付夕聯(lián)，張玉峰

（1.山東理工大學(xué) 理學(xué)院，山東 淄博 255049； 2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 徐州 221116）

1 問(wèn)題提出

以極限理論為建構(gòu)基礎(chǔ)的微積分是高等院校開(kāi)設(shè)的重要公共基礎(chǔ)課程之一，而極限概念的教學(xué)一直成為人們討論的焦點(diǎn).許多學(xué)者從不同角度分析了極限概念教學(xué)的困難，并給出了相應(yīng)的教學(xué)建議.文[1]從方法論的角度分析了極限的“ε?N”定義的形成過(guò)程，在此基礎(chǔ)上，借助于類(lèi)比方法推出了函數(shù)極限的“ε?M”和“ε?δ”定義.文[2]則從潛無(wú)限與實(shí)無(wú)限這對(duì)對(duì)立統(tǒng)一思想出發(fā)剖析了極限概念的實(shí)質(zhì)，并指出傳統(tǒng)教學(xué)過(guò)程中的三點(diǎn)失誤.文[3]又從認(rèn)知心理學(xué)的角度對(duì)極限概念學(xué)習(xí)的習(xí)得階段、變式運(yùn)用階段以及運(yùn)用和遷移階段的認(rèn)知障礙進(jìn)行了研究與分析.而文[4]則對(duì)學(xué)生在初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段接觸的無(wú)限的知識(shí)以及個(gè)體無(wú)限認(rèn)識(shí)層次做出了分析與調(diào)查研究.上述各種觀點(diǎn)對(duì)極限及其相關(guān)理論的教學(xué)具有一定的指導(dǎo)意義和參考價(jià)值.根據(jù)研究者多年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐及體會(huì)，特別是在數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)教育日益密切結(jié)合的今天，研究不應(yīng)單一地從某一側(cè)面對(duì)極限概念進(jìn)行分析，而應(yīng)以系統(tǒng)化的方法做出全面的分析.首先應(yīng)從歷史演變過(guò)程中加強(qiáng)對(duì)極限概念的整體認(rèn)識(shí).其次，要從極限概念的歷史發(fā)展形成的文化環(huán)境中理解極限概念.第三，從極限概念的抽象過(guò)程認(rèn)識(shí)其本身的規(guī)定性，即要從組成概念整體的要素的相互聯(lián)系中來(lái)把握它的整體結(jié)構(gòu)、功能和性質(zhì).也就是說(shuō)，按照系統(tǒng)論原則，要從極限概念的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和外部聯(lián)系，從它的存在和發(fā)展的來(lái)龍去脈以及全部真實(shí)關(guān)系的總和中加以認(rèn)識(shí).下文擬從歷史的角度分析柯西與外爾斯特拉斯給出的極限定義的特點(diǎn)；明確指出學(xué)習(xí)極限的“ε?δ”（或“ε?N”）定義的必要性；挖掘其中的文化要素，并指出其教學(xué)意義；在此基礎(chǔ)上給出極限精確化定義的教學(xué)策略.

2 柯西的極限定義

2.1 柯西極限定義產(chǎn)生的背景與過(guò)程

關(guān)于極限的樸素思想可以追溯到古希臘時(shí)代，它與古希臘時(shí)代的窮竭法有著思想上的聯(lián)系.17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茨利用實(shí)無(wú)窮小方法創(chuàng)立了微積分，隨著微積分在實(shí)踐中所獲得的巨大成功，實(shí)無(wú)窮觀點(diǎn)在這一時(shí)期占據(jù)了統(tǒng)治地位.但由于對(duì)無(wú)限思想（實(shí)無(wú)限和潛無(wú)限）認(rèn)識(shí)上的不足，在運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)了嚴(yán)重的邏輯矛盾，特別是1734年大主教貝克萊在《分析學(xué)者，或致一個(gè)不信教的數(shù)學(xué)家.其中審查現(xiàn)代分析的對(duì)象、原則與推斷是否比之宗教的神秘與信條，構(gòu)思更為清楚，或推理更為明顯》一文中提出了著名的貝克萊悖論，使這一矛盾更加激化，導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，使數(shù)學(xué)家不得不進(jìn)一步考慮微積分理論基礎(chǔ)的建構(gòu)問(wèn)題.

在探索微積分理論基礎(chǔ)的道路上，拉格朗日、羅依里埃、拉克魯瓦、達(dá)朗貝爾等數(shù)學(xué)家都付出了艱辛的勞動(dòng)，盡管沒(méi)有得到明確的結(jié)果，但潛無(wú)限思想已開(kāi)始取代實(shí)無(wú)限思想，并逐步進(jìn)入人們的思想.對(duì)微積分的重要概念首次作出比較系統(tǒng)而嚴(yán)格敘述的是捷克籍的意大利教士、哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家波爾查諾，波爾查諾第一次給出了一個(gè)精確的函數(shù)連續(xù)的定義，沿用至今，并給出了導(dǎo)數(shù)的定義.如果把拉格朗日等數(shù)學(xué)家的工作看成是極限理論的先驅(qū)的話(huà)，波爾查諾的工作則是向柯西極限理論的過(guò)渡.

