高雪芬，鮑建生

（1.浙江理工大學(xué) 數(shù)學(xué)系，浙江 杭州 310018；2.華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海 200241）

1 問題提出

歷史上，微分是一個非常重要的概念，微分學(xué)有兩類基本問題：變化率問題與增量問題.為了研究前者，引進(jìn)了導(dǎo)數(shù)概念；為了研究后者，引入了微分概念.而當(dāng)前高等數(shù)學(xué)教材[1]中一般是先講導(dǎo)數(shù)，再講微分，并且微分所占的篇幅較少，所以學(xué)生常常認(rèn)為只要掌握好導(dǎo)數(shù)的概念和算法，就可以進(jìn)行微分的運(yùn)算，從而忽視了微分概念的學(xué)習(xí).如果學(xué)生對微分概念沒有理解，也就無法對導(dǎo)數(shù)、積分等重要概念及其間的關(guān)系有深入的認(rèn)識，更無法掌握微積分思想的精髓.

近年來，各國出現(xiàn)了一些與微積分概念有關(guān)的研究.如以色列的Ivy Kidron[2]和西班牙的Joaquim Barbé[3]等人對“極限”概念理解的討論，英國的Erhan Bingolbali[4]、美國的Ed Dubinsky[5]對導(dǎo)數(shù)概念理解的研究等.研究表明，很多學(xué)生對連續(xù)性、可導(dǎo)性、二階導(dǎo)數(shù)等缺乏正確的理解[6].一些學(xué)生對極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)的概念意象是片面的、沖突的、甚至是缺乏的，不理解它們兩兩之間的聯(lián)系[7].微分尤其是全微分的概念較為抽象，學(xué)生往往理解不透[8].縱觀現(xiàn)有文獻(xiàn)，主要有以下特征及問題：對極限和導(dǎo)數(shù)的研究居多，對微分的研究很少；對一元微積分的研究居多，對多元的很少；對于學(xué)生的學(xué)習(xí)困難以經(jīng)驗(yàn)型的描述居多（如文[8]）而科學(xué)系統(tǒng)地分析的較少；鮮有文獻(xiàn)論及大學(xué)生對全微分及偏導(dǎo)數(shù)系列概念的理解情況.故而，研究者以微分概念為核心對學(xué)生進(jìn)行了測試與訪談，研究了大學(xué)生對微分概念的理解情況，并分析了關(guān)于微分的概念誤解及學(xué)生的認(rèn)知方式，指出學(xué)生對概念的理解和其認(rèn)知方式的關(guān)系，提出了相應(yīng)的教學(xué)建議.

2 研究方法

2.1 研究對象

主要采用目的抽樣選取研究參與者.在綜合考慮了學(xué)生的專業(yè)、任課教師、學(xué)習(xí)成績后，選取了浙江省一所綜合性大學(xué)5個專業(yè)的10名大一學(xué)生作為研究對象，分別簡記為S1，S2，……，S10（如表1）.表1中的成績指的是大一上學(xué)期的期中與期末的高等數(shù)學(xué)成績平均分.

表1 學(xué)生情況簡表

2.2 研究過程

采用質(zhì)的研究方法，通過測試和訪談的途徑來進(jìn)行，主要包括5個問題，除微分外，還涉及到與微分有關(guān)的概念，如偏導(dǎo)數(shù)、切平面等.所有訪談均被錄音并隨后實(shí)錄成文本以備分析.

3 研究結(jié)果

3.1 關(guān)于微分的計算

第1題：設(shè)函數(shù)z=esinx?2y，求dz.

10名同學(xué)都是按照公式dz=dx+dy來求dz.除了S9求得2esinx?2y而出錯外，其余9位同學(xué)全部解對.

第2題：求球面x2+y2+z2=14在點(diǎn)（1, 2, 3）處的切平面方程.

10個同學(xué)全部通過求偏導(dǎo)數(shù)的方法，給出了正確的方程.

