點(diǎn)”，即通過奇數(shù)條線的點(diǎn)，而當(dāng)起點(diǎn)終點(diǎn)重合時(shí)，就變成了封閉圖形，那就不存在奇點(diǎn)了.

所以一筆畫的特征（必要與充分條件）就是至多只可能有兩個(gè)奇點(diǎn).可是圖7中的4個(gè)點(diǎn)都是奇點(diǎn)，并不符合一筆畫的充要條件，因此答案只能是“不可能”.

顯然上述解題過程，也是符合“三象一作”的過程的.在這個(gè)過程中，抽象與操作（包括推理分析）顯然是最主要的步驟.

（3）中學(xué)生都知道質(zhì)數(shù)（primes）有：2，3，5，7，11，13，17，23，29，31，……古代歐幾里得（Euclid）曾在《幾何原本》中證明了一條定理，說“質(zhì)數(shù)有無窮多”.

相信每一個(gè)中學(xué)生，都會(huì)連續(xù)不斷地寫出一系列質(zhì)數(shù)來，通過計(jì)算實(shí)踐，會(huì)直觀地猜想到“質(zhì)數(shù)應(yīng)有無窮多”.

質(zhì)數(shù)從小到大會(huì)繼續(xù)地出現(xiàn)的這種現(xiàn)象，就成為人們心目中的心象，心象導(dǎo)致猜想.于是人類心智的理性要求本能，就會(huì)促使人們?nèi)で蟆安孪胧聦?shí)必然成立”的證明方法.這就進(jìn)入了“抽象”和“操作”階段.歐幾里得的認(rèn)識(shí)過程完成了這兩個(gè)階段，才證明了“質(zhì)數(shù)無窮多”定理.

首先，歐幾里得認(rèn)識(shí)到“無窮”是個(gè)抽象概念，質(zhì)數(shù)無窮多的抽象表述為：在由小到大排列的任意n個(gè)質(zhì)數(shù)2=P1，P2，P3，…，Pn，之后，一定總是存在更大的質(zhì)數(shù)P>Pn.（因?yàn)閚為任意，這就表明了質(zhì)數(shù)確有無窮多的意思）

最后一步是“操作”：即通過邏輯推理去證明P（>Pn）的存在性，歐幾里得構(gòu)造了下列自然數(shù)：P1P2P3…Pn+1=m.

這里的m是個(gè)有限正整數(shù)，用P1，P2，P3，…，Pn去除m時(shí)都得余數(shù)1，因此，要么m本身是質(zhì)數(shù)，當(dāng)然它就大于Pn；要么m不是質(zhì)數(shù)，它就會(huì)有質(zhì)數(shù)因子P＞Pn.不論如何，這就證明了必有大于Pn的質(zhì)數(shù)存在.因此定理獲證.

關(guān)于“質(zhì)數(shù)有無窮多”的客觀現(xiàn)象，歐幾里得使用數(shù)學(xué)推理方法證明了它，也就是從理性上徹底認(rèn)識(shí)了這種現(xiàn)象的客觀真實(shí)性，而表述這一客觀現(xiàn)象的數(shù)學(xué)定理，就是“三象一作”的認(rèn)知過程的產(chǎn)物.學(xué)生們通過這樣的認(rèn)知過程，也就完成了知識(shí)在頭腦中的構(gòu)建.

無論是在初等數(shù)學(xué)或是高等數(shù)學(xué)中，都有許多很有趣味的屬于現(xiàn)實(shí)性的數(shù)學(xué)現(xiàn)象方面的疑難問題，是通過抽象和操作（包括分析、推理及論證）兩大步驟獲得解決的.抽象的重要作用就是提取數(shù)學(xué)現(xiàn)象中的關(guān)鍵本質(zhì)，使之成為簡化了的純粹的數(shù)學(xué)模型問題，然后再通過分析推理或計(jì)算（甚至包括計(jì)算機(jī)的使用）去解決問題.