潛無(wú)限完全取代實(shí)無(wú)限的工作是由法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西完成的.柯西于1823到1829年先后發(fā)表了3部關(guān)于分析學(xué)方面的著作《分析教程》、《無(wú)窮小計(jì)算教程概論》和《微分學(xué)計(jì)算教程》.這些著作是以嚴(yán)格化為其主要目標(biāo)的，成為向著數(shù)學(xué)分析全面嚴(yán)格化的第一步.在《無(wú)窮小計(jì)算教程概論》的前言中，柯西指出：“我所遵循的方法和其它同類(lèi)著作中闡述的方法在許多地方是不同的.我的主要目標(biāo)是想要利用直接考慮無(wú)窮小量而產(chǎn)生的簡(jiǎn)單性來(lái)達(dá)到嚴(yán)格化，而后者則是我在《分析教程》中為自己規(guī)定的信條.”[5]柯西在《分析教程》中，擺脫了與幾何圖形及幾何量的任何牽連，給出了極限的概念：“如果一個(gè)變量逐次所取得的值無(wú)限趨向于一個(gè)定值，最終使這個(gè)變量的值與該定值之差要多小就多小，那么該定值就稱(chēng)為所有其他值得極限.”

柯西以這一定義為基礎(chǔ)重新定義了使人們感到困惑的無(wú)窮?。骸叭绻粋€(gè)變量這樣無(wú)限地減小，使其收斂到零，那么我們就說(shuō)這個(gè)變量是無(wú)窮小.”從無(wú)窮小量出發(fā)，柯西重新定義了微積分中一系列重要概念.正是因?yàn)槿绱耍挛鞅徽J(rèn)為是微積分理論基礎(chǔ)的奠基人.

2.2 分析與啟示

從上述極限概念的歷史演變過(guò)程可以看出，極限概念是無(wú)窮小一般化的結(jié)果，即以函數(shù)有關(guān)無(wú)窮小運(yùn)算的實(shí)例為抽象原型，借助于“特性分離一般化原則”[6]抽象出來(lái)的.在《分析教程》中，柯西是把無(wú)窮小量作為極限的一種特殊情況引出來(lái)的，即無(wú)窮小是極限概念強(qiáng)抽象的結(jié)果.至于無(wú)窮小與極限這兩個(gè)概念之間的區(qū)別和聯(lián)系，柯西在給蒂美爾曼（Timmermans）著的《微積分》寫(xiě)的序言中有過(guò)這樣一段表述[7]：“人們所采用的講述無(wú)窮小計(jì)算（即微積分，calcul infintesimal）的方式是由蘭登（Landen）和達(dá)朗貝爾（d′Alembert）提出的，并且考慮了極限，這種方法從嚴(yán)格性和準(zhǔn)確性來(lái)說(shuō)，比完全缺乏這兩點(diǎn)的對(duì)手，即無(wú)窮小方法具有很大的優(yōu)越性，因?yàn)榍胺N方法只對(duì)有限數(shù)量應(yīng)用算術(shù)和代數(shù)的規(guī)則，從而可以掌握其要領(lǐng)；而后一種方法在考慮不能估計(jì)大小的數(shù)量時(shí)，卻毫無(wú)根據(jù)地認(rèn)為同樣的規(guī)則一定正確，從而與人們的感覺(jué)和理解相違背.因?yàn)槿藗儗で笾粡臉O限原理用系統(tǒng)的和統(tǒng)一的方式導(dǎo)出微積分計(jì)算的所有命題；但萊布尼茨的老方法在簡(jiǎn)要和簡(jiǎn)單方面具有太大的優(yōu)點(diǎn)，以至于人們不相信能夠不講到它，這就是為什么大部分的重要的證明都有雙重證明的原因.一個(gè)是為了說(shuō)服人，另一個(gè)是為了使人輕松點(diǎn)，并且加強(qiáng)記憶.當(dāng)化到極限沒(méi)有任何困難時(shí)，有時(shí)甚至于只用無(wú)窮小作出一個(gè)證明，讀者總可以通過(guò)思考，使它具有其他證明所采用的更嚴(yán)格的形式.”

盡管無(wú)窮小與人們當(dāng)時(shí)對(duì)無(wú)限的直觀理解有一定的差距，但由于無(wú)窮小具有明顯的簡(jiǎn)單性和直觀性，在微積分發(fā)展的初期，無(wú)窮小概念主宰著人們的思想.而到了柯西時(shí)代，無(wú)窮小與極限可以說(shuō)旗鼓相當(dāng)，不分優(yōu)劣，其應(yīng)用普遍存在.