3.2 關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)

第3題：什么是偏導(dǎo)數(shù)？

學(xué)生的回答見表2.

表2 大學(xué)生給出的偏導(dǎo)數(shù)概念

學(xué)生的答案中最多的實(shí)際上是偏導(dǎo)數(shù)的求法，如S9：“某一個函數(shù)有3個自變量x、y、z，如果對x求偏導(dǎo)的話，那么可以把y和z看作常量，然后對x求導(dǎo)數(shù).”一些答案并不嚴(yán)格，如S1：“保持一個變量不變來求另一個變量對函數(shù)的導(dǎo)數(shù).”但是，可以看出這些學(xué)生對偏導(dǎo)數(shù)的求法記憶深刻.

兩位同學(xué)提到了符號化的定義.S8給出了非常準(zhǔn)確的定義；S3給出了增量的比值形式，但是沒有極限過程.S5指出“對立體作平行于xoy面或yoz面或xoz面的切面，偏導(dǎo)數(shù)即表示該切面與立體的交線的切線斜率”，并畫出了示意圖.只有S7提到了速率：“偏導(dǎo)數(shù)是（函數(shù)）沿x軸、y軸方向的增加速率.”S10提到：“當(dāng)一個變量經(jīng)過微小變化時，因變量的變化與自變量變化的商.”

3.3 關(guān)于全微分

第4題：請用盡可能多的方式給出全微分的定義，并解釋你所給出的定義（如果你覺得有困難可以通過一元函數(shù)微分的幾何意義來解釋），答案見表3.

表3 大學(xué)生給出的全微分概念

盡管此題明確要求學(xué)生給出全微分的定義，但還是有學(xué)生用全微分的求法即dz=dx+dy來代替全微分的定 義，學(xué)生關(guān)注的更多的是如何求，而不是全微分的含義.事實(shí)上，只有在函數(shù)可微的前提下dz=dx+dy才表示z的全微分.

沒有同學(xué)能夠借助圖形或用語言來描述二元函數(shù)全微分的幾何意義，只有S2、S7、S10正確地指出一元函數(shù)微分的幾何意義，并畫出示意圖；S5試圖在點(diǎn)(x+Δx)畫切線來表示函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的微分；S3用f(x)在點(diǎn)x與(x+Δx)點(diǎn)的兩條切線的增量差來表示微分.S9、S4想用教材中的y=x2增量的例子來說明微分的概念，但是他們不能指出究竟是哪一塊面積代表的是函數(shù)的微分.S2沒有給出全微分的定義.但是對于一元函數(shù)給出了一元微分的表達(dá)式dy=f'(x)dx，并畫出了正確的示意圖.S8沒有給出全微分的定義，而是給出了一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義，并將一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分混淆.

第5題：請以概念圖的形式盡可能多地寫出與全微分有關(guān)的概念，并畫出概念間的關(guān)系.

給出4個概念的有S2、S3、S6、S8、S9.S9給出了一元函數(shù)可導(dǎo)、可微、連續(xù)、極限存在之間的關(guān)系；S3在概念圖旁用公式寫出了一元、三元函數(shù)的微分求法、復(fù)合函數(shù)微分法則、二階混合偏導(dǎo)數(shù)交換順序的條件、二元函數(shù)極值點(diǎn)的判定規(guī)則，她記住了很多規(guī)則，而不是概念.S5給出了“極限、偏導(dǎo)、連續(xù)性、方向?qū)?shù)、梯度、偏微分、格林公式、高斯公式、與路徑無關(guān)”；S1給出了“非線性問題的解決、不規(guī)則曲面的面積、微分中值定理、全增量、可微、可導(dǎo)、可偏導(dǎo)、復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法則”；S10的概念圖最為豐富，共有15個概念，包括曲線的光滑性、凹凸性等.