6 把“三象一作”用于中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

由于許多數(shù)學(xué)教材，編入較多形式化的題材，并注重形式化操作性的訓(xùn)練，以致使不少青少年懼怕數(shù)學(xué)或厭煩數(shù)學(xué).這其間的一個(gè)關(guān)鍵問題，就是忽視了數(shù)學(xué)現(xiàn)象與現(xiàn)象中出現(xiàn)的疑奇問題.遺忘了數(shù)學(xué)的本源——數(shù)學(xué)現(xiàn)象，學(xué)習(xí)者只是和抽象的形式化符號(hào)打交道，或只是背誦凝固化的數(shù)學(xué)語言，自然就會(huì)感到索然無味了.希望“三象一作”的認(rèn)知方法引入數(shù)學(xué)教學(xué)后能有助于改變這些現(xiàn)象.

事實(shí)上數(shù)學(xué)現(xiàn)象是數(shù)學(xué)形式化題材的生命之源，也是數(shù)學(xué)生動(dòng)直觀心象的客觀背景，學(xué)習(xí)者在使用數(shù)學(xué)符號(hào)作形式化推演之前，如果在頭腦中已有了一系列直觀心象，就會(huì)感到推理演繹是很自然的，是有興味的，而并非是空洞無物的無意義的符號(hào)游戲.

兒童和青少年來到蕓蕓眾生的世界后，對(duì)大千世界里的種種帶有奇妙結(jié)構(gòu)的客觀現(xiàn)象，都會(huì)有情不自禁的好奇性.數(shù)學(xué)現(xiàn)象里就有許多美好的事物，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有意識(shí)地啟示、鼓勵(lì)，或促使學(xué)習(xí)者面對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象、觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象，讓數(shù)學(xué)現(xiàn)象成為心目中生動(dòng)的心象.再讓學(xué)習(xí)者學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)中常用的抽象方法，則學(xué)習(xí)者肯定就會(huì)愛好數(shù)學(xué)，如此繼續(xù)努力下去甚至可能成為善于使用數(shù)學(xué)或創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)的人才.

當(dāng)然，就大眾化數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)而言，提倡“三象一作”的認(rèn)知數(shù)學(xué)，決不是要求學(xué)習(xí)者都能成為數(shù)學(xué)專才，這是不必要的，也是不可能的.而合理的要求是希望學(xué)習(xí)者按“三象一作”的認(rèn)知方法，學(xué)完中學(xué)數(shù)學(xué)后，至少能理解數(shù)學(xué)是研究客觀現(xiàn)象規(guī)律的科學(xué)，這些現(xiàn)象及其規(guī)律是在大自然界、人世間處處存在且需要理性地對(duì)待和處理的.所以體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的功能之一，就是要讓學(xué)習(xí)者能獲得“理性精神”的熏陶.再者，通過一定層次上的教學(xué)“三象一作”的認(rèn)識(shí)過程，使學(xué)習(xí)者至少能體會(huì)到科學(xué)的認(rèn)知方法和知識(shí)的創(chuàng)新方法.這也是數(shù)學(xué)教育應(yīng)產(chǎn)生的另一功能[8].

[1]謝明初，朱新明.認(rèn)知心理學(xué)視角下的數(shù)學(xué)教育[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007，16（1）：12-16.

[2]張洪魏.關(guān)于學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知理解的思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006，15（4）：14-16.

[3]涂榮豹.數(shù)學(xué)教學(xué)認(rèn)識(shí)論[M].南京：南京師范大學(xué)出版社，2003.

[4]徐利治，王前.數(shù)學(xué)與思維[M].長沙：湖南教育出版社，1990.

[5]皮亞杰.發(fā)生認(rèn)識(shí)論原理[M].王憲鈿譯.北京：商務(wù)印書館，1995.

[6]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].北京：高等教育出版社，2005.

[7]徐利治.數(shù)學(xué)美學(xué)與文學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006，15（2）：5-8.

[8]林崇德.學(xué)習(xí)與發(fā)展——中小學(xué)生心理能力發(fā)展與培養(yǎng)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1999.