現(xiàn)行教材中用動(dòng)態(tài)語(yǔ)言描述的極限的定義正是從柯西的極限定義演變而來(lái)的.但是“Cauchy在微積分學(xué)歷史上的地位，不是作為一個(gè)同舊傳統(tǒng)決裂，清除陳舊的和腐朽的基礎(chǔ)來(lái)給嶄新的和堅(jiān)固的基礎(chǔ)騰出地盤(pán)的人，倒有點(diǎn)像承前啟后的人物”[8].也許正是由于受到傳統(tǒng)觀念和思想的影響，在柯西的極限定義中有許多語(yǔ)言是極其模糊的，諸如“無(wú)限地趨近”，“要多小就多小”等這些動(dòng)態(tài)語(yǔ)言的表達(dá)必然引起人們對(duì)運(yùn)動(dòng)和量的生成的模糊直覺(jué)，使人們不免把柯西的極限定義與芝諾悖論聯(lián)系在一起，由此難以消除人們對(duì)無(wú)限理解上的困惑，無(wú)法把握極限概念的內(nèi)在結(jié)構(gòu).按照數(shù)學(xué)抽象的基本原則——模式建構(gòu)形式化原則，即“作為數(shù)學(xué)抽象物的量化模式在概念意義上就應(yīng)具有一定層次上的普遍性和概括性，在表述形式上則應(yīng)具有無(wú)歧義的邏輯精確性和簡(jiǎn)潔性.”[9]柯西的極限定義在內(nèi)容上已具有一定意義上的普遍性和概括性，但卻不具備表達(dá)形式上邏輯的精確性.而這正是特性分離一般化原則不可缺少的一個(gè)環(huán)節(jié)，即借助于明確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)分離出來(lái)的特性，從這種意義上來(lái)講，柯西只完成了弱抽象的第一步.第二步則是由德國(guó)數(shù)學(xué)家外爾斯特拉斯完成的.

3 外爾斯特拉斯的極限定義及其意義

3.1 外爾斯特拉斯的極限定義

外爾斯特拉斯攻擊“一個(gè)變量趨于一個(gè)極限”的說(shuō)法，他認(rèn)為這種說(shuō)法不幸地使人們想起時(shí)間和運(yùn)動(dòng).在他看來(lái)，要給出微積分一個(gè)嚴(yán)格的基礎(chǔ)，必須用靜態(tài)觀念給出極限的定義.

外爾斯特拉斯首先把變量x解釋成一個(gè)字母，該字母表示數(shù)集中的一個(gè)數(shù)，然后給出了連續(xù)變量x的靜態(tài)定義“如果對(duì)某數(shù)集中任意一個(gè)x0和一系列無(wú)論怎么小的δi(i=1,2,…,n)，在區(qū)間(x0?δi,x0+δi)內(nèi)總有該數(shù)集中另外的值，稱(chēng)x為該數(shù)集中的連續(xù)變量.函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)的定義是：如果對(duì)于任意的一個(gè)ε＞0，都存在一個(gè)δ＞0，對(duì)于區(qū)間(x0?δ,x0+δ)內(nèi)的所有x，不等式(x)?f＜ε恒成立，就說(shuō)f(x)在x=x0處連續(xù).在這一定義中用A代替f(x0)，A就是f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限.這就是現(xiàn)代極限理論中所使用的“ε?δ”定義.相應(yīng)地也可以得到數(shù)列的“ε?N”定義.