4 關(guān)于學(xué)生概念認(rèn)知類型的個案分析

Keith Weber[9]等人曾對學(xué)生的概念認(rèn)知方式進(jìn)行了研究，他們將學(xué)生的認(rèn)知類型分為3類：

自然型：學(xué)生能對數(shù)學(xué)概念給予一個直觀的描述，并且能由直觀的描述導(dǎo)向形式化的思維，例如借助直觀的描述來回憶、給出概念或進(jìn)行證明.

形式化型：學(xué)生很少會直觀想象他所使用的概念，也不會借助直觀來推理，不過他能從邏輯的角度判斷自己的證明是否正確.

程序型：學(xué)生通過記住解題程序來學(xué)習(xí)，當(dāng)被問及為什么這樣做時，他們無法給出準(zhǔn)確的解釋.

從研究結(jié)果來看，學(xué)生對概念的描述至少有4種，分別是幾何意義、形式化的定義、解題程序和語言描述.因此，除了上述3種概念認(rèn)知類型外，還有一種語義型.

語義型：學(xué)生不是借助直觀圖形，亦非記住形式化的定義，而是將形式化的定義轉(zhuǎn)換為一種自然的語言來進(jìn)行描述，從而將概念內(nèi)化.

下文結(jié)合訪談情況對學(xué)生的認(rèn)知類型進(jìn)行分析.

（1）自然型：S5，S10.

S5喜歡借助圖形來表示偏導(dǎo)數(shù)和微分的概念，在思考問題時她喜歡畫一些幾何圖形.她說：“我不太懂抽象的關(guān)系.對概念一般都要先具象化，只有畫出來才能想象.這可能與我的專業(yè)有關(guān)，因?yàn)闄C(jī)械制圖都要畫出來.”

S10對數(shù)學(xué)概念有比較深入和廣泛的理解，在微分的概念圖中他給出的概念最多，并能用語言準(zhǔn)確地描述這些概念間的關(guān)系，能發(fā)現(xiàn)諸如“微分是泰勒公式的一階形式”這樣的關(guān)系.S10說他常常通過畫圖首先理解定義的幾何意義，然后理解概念的形式化的定義.當(dāng)理解、記住了形式化定義后，就不用借助畫圖來回想定義了.他喜歡在學(xué)習(xí)中思考概念間的聯(lián)系.

（2）形式化型.

在本研究中，學(xué)生多借助于幾何直觀及運(yùn)算程序來理解概念，而沒有單純依靠形式推理的情況，所以研究中沒有發(fā)現(xiàn)形式化型的學(xué)生.

（3）程序型：S1、S3、S4、S8、S9.

研究中，通過“記住解題程序來學(xué)習(xí)”的學(xué)生最多，他們的共同點(diǎn)是記住了很多公式和結(jié)論，卻并不一定理解.對S9的訪談共進(jìn)行了70分鐘.對于概念性的問題，他經(jīng)常長時間地沉默思考.他更喜歡用解題方法來代替定義，而非定義本身.在訪談中，他反復(fù)要求研究者給他具體的題做，而不是回答概念，他說對于概念他只是“看一下”，主要看公式和例題.他認(rèn)為畫圖的問題尤其是有關(guān)空間圖形的問題比較難理解.

S8在回答全微分的定義時，他首先認(rèn)為微分就是導(dǎo)數(shù)，接下來他描述微分過程時，又無法指出是對哪個量的微分；他記住了積分與微分關(guān)系的口訣，卻無法理解二者是互逆的運(yùn)算.以下為訪談片段，T表示訪談老師.

片段1：

（S8寫了一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義來表示微分的定義.）

S8：導(dǎo)數(shù)和微分不一樣？

T：你認(rèn)為導(dǎo)數(shù)和微分是一樣的？

S8：哦，差一點(diǎn)點(diǎn).

T：差什么？

S8：我說的是導(dǎo)數(shù)，微分應(yīng)該是導(dǎo)數(shù)乘以dx.

片段2：

T：全微分是怎樣定義的，它有什么含義？

S8：這個不會.