3.2 外爾斯特拉斯的極限定義的意義

首先，極限的“ε?δ”定義是在柯西極限定義的基礎(chǔ)上，利用靜態(tài)觀點(diǎn)進(jìn)一步抽象而得到的.極限概念的形式化定義不僅提供一種證明方法，而且成為分析統(tǒng)一化和一般化的必要工具.在數(shù)學(xué)史上繼歐幾里得之后體現(xiàn)數(shù)學(xué)嚴(yán)格化的又一光輝典范，從而打破在此之前單憑直觀、運(yùn)動(dòng)去研究某些變量問(wèn)題的傳統(tǒng)方法.其次，該定義的實(shí)質(zhì)在于把有關(guān)無(wú)限過(guò)程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限量之間的關(guān)系，消除了各種變量極限定義中的無(wú)窮小和無(wú)窮大的因素，從而回避了極限能否達(dá)到的問(wèn)題，體現(xiàn)出用有限方法處理無(wú)限問(wèn)題的重要思想，這與柯西的極限理論有著本質(zhì)的區(qū)別.柯西的理論建立在潛無(wú)限的基礎(chǔ)之上，潛無(wú)窮小概念是其體系的核心，柯西的概念完成了無(wú)窮小分析的發(fā)展階段；而外爾斯特拉斯的理論則以真正的無(wú)窮小為基礎(chǔ)，在外爾斯特拉斯的體系中，分析實(shí)質(zhì)上變成了一門(mén)集合論的學(xué)科.第三，由于“ε?δ”語(yǔ)言使用距離來(lái)刻畫(huà)自變量與函數(shù)及其所討論數(shù)值的趨近程度的，這種定義形式可以發(fā)展為鄰域語(yǔ)言或拓?fù)湔Z(yǔ)言，當(dāng)它推廣為鄰域語(yǔ)言之后，在微積分中，許多與正數(shù)有關(guān)的抽象的理論與證明都可以找到較為直觀的幾何背景，這對(duì)其相關(guān)的理論的理解與應(yīng)用是十分有益的[10].第四，外爾斯特拉斯的極限定義啟示人們，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，符號(hào)化的表述是絕對(duì)必須的，因?yàn)樵S多數(shù)學(xué)對(duì)象不能直接地去想象，符號(hào)語(yǔ)言不僅僅具有使思維外化和用于交流的簡(jiǎn)單功能，它對(duì)于認(rèn)知功能和概念化也是不可缺少的.外爾斯特拉斯僅用ε和δ這兩個(gè)符號(hào)刻畫(huà)出極限概念內(nèi)在的繁雜結(jié)構(gòu)，也體現(xiàn)出數(shù)學(xué)家對(duì)簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美和思辨美的追求.外爾斯特拉斯所給出的極限概念最突出的特征是通過(guò)“ε?δ”方法建立整個(gè)分析的理論體系.F·克萊因在1895年外爾斯特拉斯八十大壽慶典上談到那些年分析的進(jìn)展時(shí)說(shuō)：“我想把所有這些進(jìn)展概括為一個(gè)詞：數(shù)學(xué)的算術(shù)化”，而在這方面“外爾斯特拉斯作出了高于一切的貢獻(xiàn)”[11].D·希爾伯特認(rèn)為：“外爾斯特拉斯以其酷愛(ài)批判精神和深邃的洞察力，為數(shù)學(xué)分析建立了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).通過(guò)澄清極小、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等概念，他排除了微積分中仍在涌現(xiàn)的各種異議，掃清了關(guān)于無(wú)窮大和無(wú)窮小的各種混亂觀念，決定性地克服了起源于無(wú)窮大和無(wú)窮小概念的困難.今天……分析達(dá)到這樣和諧、可靠和完美的程度……本質(zhì)上應(yīng)歸功于外爾斯特拉斯的科學(xué)活動(dòng).”[12]

“一個(gè)傳遞較多信息的陳述具有更大的價(jià)值或邏輯內(nèi)容，因而它是更好的陳述.一個(gè)陳述的內(nèi)容越豐富，它同我們的目標(biāo)就越接近，也就是說(shuō)就越接近‘真理’.”[12]在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生并非僅僅尋求一般的真理，而追求的應(yīng)該是有益的、有啟發(fā)性的真理，追求能解答有意義的問(wèn)題的理論.以動(dòng)態(tài)語(yǔ)言描述的極限定義是直觀的，但太空泛太平凡.其次，由于形式邏輯只適用于靜態(tài)對(duì)象的分析，即分析那些含義確定的概念及其關(guān)系.如果概念含義變化不居，那么最基本的邏輯規(guī)律（如“同一律”）也無(wú)法滿(mǎn)足，邏輯分析工具便始終無(wú)法被協(xié)調(diào)運(yùn)用了[13].因此，在動(dòng)態(tài)語(yǔ)言描述的極限定義的基礎(chǔ)上也就無(wú)法嚴(yán)格地按照演繹方法展開(kāi)相關(guān)的理論了.鑒于這一定義的不足與缺陷以及外爾斯特拉斯極限定義豐富的內(nèi)涵和意義，講授極限的“ε?δ”或“ε?N”定義不僅是必要的而且是可行的.

4 概念形成過(guò)程中的文化內(nèi)涵及意義

傳統(tǒng)教材以及傳統(tǒng)教學(xué)法的嚴(yán)重缺陷是學(xué)科與學(xué)科之間、領(lǐng)域與領(lǐng)域之間的孤立、分割，這個(gè)問(wèn)題從杜威那個(gè)時(shí)代開(kāi)始就一直受到批判.從生態(tài)學(xué)的角度看，知識(shí)的綜合化、多元化是恢復(fù)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容之間生態(tài)關(guān)系、在教材內(nèi)構(gòu)建完整知識(shí)生態(tài)系統(tǒng)的重要途徑.在這樣的生態(tài)關(guān)系中，知識(shí)才能走向“動(dòng)姿化”.在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，現(xiàn)在亟待需要加強(qiáng)的是數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)哲學(xué).數(shù)學(xué)教育不能割斷歷史，更不能脫離歷史.數(shù)學(xué)史不僅能告訴人們數(shù)學(xué)思想的邏輯行程和歷史行程，而且還有助于理解數(shù)學(xué)學(xué)科的社會(huì)角色和人文主義.數(shù)學(xué)哲學(xué)則被普遍認(rèn)為是溝通數(shù)學(xué)與人文的橋梁，這就需要廣泛利用數(shù)學(xué)史提供豐富生動(dòng)的素材.研究表明，數(shù)學(xué)教師是否具有數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)方法論、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化等知識(shí)儲(chǔ)備已成為高效數(shù)學(xué)教學(xué)行為的內(nèi)因之一[14].有關(guān)數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的作用出現(xiàn)了一系列文章[15～23].概括起來(lái)有以下幾個(gè)方面的作用：（1）有助于認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)和存在方式，形成正確的數(shù)學(xué)觀.（2）考察數(shù)學(xué)在發(fā)展中遇到的障礙有助于解釋今天的學(xué)生所遇到的困難.（3）有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生的濃厚興趣，形成積極的學(xué)習(xí)態(tài)度.（4）歷史問(wèn)題的提出以及數(shù)學(xué)家解決問(wèn)題的思考方式，特別是數(shù)學(xué)家創(chuàng)造性思維活動(dòng)的過(guò)程有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維.（5）數(shù)學(xué)史展現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識(shí)的人文主義內(nèi)涵.（6）數(shù)學(xué)史為教師的教學(xué)設(shè)計(jì)提供一個(gè)教學(xué)指南.如何充分發(fā)揮這些作用有待于研究者在實(shí)踐中不斷地探討.

4.1 概念中的文化要素

歷史是一種文化，它記載著數(shù)學(xué)思想的發(fā)生、發(fā)展的形成過(guò)程.數(shù)學(xué)發(fā)展是整個(gè)人類(lèi)文化發(fā)展的重要組成部分，因此，“數(shù)學(xué)不應(yīng)被等同于知識(shí)的簡(jiǎn)單匯集，而應(yīng)主要地被看成是人類(lèi)的一種活動(dòng)，一種以‘?dāng)?shù)學(xué)共同體’為主題、并在一定文化環(huán)境中從事的創(chuàng)造性活動(dòng).”[24]闡述極限概念的歷史發(fā)展，并不是原原本本地追尋歷史，也不是在教學(xué)過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)單地移植和嫁接，而是對(duì)數(shù)學(xué)史材料特別是文化要素深入挖掘、提煉、改造和升華，與極限概念教學(xué)融合在一起，并在一定的文化環(huán)境中展現(xiàn)出來(lái).極限概念的歷史演變及形成過(guò)程體現(xiàn)的文化要素主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

（1）歷史背景：由無(wú)窮小悖論引起了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，數(shù)學(xué)家開(kāi)始由實(shí)際問(wèn)題的解決轉(zhuǎn)向微積分理論基礎(chǔ)的研究，拉開(kāi)了分析嚴(yán)格化的序幕.

（2）概念體系：函數(shù)連續(xù)的定義、函數(shù)極限的定義、無(wú)窮小與無(wú)窮大、數(shù)列極限的定義.其核心為極限的ε?語(yǔ)言的描述.按照邏輯建構(gòu)的順序，體現(xiàn)出從特殊到一般再到特殊的過(guò)程；從歷史的角度，則體現(xiàn)出從特殊到一般再到特殊的過(guò)程.實(shí)際操作的方法則是類(lèi)比方法.

（3）歷史及數(shù)學(xué)意義：外爾斯特拉斯極限定義的建立是分析嚴(yán)格化的標(biāo)志；開(kāi)創(chuàng)了用有限、靜態(tài)方法研究無(wú)限、動(dòng)態(tài)現(xiàn)象的先河.

（4）思想觀念：經(jīng)歷了從實(shí)無(wú)限到潛無(wú)限，從動(dòng)態(tài)觀念到靜態(tài)觀念的轉(zhuǎn)變.實(shí)無(wú)限是一個(gè)現(xiàn)實(shí)的、完成的、存在的整體，即此外永無(wú)；而潛無(wú)限則永遠(yuǎn)處在不斷構(gòu)造的進(jìn)程中，可不斷延伸而永無(wú)盡頭，即此外永有.實(shí)無(wú)限與潛無(wú)限具有與有限的不同本質(zhì)屬性，實(shí)無(wú)限是一種完成了的實(shí)體無(wú)限，潛無(wú)限是一種突破有限處于不斷創(chuàng)生進(jìn)程中的無(wú)限，實(shí)無(wú)限是潛無(wú)限的最終歸宿，潛無(wú)限是實(shí)無(wú)限的必要構(gòu)成，亦即實(shí)無(wú)限是通過(guò)潛無(wú)限表現(xiàn)出來(lái)的.在歷史上的不同時(shí)期，實(shí)無(wú)限與潛無(wú)限是此消彼長(zhǎng)、相互交替地統(tǒng)治著人們的思想，這從一個(gè)側(cè)面說(shuō)明了二者各具有合理性的客觀存在.因此企圖以一種無(wú)限觀代替另一種無(wú)限觀是不可能實(shí)現(xiàn)的[25].對(duì)于極限概念，從動(dòng)態(tài)觀念到靜態(tài)觀念的轉(zhuǎn)化過(guò)程本質(zhì)上就是從無(wú)限轉(zhuǎn)化為有限，即無(wú)限的過(guò)程應(yīng)借助于有限量之間特有的結(jié)構(gòu)來(lái)揭示.