而在《十日談》中，薄伽丘正是在很多時候擺脫了這種二元對立[11]的簡單結(jié)構(gòu)，如第七天故事的主題為“妻子捉弄丈夫的故事”，而第八天的故事主題為“互相捉弄的故事”。這二十個故事足足占了整部作品五分之一的筆墨。仔細(xì)品味作家的語言，會發(fā)現(xiàn)薄伽丘筆下的那些捉弄丈夫的妻子，并非“魔鬼”，她們的結(jié)局也不都是悲慘的。相反，她們中有人憑借智慧得到了自己想要的東西，有人沉湎于婚外情中，卻無法引起讀者的憤恨，有人為自己的蠢笨付出代價，卻只是為了博讀者一笑。作品中，更多的女性像男性一樣享受肉欲滿足所帶來的快感。可以說，薄伽丘并沒有以一種勝利者的姿態(tài)對女性抱有同情的態(tài)度，在很多時候，他筆下的女性與男性并無差別。

T：全微分的幾何意義是什么？如果你覺得很難解釋的話，你可以用一元函數(shù)來說明.

S8：是不是就是把它分成n個，然后每個看成矩形，這個就是微分吧.（注：S8畫了一個曲邊梯形，然后分割，取了其中的一個小矩形.）

T：那這一塊面積是對哪個函數(shù)的微分？

S8：是對曲線f(x)的微分.

（顯然，S8回答錯了，小矩形的面積應(yīng)是面積函數(shù)F(x)的微分.）

片段3：

T：你認(rèn)為在高等數(shù)學(xué)中引入全微分的概念有什么意義？

S8：引入全微分是積分的關(guān)鍵.

T：為什么？

S8：我現(xiàn)在還不明白積分和微分有什么不同.

T：沒有學(xué)過嗎？

S8：對，老師講過，這兩個有區(qū)別，一個有個常數(shù)，一個少了個常數(shù).

T：先積后微和先微后積？

S8：對，先積后微形式不變，先微后積差個常數(shù).我就知道這個.

T：那微分運(yùn)算和積分運(yùn)算是什么關(guān)系呢？

S8：不知道.

（4）語義型：S7.

S7喜歡用描述的語言接近概念的本質(zhì)，對概念有大體的了解，但有時不夠準(zhǔn)確：“全微分是函數(shù)在定義域內(nèi)各個方向上的微分之和”；“偏導(dǎo)數(shù)就是沿一個方向的導(dǎo)數(shù)，如沿x、y、z軸方向的方向?qū)?shù)”；偏導(dǎo)數(shù)就是“像速度一樣的量”；“微分就是很小的變化量，導(dǎo)數(shù)就是變化速率”.數(shù)列的極限是“不管ε怎么小，都可以找出一個界點(diǎn)，在那個界點(diǎn)之后的數(shù)的差值都在那個范圍之內(nèi)”.

5 結(jié)論與建議

（1）學(xué)生對微分概念存在很多誤解，建議加強(qiáng)概念尤其是核心概念的教學(xué).

從研究結(jié)果來看，雖然9位同學(xué)都能計算具體函數(shù)的全微分，卻只有兩位同學(xué)能夠給出全微分的形式化的定義；10位同學(xué)都能準(zhǔn)確地計算出給定函數(shù)在一點(diǎn)的切平面，卻沒有同學(xué)能夠通過圖形或用語言來描述二元函數(shù)全微分的幾何意義.一些同學(xué)知道微分的幾何意義和切線有關(guān)，但是卻不知究竟是哪條切線、切線上的哪個量表示微分，更不知用一次函數(shù)來近似代替f(x)的意義.在畫微分概念圖時，學(xué)生只能想出幾個基本的概念卻無法給出概念間的廣泛的、準(zhǔn)確的聯(lián)系，一些同學(xué)只是像背口訣一樣背出一元函數(shù)可導(dǎo)、可微、連續(xù)的關(guān)系，卻無法解釋為什么對于多元函數(shù)來說偏導(dǎo)數(shù)存在卻不一定可微.建議在教學(xué)中，除了教授具體的計算方法之外，應(yīng)加強(qiáng)概念，尤其是核心概念的教學(xué)，強(qiáng)調(diào)概念理解，從本質(zhì)上揭示核心概念間的聯(lián)系，這樣才有助于學(xué)生形成關(guān)系性[10]概念理解的高質(zhì)量圖示，而非僅僅記住如“可導(dǎo)必連續(xù)”這樣的命題，停留在工具性理解[10]的表面.研究表明[11]，對于數(shù)學(xué)專業(yè)和理工科的學(xué)生來說，在教學(xué)中加強(qiáng)概念理解，不僅不會削弱學(xué)生的解題能力，而且還會在加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識的同時，提高其解題能力.