（5）演進(jìn)及認(rèn)知?dú)v程：極限概念演進(jìn)是一個(gè)連續(xù)不斷的過(guò)程：由不清晰的模糊概念開(kāi)始，到它們的逐漸澄清，并達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài).柯西的思維線(xiàn)索按照歸納思維→抽象思維→演繹思維來(lái)進(jìn)行的；外爾斯特拉斯的思維線(xiàn)索則是按照直覺(jué)思維→抽象思維→演繹思維而進(jìn)行的.創(chuàng)造心理歷程以辯證分析→觀念選擇→審美直覺(jué)→有用提取→有效組合的心理邏輯展開(kāi)的.

（6）數(shù)學(xué)家的生平：堅(jiān)韌不拔、孜孜不倦地追求真理的一生；柯西對(duì)年輕數(shù)學(xué)家表現(xiàn)出的冷漠與外爾斯特拉斯對(duì)后起之秀的熱心幫助形成了鮮明的對(duì)比，造成了二者晚年精神生活的巨大反差.

（7）人格品質(zhì)：深厚的數(shù)學(xué)修養(yǎng)和統(tǒng)一化的數(shù)學(xué)信念；對(duì)傳統(tǒng)觀念懷疑、批判的態(tài)度，合理繼承前人成果的包容精神，善于挑戰(zhàn)、敢于創(chuàng)新的精神；數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化、簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美和思辨美的追求.

4.2 文化驅(qū)動(dòng)極限概念教學(xué)的意義

上述要素有機(jī)地結(jié)合在一起便構(gòu)成了一個(gè)完整的文化系統(tǒng)，以此驅(qū)動(dòng)極限概念的教學(xué)有重要意義.首先，中學(xué)生的數(shù)學(xué)觀往往是靜態(tài)的、絕對(duì)的、片面的和實(shí)用主義的.極限是中學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后不久就接觸的重要概念，這正是處理中學(xué)與大學(xué)銜接問(wèn)題的重要階段，更是有利的時(shí)機(jī).微積分的創(chuàng)立結(jié)束了古希臘幾何學(xué)統(tǒng)治數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，出現(xiàn)了帶有思維創(chuàng)造特征而非直接立足于直觀經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)對(duì)象，這有助于學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)對(duì)象的演變及來(lái)源；而第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的出現(xiàn)以及極限概念漫長(zhǎng)的建構(gòu)過(guò)程驗(yàn)證了數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折性和數(shù)學(xué)真理的相對(duì)性等等.因此，在這一特殊的關(guān)鍵時(shí)期，利用極限概念形成過(guò)程中廣泛的文化要素培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)觀無(wú)疑是非常重要的.其次，微分學(xué)、積分學(xué)產(chǎn)生在前、極限理論建立在后，這一歷史發(fā)展過(guò)程體現(xiàn)出邏輯與歷史有時(shí)是不一致的；在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中，先有實(shí)踐，后建立或完善理論，或先建立理論，后有實(shí)踐應(yīng)用都有其合理性.這些史料對(duì)于充實(shí)課堂教學(xué)內(nèi)容、開(kāi)闊學(xué)生知識(shí)視野同樣是有益的.第三，“質(zhì)疑是科學(xué)研究的始點(diǎn)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，離不開(kāi)對(duì)學(xué)生質(zhì)疑思維的激發(fā)和保護(hù).在我國(guó)，質(zhì)疑思維是重要的，但質(zhì)疑精神更重要.”[26]從實(shí)無(wú)限到潛無(wú)限，從動(dòng)態(tài)觀念到靜態(tài)觀念，無(wú)不體現(xiàn)出數(shù)學(xué)家不畏權(quán)威、敢于向傳統(tǒng)思想觀念進(jìn)行挑戰(zhàn)的勇氣，這同樣是激發(fā)學(xué)生質(zhì)疑思維、培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑精神的重要素材.第四，極限概念形成過(guò)程中涌現(xiàn)出的數(shù)學(xué)家的崇高的信念、知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維方式、認(rèn)知?dú)v程、學(xué)校教育、治學(xué)經(jīng)驗(yàn)、個(gè)性品質(zhì)以及思想活動(dòng)特別是創(chuàng)造性思維活動(dòng)的過(guò)程又會(huì)成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的極具啟發(fā)性的資源，把這些資源融入到課堂教學(xué)中，可以創(chuàng)造一個(gè)良好的學(xué)習(xí)情境，為學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).第五，數(shù)學(xué)學(xué)科的教育應(yīng)該是一種完整教育，既要傳授理性知識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和邏輯實(shí)踐能力，又要重視培養(yǎng)學(xué)生的形成目的和動(dòng)機(jī)能力、靈感和直覺(jué)能力、猜測(cè)能力、表象能力、幻想能力、情感體驗(yàn)?zāi)芰Φ确抢硇跃衲芰?，以及意向、情感、意志、信念、信仰等非理性精神力?而非理性精神力量的各種要素的有機(jī)結(jié)合，便構(gòu)成一個(gè)既對(duì)立又統(tǒng)一，又相對(duì)穩(wěn)定并不斷變化的極其復(fù)雜的動(dòng)力結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，這是一個(gè)具有始動(dòng)、維持、調(diào)節(jié)、定向多種功能的動(dòng)力系統(tǒng)，一個(gè)能使智慧潛能有效地轉(zhuǎn)化為智慧行為的動(dòng)力結(jié)構(gòu)系統(tǒng).認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，這種動(dòng)力是在內(nèi)外誘因的誘使下內(nèi)化為一種心理需求，這種需求同一定的目標(biāo)相結(jié)合，就產(chǎn)生了為此目標(biāo)而努力的動(dòng)機(jī)，激勵(lì)學(xué)生去積極行動(dòng).上述有機(jī)組合的文化要素為學(xué)生提供了豐富的信息資源，直接刺激學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的心理環(huán)境，對(duì)學(xué)生的理性精神世界和非理性精神世界的形成和發(fā)展都會(huì)產(chǎn)生積極的影響.

5 概念教學(xué)困難的突破

5.1 借助具體數(shù)列直觀把握極限概念的內(nèi)在結(jié)構(gòu)

（1）觀察、歸納、抽象.觀察不同數(shù)列變化的趨勢(shì)，歸納其共有性質(zhì)，抽象出極限如下的定義：如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，an無(wú)限趨近于某一確定的常數(shù)a，則稱(chēng)a為數(shù)列{an}當(dāng)n→∞時(shí)的極限.這一概念無(wú)疑是抽象思維的產(chǎn)物.馬克思指出：“在人類(lèi)認(rèn)識(shí)過(guò)程中存在著兩條方向相反的道路，在第一條道路上，完整的表象蒸發(fā)為抽象的規(guī)定；在第二條道路上，抽象的規(guī)定在思維的過(guò)程中導(dǎo)致具體的再現(xiàn).”[27]這也就是說(shuō)，在這兩條相互連結(jié)的道路上，認(rèn)識(shí)開(kāi)始由感性的具體表象通過(guò)思維活動(dòng)分析出各種單向的、孤立的抽象規(guī)定；爾后，這些單向的、孤立的抽象規(guī)定又在思維的行動(dòng)中被連結(jié)起來(lái)，綜合成思維的具體再現(xiàn)出來(lái).這一過(guò)程中，認(rèn)識(shí)必須經(jīng)歷感性具體、概念的抽象規(guī)定和概念在思維中的具體3種狀態(tài).感性具體又指概念的感性映象，即通過(guò)感覺(jué)、知覺(jué)形成對(duì)常識(shí)性材料的初步心理表征，具有直接性、生動(dòng)性和具體性的特點(diǎn)，是連接人的意識(shí)和外部世界的通道.抽象規(guī)定是從事物整體中抽取出來(lái)的個(gè)別成分.它包括兩個(gè)階段：即經(jīng)過(guò)初級(jí)抽象得到的單純知性的抽象規(guī)定，這是抽象的一般.再經(jīng)過(guò)高級(jí)抽象得到理性的規(guī)定，其內(nèi)部包含著若干要素的關(guān)聯(lián)耦合或辯證矛盾，這是具體的一般.在上述定義中，體現(xiàn)出雙重對(duì)應(yīng)變化關(guān)系：對(duì)每一個(gè)確定的正整數(shù)n都唯一地對(duì)應(yīng)著一個(gè)有限常量an，當(dāng)n變化時(shí)，an是變化的；當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，an無(wú)限趨近于某一個(gè)確定的常量a.而在n無(wú)限增大的過(guò)程中，依次取1，2，3，…，n所得到的一列數(shù)a1，a2，…，an體現(xiàn)出an的無(wú)限變化過(guò)程，蘊(yùn)含著潛無(wú)限思想，數(shù)列{an}無(wú)法真實(shí)地寫(xiě)出，該定義就無(wú)法暴露其內(nèi)部要素n、an及a之間的耦合關(guān)系，也就是說(shuō)不可能達(dá)到極限概念最深層的矛盾結(jié)構(gòu)，也就無(wú)法理解“an無(wú)限地趨近于某一確定的常數(shù)a”的本質(zhì)含義.因此上述定義從認(rèn)識(shí)過(guò)程來(lái)看只能屬于抽象規(guī)定的第一個(gè)階段，即抽象的一般，必須進(jìn)行進(jìn)一步的高級(jí)抽象才能使其上升到具體的一般.

（2）由抽象到具體，化一般為特殊.按照歷史相似性理論，學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)難點(diǎn)的理解以及轉(zhuǎn)化過(guò)程與歷史存在相似性.數(shù)學(xué)家在創(chuàng)造過(guò)程中遇到的困難或出現(xiàn)的錯(cuò)誤，在學(xué)生身上也會(huì)重新發(fā)生.因此回顧數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史、分析數(shù)學(xué)家在做出創(chuàng)造時(shí)的失敗與挫折對(duì)于預(yù)見(jiàn)、解釋學(xué)生的認(rèn)知困難有著極強(qiáng)的啟發(fā)效果.極限概念教學(xué)難點(diǎn)的突破本質(zhì)上就是思想觀念的突破，這與極限概念的歷史發(fā)展是一致的.按照徐利治先生所創(chuàng)立的抽象度分析理論[28]，小難度和中難度的抽象思維適用于已有理論的補(bǔ)充與完善，而大難度和特大難度的抽象思維則往往適用于新概念或新理論的創(chuàng)立，需要人們改變以往傳統(tǒng)觀念，引起思想上的質(zhì)的飛躍.從歷史角度可以看出，柯西與外爾斯特拉斯所給出的極限概念至少具有大難度.在教學(xué)過(guò)程中，如何把體現(xiàn)潛無(wú)限思想的無(wú)限過(guò)程轉(zhuǎn)化為有限量的關(guān)系也就成為極限概念的動(dòng)態(tài)描述轉(zhuǎn)化為靜態(tài)刻畫(huà)的一個(gè)主要環(huán)節(jié).