（2）學(xué)生具有多種概念認(rèn)知模式，建議以多種表征進(jìn)行概念教學(xué).

從研究結(jié)果來看，學(xué)生具有多種概念認(rèn)知模式，有的喜歡將形式化的定義用圖像表示來幫助理解，有的喜歡用自然的語言而非數(shù)學(xué)的語言來描述.學(xué)生的認(rèn)知類型，雖然不是一成不變的，會隨著所學(xué)內(nèi)容的不同而轉(zhuǎn)化，但每個學(xué)生都會有一定的認(rèn)知偏好.Ramond Duval[12]認(rèn)為，從認(rèn)知角度來看，一個表征不足以完成數(shù)學(xué)教學(xué)過程.在數(shù)學(xué)活動中，多種表征同時發(fā)揮作用，對數(shù)學(xué)的理解起源于不同類型表征的配合與協(xié)調(diào)過程，而數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)也是培養(yǎng)學(xué)生在不同表征間進(jìn)行轉(zhuǎn)化的能力.所以在微積分概念教學(xué)中，應(yīng)注意加強(qiáng)概念的幾何意義的教學(xué)，并多用自然的解釋性的語言而非抽象的語言來闡述.這一點(diǎn)上，美國的一些做法值得借鑒.20世紀(jì)80年代末期興起的微積分教學(xué)改革中提出了3原則，認(rèn)為微積分的3個側(cè)面：圖像、數(shù)值和符號應(yīng)貫穿始終，學(xué)生應(yīng)在充分展現(xiàn)這3種形式的環(huán)境里體驗(yàn)微積分的概念[13].這些原則在一些美國教材[14]中得到了很好的體現(xiàn).而目前我國的教學(xué)中還是比較注重形式化與程序化的知識，對概念的圖像和數(shù)值的表征方式重視不夠，這不利于學(xué)生的微積分學(xué)習(xí).

（3）計算題難以對學(xué)生進(jìn)行全面考核，建議改進(jìn)考核方式.

本研究中，雖然不乏如S5、S10這樣概念理解水平高、考試成績也好的學(xué)生，但是也存在一些考試悖論：S8、S9的對微分概念存在誤解，但是由于他們記住了一些具體的算法，考試成績都在90分左右；S7的考試成績?yōu)?9分，他卻能用自己的語言（雖然不是完全正確）闡述微積分概念的內(nèi)涵.教學(xué)實(shí)踐表明，凡是學(xué)生能用自己的語言復(fù)述概念的定義和解釋概念所揭示的本質(zhì)屬性，那么他們對概念的理解就深刻[15]，也就能夠記憶得更持久，更容易遷移.建議在高等數(shù)學(xué)考試中增加一些考查學(xué)生對概念理解的題目，這樣可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)概念的積極性，從而加深對數(shù)學(xué)的理解，形成高水平的關(guān)系型概念圖示.

致謝：感謝浙江理工大學(xué)周遠(yuǎn)同學(xué)協(xié)助進(jìn)行了繁瑣的錄音實(shí)錄等工作！

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