化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化抽象為具體、化一般為特殊（或化特殊為一般）等都是學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)常使用的化歸方法.可以選擇具體數(shù)列如

顯然，當(dāng)n→∞時(shí)，

又可以轉(zhuǎn)化為當(dāng)n→∞時(shí)，

即當(dāng)n→∞時(shí)，→0.這實(shí)質(zhì)上把數(shù)列

（3）試驗(yàn)分析，直觀把握.對(duì)數(shù)學(xué)概念真正的理解、真正的懂離不開(kāi)數(shù)學(xué)直觀.徐利治先生指出：“只有把它理解的非常自然，非常直觀，直至成為你心目中一目了然的東西，那才真正變成你自己的知識(shí)財(cái)富，這時(shí)候，你就能使用自己的語(yǔ)言很自然地而不是背誦式地去表述你所理解的一切.”[29]取一系列的很小的數(shù)ε1,ε2,…,εk等，由以上分析有

于是得到相應(yīng)地N1,N2,…,Nk，使得當(dāng)n＞Ni(i=1,2,…,k)時(shí)，必有

在數(shù)軸上作出以原點(diǎn)為中心的εi(i=ε1,ε2,…,εk)鄰域，則在該鄰域內(nèi)包含了從

中滿(mǎn)足n＞N的所有項(xiàng)都落在1的ε鄰域內(nèi).也就是對(duì)任意的正數(shù)ε，都能找到正整數(shù)N，對(duì)滿(mǎn)足n＞N的一切n，都有

由上述特殊數(shù)列的極限定義的直觀理解，不難得出當(dāng)n→ ∞時(shí)，an→a的“ε?N”定義.有了數(shù)列極限的定義，可以借助于類(lèi)比法推出函數(shù)極限等的精確化的定義，文[1]給出的建議值得借鑒.

5.2 由連續(xù)函數(shù)的幾何圖形直觀把握極限概念的本質(zhì)

考察極限概念的發(fā)展歷史，既要把握極限概念的整體演變歷程，又要分析數(shù)學(xué)家的具體認(rèn)識(shí)過(guò)程.1799年，為了給出代數(shù)基本定理的一個(gè)單從算術(shù)、代數(shù)和分析相結(jié)合的證明，波爾查諾首先闡明函數(shù)連續(xù)性的定義，第一次明確指出連續(xù)觀念的基礎(chǔ)存在于極限之中.而外爾斯特拉斯同樣先給出了函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)的精確定義.函數(shù)的整體連續(xù)性具有現(xiàn)實(shí)原型的，與學(xué)生的實(shí)際生活密切相關(guān)的，在某一區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)就是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，具有相當(dāng)明顯的直觀性.M·克萊因指出，任何一門(mén)學(xué)科最初都是通過(guò)直觀方法建立的，每一位數(shù)學(xué)家都是直觀地思考問(wèn)題，然后才用演繹形式表達(dá)結(jié)論.所以數(shù)學(xué)理解是通過(guò)直觀方法獲得的，邏輯表達(dá)不過(guò)是學(xué)習(xí)的輔助工具[30].受此啟發(fā)，在極限概念的教學(xué)設(shè)計(jì)中，以函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的整體連續(xù)性為突破口，直觀地觀察到x→x0時(shí)，f(x)無(wú)限趨近于f(x0)的.亦即當(dāng)x→x0時(shí)，(x)?f(x0→0；也就是(x)?f(x0可以做到足夠的小，只要x與x0足夠接近.再次借助于直觀，作出直線(xiàn)

和

則可以得到

直觀地可以找出相應(yīng)的δi(i=1,2,…,k)，極限的本質(zhì)暴露無(wú)遺.再按照類(lèi)比法推出一般函數(shù)極限的定義，最后得到數(shù)列極限的定義，這也不失為一條有效的教學(xué)策略.

6 極限定義內(nèi)在規(guī)定性的辯證分析

極限定義中包含著豐富的辯證法，如ε的任意與確定的二重性、N的存在性與不唯一性，ε與N決定與被決定的關(guān)系、極限定義中常量與變量、過(guò)程與結(jié)果、精確與近似的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系等內(nèi)容的挖掘?qū)ωS富學(xué)生的知識(shí)、進(jìn)一步理解極限的定義無(wú)疑是有意義的，在此就不再贅述.

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